Chu
.
o
.
ng I
MA TR
ˆ
A
.
N-D
-
I
.
NH THU
.
´
C-H
ˆ
E
.
PHU
.
O
.
NG TRI
`
NH
§1. MA TR
ˆ
A
.

.
tva` ca´c phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
n
du
.
o
.
´i da
.
ng sau:




.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
a
m3
a
mn








D
-
ˆe

´ i va`cˆo
.
tthu
.
´ j cu
’
a ma trˆa
.
n A.
• Nˆe
´
u ca´c phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
n A d¯ ˆe
`
u nhˆa
.
n gia´ tri
.
thu
.
.
c, co´ nghı


14
27
5 −3



la` ma trˆa
.
ncˆa
´
p3×2.
A =

cos x ln x sin x
sin x + cos x 2 −3

la` ma trˆa
.
ncˆa
´
p2× 3.
• Ma trˆa
.
n ha`ng: Ma trˆa
.
nco
.
˜
1×n (chı

.
i la` ma trˆa
.
ncˆo
.
t.
*. Vı´ du
.
: Ma trˆa
.
n



2
3
4



la` ma trˆa
.
ncˆo
.
t (co
.
˜
3 ×1).
1
• Ma trˆa

ncˆa
´
p n × n d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i la` ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n.
• Ma trˆa
.
nd¯o
.
nvi
.
: La` ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n co´ ca´c phˆa
`
ntu
.
’
n˘a





10 0
01 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 1





. Ky´ hiˆe
.
u la`: I
n
(d¯ˆoi khi ta
co`n ky´ hiˆe
.
u: I).
• Ma trˆa

ij
go
.
ila`
ma trˆa
.
n con cu
’
a ma trˆa
.
nAu
.
´ng vo
.
´i phˆa
`
ntu
.
’
a
ij
.
*. Vı´ du
.
: Cho ma trˆa
.
n A =





23
−28

; M
22
=

13
38

; M
23
=

12
3 −2

M
31
=

23
−14

; M
32
=

13

ivo
.
´i ha`ng (cˆo
.
t) cu
’
a ma trˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
cgo
.
i
la` ca´c phe´p biˆe
´
nd¯ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p theo ha`ng (cˆo
.
t) cu
’
a ma trˆa
.

’
a ma trˆa
.
nvo
.
´i mˆo
.
t
sˆo
´
λ =0.
(3). Cˆo
.
ng va`o mˆo
.
t ha`ng (cˆo
.
t) na`o d¯o´cu
’
a ma trˆa
.
nmˆo
.
t ha`ng (cˆo
.
t) kha´c
sau khi d¯a
˜
nhˆan vo
.

.
t 2)ta d¯u
.
o
.
c:
B =



−1201
134−2
2 −20 6



; B

=



3142
2 −101
−2206



(2) Nhˆan tˆa
´


134−2
−2402
2 −20 6



(3) Cˆo
.
ng ha`ng 1 va`o ha`ng 2 sau khi d¯a
˜
nhˆan vo
.
´i λ =2cu
’
aAtad¯u
.
o
.
.
c:
D =



134−2
−1740
2 −20 6



` tra´i sang pha
’
i) d¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`phˆa
`
ntu
.
’
co
.
so
.
’
cu
’
a ha`ng d¯o´.
• D
-
i
.
nh nghı
˜
a: Mˆo
.

du
.
o
.
´i ca´c ha`ng kha´c khˆong.
(2). Phˆa
`
ntu
.
’
co
.
so
.
’
cu
’
a ha`ng phı´a du
.
o
.
´i n˘a
`
m bˆen pha
’
isovo
.
´i phˆa
`
ntu





140 1 5
020−33
004 5 1
000 2 1





• D
-
i
.
nh ly´ : Mo
.
i ma trˆa
.
n d¯ ˆe
`
u co´ thˆe
’
d¯ u
.
avˆe
`
da

a ma trˆa
.
n A =



121 7
15110
29317



Du`ng ca´c phe´p biˆe
´
nd¯ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p ta co´
A −→



1217
0303
0513







21 24
43−10
41 21
6 −202





A −→





21 2 4
01−58
0 −1 −2 −3
0 −5 −6 −10





−→






21 2 4
01−58
00−75
00 0
55
7





1.3. Ca´c phe´ p toa´n ma trˆa
.
n
• Hai ma trˆa
.
nb˘a
`
ng nhau:
Cho hai ma trˆa
.
n A =(a
ij
)
m×n
,B=(b

pva`tu
.
`ng phˆa
`
ntu
.
’
tu
.
o
.
ng u
.
´ng b˘a
`
ng nhau.)
*. Vı´ du
.
:
4
A =



140 1
027−5
014 5




m×n
cu
˜
ng la`
ma trˆa
.
ncˆa
´
p m × n, ky´ hiˆe
.
u la`: A + B ,d¯u
.
o
.
.
c xa´c d¯i
.
nh bo
.
’
i:
A + B =(a
ij
+ b
ij
)
m×n
*. Vı´ du
.
:




=



4 11 6 10
0 10 14 −3
11 6 9



• Phe´p nhˆan mˆo
.
tsˆo
´
vo
.
´i mˆo
.
t ma trˆa
.
n:
Cho ma trˆa
.
n A =(a
ij
)
m×n

’
i:
λ.A =(λ.a
ij
)
m×n
*. Vı´ du
.
:
Cho sˆo
´
λ =5va` ma trˆa
.
n A =

140 1
027−5

. Khi ˆa
´
y ta co´:
λ.A =

5.15.45.05.1
5.05.25.75.(−5)

=

520 0 5
01035−25

u la`: A.B,d¯u
.
o
.
.
c xa´c d¯i
.
nh bo
.
’
i:
A.B =

c
ij
=
n

k=1
a
ik
.b
kj

m×p
*. Vı´ du
.
:
Cho hai ma trˆa
.

110 136
278 339

*.Chu´y´:D
-
ˆe
’
hai ma trˆa
.
n nhˆan d¯u
.
o
.
.
cvo
.
´i nhau thı` sˆo
´
cˆo
.
tcu
’
a ma trˆa
.
n
tru
.
o
.
´c pha

.
cu
’
a ma trˆa
.
n A la`
mˆo
.
t ma trˆa
.
n co´ d¯u
.
o
.
.
ctu
.
` A b˘a
`
ng ca´ ch chuyˆe
’
n ha`ng tha`nh cˆo
.
t, chuyˆe
’
ncˆo
.
t
tha`nh ha`ng theo d¯u´ng thu
.

a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
a
mn






m×n
; A
T
=










n×m
*. Vı´ du
.
:
Cho ma trˆa
.
n A =



12 3 4
56 7 8
9 10 11 12



. Khi ˆa
´
y ta co´: A
T
=




α, β sao cho ca´c phe´p
toa´n sau d¯ˆay d¯u
.
o
.
.
cta
.
o tha`nh. Khi ˆa
´
y ta se
˜
co´:
6
1.A+ B = B + A
2. (A + B )+C = A +(B + C)
3.A.(B.C)=(A.B).C
4. (A + B ) .C = A.C + B.C
5.A.(B + C)=A.B + A.C
6. (α.β).A = α.(β.A)
7.α.(A.B)=(α.A).B = A.(α.B)
8.α.(A + B)=α.A + α.B
9. (α + β).A = α.A + β.A
10. No´i chung, A.B = B.A
• D
-
i
.
nh ly´ 2: Cho ca´c ma trˆa
.

.
´
C
• Cho ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n co´ da
.
ng: A =






a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
.
.

` ma trˆa
.
n A sau khi d¯a
˜
bo
’
d¯i ha`ng thu
.
´
i va`cˆo
.
tthu
.
´ j cu
’
a ma trˆa
.
n A va` M
ij
d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i la` ma trˆa
.
n con cu
’

M
11
=

27
1 −3

,M
21
=

−23
1 −3

,M
32
=

13
−57


2.1. D
-
i
.
nh nghı
˜
a
• D




a
11
a
12
a
13
a
1n
a
21
a
22
a
23
a
2n
a
31
a
32
a
33
a
3n
.
.
.

.
nh nhu
.
sau:
(1). A la` ma trˆa
.
ncˆa
´
p1(n = 1):
A =(a
11
) thı` det(A)=a
11
(2). A la` ma trˆa
.
ncˆa
´
p2(n = 2):
det(A)=




a
11
a
12
a
21
a

ntu
.
’
n˘a
`
m cu`ng o
.
’
ha`ng 1 cu
’
a ma trˆa
.
n
A), vˆan vˆan, va`mˆo
.
t ca´ch tˆo
’
ng qua´t,
(3). A la` ma trˆa
.
ncˆa
´
pn(n ≥ 3) thı`:
8
det(A)=a
11
. det(M
11
) −a
21

.
:







123
456
789







=1.




56
89





ta co´ cˆong thu
.
´c khai triˆe
’
ncu
’
ad¯i
.
nh thu
.
´c theo ha`ng k na`o
d¯ o´:
det(A)=(−1)
k+1
[a
k1
det(M
k1
)−a
k2
det(M
k2
)+ +(−1)
n+1
a
kn
det(M
kn
)]
*. Vı´ du

2




−20
4 −1




− 3




10
2 −1




+(−5)




1 −2
24










=(−1)
4+1



a.







111
211
121














− d.







211
121
112










= −a −b −c +4d
• Chu´y´:Trong tru

a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
9
Tu
.
`d¯o´ ta co´:







a
11
a
12
a
13
a

+ a
13
.a
21
.a
32
− a
13
.a
22
.a
31
− a
11
.a
23
.a
32
−a
12
.a
21
.a
33
2.2. Mˆo
.
tsˆo
´
tı´nh chˆa
´

34




= −2 ,




13
24




= −2
• Tı´nh chˆa
´
t2:Khi d¯ˆo
’
ivi
.
trı´ cu
’
a hai ha`ng (hai cˆo
.
t) cho nhau thı` d¯i
.
nh

.
o
.
.
c:




25
13




=2.3 − 1.5=1=−(−1)
• Tı´nh chˆa
´
t3:D
-
i
.
nh thu
.
´c co´ mˆo
.
t ha`ng (mˆo
.
tcˆo
.






690
100
230







=0
• Tı´nh chˆa
´
t4:D
-
i
.
nh thu
.
´c co´ hai ha`ng (hai cˆo
.
t) ty
’
lˆe
.



n.a b a
n.x y x
n.t u t







=0
*. Vı´ du
.
2:







121
243
369





tcˆo
.
t) na`o d¯o´cu
’
ad¯i
.
nh thu
.
´c
vo
.
´i mˆo
.
tsˆo
´
λ = 0 thı` d¯i
.
nh thu
.
´c d¯u
.
o
.
.
c nhˆan lˆen vo
.
´i sˆo
´
λ d¯ o´.
*. Vı´ du





= n.




at
xm




*. Vı´ du
.
:




23
48




=


’
inˆe
´
u ta cˆo
.
ng va`o mˆo
.
t ha`ng
(mˆo
.
tcˆo
.
t) na`o d¯o´mˆo
.
ttˆo
’
ho
.
.
p tuyˆe
´
n tı´nh cu
’
amˆo
.
tsˆo
´
ha`ng (cˆo
.
t) kha´ c.






=







(a
1
+ α.a
2
− β.a
3
) a
2
a
3
(b
1
+ α.b
2
−β.b
3
) b

213
457
615







=







213
4+(−2).25+(−2).17+(−2).3
615







= −20
*. Vı´ du






a +3 1 1 1
a +3 a 11
a +3 1 a 1
a +3 1 1 a









=(a +3).









1111
1 a 11





=(a +3).(a −1)
3
• Tı´nh chˆa
´
t7: D
-
i
.
nh thu
.
´c cu
’
a ma trˆa
.
n tam gia´c co´ da
.
ng du
.
o
.
´i d¯ˆay
d¯ u
.
o
.
.

33
a
3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
000 a
nn












= a

32
a
33
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
n3
a
nn
















=1.5.3 .(−2) = −30
12
*. Vı´ du
.
2:












10000
43000
32−200
10240

.
tcˆo
.
t) co´
da
.
ng tˆo
’
ng cu
’
a hai sˆo
´
ha
.
ng thı` d¯i
.
nh thu
.
´c co´ thˆe
’
phˆan tı´ch tha`nh tˆo
’
ng cu
’
a
hai d¯i
.
nh thu
.
´c. Co´ nghı

2
c
3
+ c

3







=







a
1
a
2
a
3
b
1
b

3
b
1
b
2
b

3
c
1
c
2
c

3














a




=







a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3


1
c
2
c
3







*. Vı´ du
.
:







21 x + y
05 x

+ y

32x

+ y







21 y
05 y

32y








= 15(x + y)+7(x

+ y

) + 10(x

+ y

)
§3. MA TR
ˆ
A

i la` ma trˆa
.
n
nghi
.
ch d¯a
’
ocu
’
a ma trˆa
.
n A (ky´ hiˆe
.
u la`: A
−1
)nˆe
´
u thoa
’
ma
˜
n:
A.B = I
n
va` B.A = I
n
13
*. Vı´ du
.
: Cho ma trˆa

3
9
1
9
−3
9
2
9

=

10
01

= I
2
B.A =

3
9
1
9
−3
9
2
9

.

2 −1

n nghi
.
ch d¯a
’
o thı` ta no´i A la` ma trˆa
.
n kha
’
nghi
.
ch.
• D
-
i
.
nh ly´ (d¯iˆe
`
ukiˆe
.
ntˆo
`
nta
.
i ma trˆa
.
n nghi
.
ch d¯a
’
o)

3.2. Ca´c phu
.
o
.
ng pha´ p tı`m ma trˆa
.
n nghi
.
ch d¯a
’
o
Gia
’
su
.
’
ta cˆa
`
n tı`m ma trˆa
.
n nghi
.
ch d¯a
’
ocu
’
a A =










• Phu
.
o
.
ng pha´ p 1
Ta ky´ hiˆe
.
u C
ij
=(−1)
i+j
. det(M
ij
)va`d¯u
.
o
.
.
cgo
.
i la` phˆa
`
nphu
.

.
n A nhu
.
sau:
A
−1
=
1
det(A)






C
11
C
12
C
1n
C
21
C
22
C
2n
.
.
.




123
253
108



. Ta co´: det( A)=
−1 =0. Ngoa`i ra ta co´:
C
11
=40 C
12
= −13 C
13
= −5
C
21
= −16 C
22
=5 C
23
=2
C
31
= −9 C
32
=3 C

=



40 16 9
13 −5 −3
5 −2 −1



*. Vı´ du
.
2: Gia
’
su
.
’
cho ma trˆa
.
n A =



1 −34
211
−1 −21



Ta co´: det(A) = 0, nˆen ma trˆa

trˆa
.
n d¯ ˆe
’
tı`m ma trˆa
.
n nghi
.
ch d¯a
’
o. Nˆo
.
i dung cu
’
aphu
.
o
.
ng pha´p na`y la` chu´ng
ta viˆe
´
tva`o bˆen pha
’
icu
’
a ma trˆa
.
n A mˆo
.
t ma trˆa

˜
ghe´p (co´ cˆa
´
p la`: n × 2n)vˆe
`
mˆo
.
t ma trˆa
.
n sao cho ma
trˆa
.
nd¯o
.
nvi
.
n˘a
`
mvˆe
`
phı´a bˆen tra´i va` khi ˆa
´
y phı´a bˆen pha
’
icu
’
a ma trˆa
.
n na`y
15

a
21
a
22
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn





10 0
01 0
.
.


10 0
01 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 1





x
11
x
12
x
1n
x
21
x
22
x
2n




x
11
x
12
x
1n
x
21
x
22
x
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
n1
x
n2
x
nn

A/I =



11−3
−10 2
−35 0





100
010
001



−→



11−3
01−1
08−9






00−1





16 24 −3
69−1
−5 −81



16
−→



10 0
01 0
00−1





10 15 −2
69−1
−5 −81



58−1



3.3. Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n
• D
-
i
.
nh nghı
˜
a: Ha
.
ng cu
’
amˆo
.
t ma trˆa
.
n A la` cˆa
´
p cao nhˆa
´
tcu

Ca´c d¯i
.
nh thu
.
´c con cˆa
´
pbacu
’
a A la`







1 −34
211
−1 −21







=0






=0







1 −32
214
−1 −2 −2







=0
Ta co´ d¯i
.
nh thu
.
´c con cˆa
´
p hai cu
’
a A la`

nh nghı
˜
a d¯ ˆe
’
tı`m ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n, tuy nhiˆen
phu
.
o
.
ng pha´p na`y rˆa
´
tha
.
nchˆe
´
, nhˆa
´
t la` khi cˆa
´
pcu
’
a ma trˆa
.
nrˆa

ng
cu
’
a ma trˆa
.
n, nˆo
.
i dung cu
’
aphu
.
o
.
ng pha´p na`y la` chu´ng ta du`ng ca´c phe´p
biˆe
´
nd¯ˆo
’
iso
.
cˆa
´
p theo ha`ng (ho˘a
.
ccˆo
.
t, ho˘a
.
cca
’

ma trˆa
.
n chı´ nh la` sˆo
´
ca´c ha`ng kha´c khˆong (ho˘a
.
csˆo
´
ca´c cˆo
.
t kha´c khˆong, nˆe
´
u
nho
’
ho
.
n)cu
’
a ma trˆa
.
n cuˆo
´
i cu`ng.
*. Vı´ du 1
.
:
Cho ma trˆa
.
n A =





101−2
0120
0133
0 −10 6





−→





101−2
012 0
001 3
002 6





−→


co´ ha
.
ng la` 2
Ta co´ :



12 1
2 λ −2
3 −6 −3



−→



11 2
3 −3 −6
2 −2 λ



−→



11 2
0 −6 −12
0 −4 λ − 2

O
.
NG TRI
`
NH TUY
ˆ
E
´
NTI
´
NH
4.1. D
-
i
.
nh nghı
˜
a
• Hˆe
.
gˆo
`
m n−ˆa
’
nsˆo
´
{x
1
,x
2

12
x
2
+ + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ + a
2n
x
n
= b
2

a
m1
x
1
+ a
m2







a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a


; B =






b
1
b
2
.
.
.
b
m






thı` khi ˆa
´
yhˆe
.
phu
.
o

1n
a
21
a
22
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
a
mn









.
.
.
b
m






hay co´ thˆe
’
viˆe
´
tgo
.
n la`:
A.X = B
• Ma trˆa
.
n A d¯ u
.
o
.
.
cgo
.
i la` ma trˆa
.

i la` ma trˆa
.
n nghiˆe
.
msˆo
´
o
.
’
da
.
ng cˆo
.
t.
• Bˆo
.
n−sˆo
´
co´ da
.
ng X =(α
1
,α
2
, ,α
n
)d¯u
.
o
.

x
1
= α
1
x
2
= α
2

x
n
= α
n
va`o hˆe
.
(4.1) thı` chu´ ng ta d¯u
.
o
.
.
c
ca´c d¯ˆo
`
ng nhˆa
´
tthu
.
´c.
• Hˆe
.

.
no´ vˆo nghiˆe
.
m, va`d¯u
.
o
.
.
cgo
.
ila`vˆo d¯i
.
nh nˆe
´
u
nhu
.
no´ co´ ho
.
nmˆo
.
t nghiˆe
.
m.
• Ma trˆa
.
n
A co´ da
.
ng:

a
m2
a
mn





b
1
b
2
.
.
.
b
m






d¯ u
.
o
.
.
cgo

mcu
’
ahˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh
• D
-
i
.
nh ly´ : Hˆe
.
(4.1) la` tu
.
o
.
ng thı´ch khi va`chı
’
khi rank(A)=rank(
A).
• Nhˆa
.
n xe´t:
(1). Nˆe
´
u rank(A) = rank(
A) thı` hˆe

.
m.







x
1
+2x
2
− x
3
+4x
4
=2
2x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
=1
x
1
+7x

12−14
0 −53−7
17−411





2
−3
m



−→



12−14
0 −53−7
05−37





2
−3
m −2


Ma` theo trˆen thı` r(A)=2⇒ r(
A)=2
⇐⇒ m −5=0⇒ m =5
Vˆa
.
yvo
.
´i m = 5 thı` hˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh trˆen co´ nghiˆe
.
m.
*. Vı´ du
.
2: Biˆe
.
n luˆa
.
nsˆo
´
nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.

+ ax
3
=1
Ta co´ :
A =



a 11
1 a 1
11a





1
1
1



−→



11a
1 a 1
a 11




11 a
0 a −11− a
002− a − a
2





1
0
1 −a



• Nˆe
´
u: 2 −a −a
2
=0=⇒ a =1,a= −2
Khi a =1 thı`:
A =



111
000
000

00 0





1
0
3



=⇒ r(A)=2,r(
A)=3
=⇒ r(A) = r(
A) nˆen hˆe
.
vˆo nghiˆe
.
m.
• Nˆe
´
u: 2 −a −a
2
=0=⇒ a =1va` a = −2
=⇒ r(A)=r(A) = 3. Nˆen hˆe
.
co´ 1 nghiˆe
.
m duy nhˆa

.
ng pha´ p gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh tˆo
’
ng qua´t
• Phu
.
o
.
ng pha´p Gauss: Nˆo
.
i dung cu
’
aphu
.
o
.
ng pha´p na`y la` chu´ng ta
du`ng ca´c phe´p biˆe
´
nd¯ˆo
’
iso

o
.
ng trı`nh cuˆo
´
i cu`ng dˆe
’
da`ng thu d¯u
.
o
.
.
c nghiˆe
.
m
ho
.
n. Ca´c phe´p biˆe
´
nd¯ˆo
’
iso
.
cˆa
´
pcu
’
ahˆe
.
phu
.

.
tphu
.
o
.
ng trı`nh cu
’
ahˆe
.
mˆo
.
tphu
.
o
.
ng trı`nh kha´c sau
khi d¯a
˜
nhˆan vo
.
´i mˆo
.
tsˆo
´
kha´c 0.
• Nhˆa
.
n xe´t: Vı` ca´c phe´p biˆe
´
nd¯ˆo

n. Do vˆa
.
ychu´ ng ta co´
thˆe
’
du`ng ca´c phe´p biˆe
´
nd¯ˆo
’
i theo ha`ng (chı
’
theo ha`ng)cu
’
a ma trˆa
.
n d¯ ˆe
’
tı`m nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh. Cu
.
thˆe

ng ma trˆa
.
nbˆa
.
c
thang thu go
.
n nhˆa
´
t, khi ˆa
´
y ma trˆa
.
n cuˆo
´
i cu`ng se
˜
cho ta hˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh
tu
.
o
.
ng d¯u
.

*. Vı´ du
.
1: Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh:







2x
1
+4x
2
+3x
3
=4
3x
1
+ x
2
− 2x



24 3
31−2
0 29 29





4
−2
29



−→



24 3
01013
02929





4
16





2x
1
+4x
2
+3x
3
=4
10x
2
+13x
3
=16
87x
3
= 174
⇐⇒







x
1
=1

+4x
4
=2
7x
1
− 4x
2
+ x
3
+3x
4
=5
5x
1
− 7x
2
− 4x
3
−6x
4
=3
Ta co´ :
A =



3 −52 4
7 −41 3
5 −7 −4 −6




16−3 −5
0 −46 22 38
0 −23 11 19





−1
12
8



−→



16−3 −5
0 −46 22 38
00 0 0





−1
12

.
ng trı`nh sau:













x
1
+ x
2
− 3x
3
−2x
4
+3x
5
=1
2x
1
+2x
2

A =





113−23
224−13
335−23
228−39





1
1
1
6





−→









1
0
−2
4





−→





11 3 −23
00−23−3
00 0 −20
00 0 0 0





1
0
−2

00−2







=4=0=⇒ r(A)=r(
A)=3
Vˆa
.
y r (A)=r(A)=3< 5=n (sˆo
´
ˆa
’
n). Nˆen hˆe
.
co´ vˆo sˆo
´
nghiˆe
.
m.
Hˆe
.
d¯ a
˜
cho tu
.
o

− 3x
5
= 0 (2)
−2x
4
= −2 (3)
(3)=⇒ x
4
=1
(2)=⇒ x
3
=
3 − 3x
5
2
(1)=⇒ x
1
=
−2x
2
+3x
5
− 3
2
D
-
˘a
.
t: x
2

’
ahˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh la`:
(−s +
3
2
t −
3
2
,s,
3
2
−
3
2
t, 1,t); ∀s, t ∈ R
4.4. Hˆe
.
Cramer
• D
-
i
.
nh nghı
˜

12
x
2
+ + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ + a
2n
x
n
= b
2

a
n1
x
1
+ a
n2

a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn






.
c xa´c d¯i
.
nh nhu
.
sau:
x
j
=
det(A
j
)
det(A)
Trong d¯o´ A la` ma trˆa
.
nca´chˆe
.
sˆo
´
cu
’
ahˆe
.
, A
j
la` ma trˆa
.
n suy tu
.
` A b˘a

vˆo d¯i
.
nh
+Nˆe
´
u

det(A)=0
∃j, det(A
j
) =0
thı` hˆe
.
vˆo nghiˆe
.
m.
*. Vı´ du
.
1: Gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh:


