Trang 1
Chương 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT

1.1. MA TRẬN
1.1.1. Khái niệm về ma trận
Ma trận là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử được sắp thành m dòng , n cột
theo một thứ tự nhất định













mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa

21

n
mn
aa a
aa
a













Ma trận tam giác dưới là ma trận có tất cả các phần tử phía trên đường chéo
bằng 0.

11
21 22
12
0 0
0
. . .

mm mn
a










Ma trận đơn vị là ma trận chéo có tất cả các phần tử trên đường chéo bằng 1
Trang 2
1 0 0
0 1 0
. . .
0 0 1
I






















241
123
=






 551
124

2. Phép nhân với một số. Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận
cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận .
2.









2
4
2
8
0
0
6
2
6
2
4

3. Phép nhân hai ma trận
Điều kiện nhân được. Số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma
trận thứ hai .
Cách nhân hai ma trận. Nhân các phần tử trong dòng của ma trận thứ nhất
tương ứng với các phần tử trong cột của ma trận thứ hai rồi cộng lại .
Ví dụ 1







302
211
.




465
160Ví dụ 2 Nếu
34
12
A




,
12
45
36
B






thì không thể nhân A với B vì số cột của A không
bằng số dòng của B. Trong khi đó:

Trang 3

12 5 8


thì:

3402 030
0006 0 0
AB
 

 
 
và
0234 00
0600 00
BA

   


   

   
.
Nhận xét
 Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
 Nếu AB = 0 không suy ra A = 0 hoặc B = 0.

1.1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng
1. Phép biến đổi 1. Hoán vị 2 dòng



302
021

2. Phép biến đổi 2. Nhân một dòng với một số khác không.












213
302
021

11
2dd























213
340
021

Ghi chú. Nếu từ ma trận A , sau các biến đổi sơ cấp trên dòng ta được ma trận A’ thì
ta nói ma trận A’ tương đương ( theo dòng ) với ma trận A’ , ký hiệu : A~B
1.1.4. Ma trận dạng bậc thang
1. Định nghĩa
Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu thỏa mãn hai điều kiện:
 Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không .
 Với hai dòng khác không , phần tử khác không đầu tiên của dòng
dưới bao giờ cũng ở bên phả
i cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng trên .
2. Định lý
Mọi ma trận khác không đều có thể đưa về được về dạng bậc thang sau một
số phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

2
22
1 3 20 5 1320 5 1320 5
2 6 9712 0057 2 016415
2 524 5 016415 0057 2
1 4 8 4 20 0 1 6 4 15 0 0 0 0 0
ddd
ddd ddd
dd d d d
B

 
 
 
 
 
  
 

 
 

1.1.5. Ma trận đảo
1. Định nghĩa
Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại một ma trận B
vuông cấp n sao cho : A.B = B.A = I.
Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của ma trận A ,ký hiệu A
-1

2. Cách tìm ma trận đảo



  





110010 110010 1001 43
01 101 1 01 00 5 3 0101 5 3
00 1064 00 1164 001164

 




  


Vậy
1
143
153
16 4
A





aa
= a
11
a
22
- a
12
a
21
2. Định thức cấp 3
Cho ma trận vuông cấp 3 : A =










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
. Định thức của ma trận A là:
333231
232221

a
21
a
33
- a
11
a
23
a
32

Cách tính định thức cấp 3
a. Quy tắc tam giác

***
***
***

***
***
***

( + ) ( - )
b. Quy tắc đường song song
+ + +
ooooo
ooooo
ooooo
500
310
423 3. Định thức cấp n
Trang 6
Cho ma trận vuông cấp n : A =












nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa


Aa
1

hoặc :
mjj ,1,  : A =


n
i
ijij
Aa
1Ví dụ
: A =












222
013

A
4) Nếu A có 2 dòng giống nhau hay tỷ lệ với nhau :
A = 0 .
5) Nếu 1 dòng được viết thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2
định thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần .
21212211 nnnn
bbbaaabababa 

6) Nếu thay 1 dòng bằng chính nó cộng với 1 dòng khác đã nhân với 1 số không
đổi thì định thức không đổi :
'
A = A .
Ghi chú. Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức bằng tích các phần tử trên
đường chéo chính .

Trang 7
Ví dụ 1 Tính định thức của ma trận:
1234
0043
3412
0032

A       
 Cách 2: Khai triển theo cột 1
1234
043 234
0043
4123043
3412
032 032
0032
A .
Khai triển tiếp theo cột 1 các định thức trong VP ta được 43 43
4. 3.2 4.( 1) 3.2.( 1) 2
32 32
A       
Ví dụ 2 Tính định thức của ma trận:
1222
2122
2212
2221
A








    
 

 

 
.
Ví dụ 3 Tính định thức của ma trận:
1234
2341
3412
4123
A














 Cộng dòng 1 với các dòng còn lại (tc 6) ta được:
Trang 8
212









 

160



1.2.3. Cách tìm ma trận đảo bằng định thức
1. Điều kiện khả đảo
Ma trận A khả đảo

A

0
2. Công thức ma trận đảo

t
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA

123
A












Ta có:
1
121
011 20,
123
AA


.

11
11
1
23
A 
;

0
12
A



31
21
1
11
A 
;
32
11
1
01
A

;
33
12
1
01
A


Do đó:
1
11 1 1 41
11

 r(A)

min(m,n)

2. Cách tìm hạng của ma trận
 Đưa ma trận về dạng bậc thang .
 Hạng của ma trận là số dòng khác 0 .
Ví dụ1 Tìm hạng của ma trận
A =
11 2 3 1123 1123
22 810 0044 0044
331013 0044 0000
 
 

 
 
 

Vậy r(A) = 2.

212
313 434
41 4 2 3
2
22
1 3 20 5 1320 5 1320 5
2 6 9712 0057 2 016415
2 524 5 016415 0057 2
1 4 8 4 20 0 1 6 4 15 0 0 0 0 0

ddd
dd
ddd
A
mm m




 
 
 
 
 

 
 

212
312 3 23
412 424
2
34
55
101100 101 1 0 0
011228 01122 8
04 111 1 00 5 7 7 33
05 0 33 00 5 7 7 40
ddd
ddd ddd



mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111
(1)
a
ij
: hệ số ; b
ij
: hệ số tự do ; xj : ẩn số ( i = m,1 ; j = n,1 )

2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
A =













m
b
b
b
.
.
2
1
, X =
















đúng.

4. Điều kiện tồn tại nghiệm - Định lý Kronecker-Capelli
Cho hệ phương trình (1) ,ta có :
 r(A)

r(A|B) : Hệ phương trình vô nghiệm.
 r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
 r(A) = r(A|B) = r<n : Hệ phương trình có vô số nghiệm và các nghiệm
phụ thuộc (n-r) tham số .
Ví dụ 1 Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình:











7324
154
3332
52
4321
4321
4321
4321

a. Phương pháp Cramer
Cho hệ phương trình Cramer:










nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111

 Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất : (x
1
,x
2

 


Ta có:
12 3
211300
31 2
A  

, hệ có duy nhất nghiệm.
1
62 3
21130
21 2
A  

;
2
16 3
22 1 30
32 2
A



;
3
126
21230
312







Do
23 2
det( ) 1 2 3 6 0
34 1
A 

nên hệ là hệ Gramer.
Với
1
14 5 13
1
10 4 8
6
21 1
A






  



Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
123
(, , ) (2,3,2)xxx

 .
1.3.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
 Cho hệ phương trình dạng ma trận : AX = B
(A|B)
đưa về dạng bậc thang  (A’|B’)
AX = B
 A’X = B’
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

1 234
1234
123 4
1234
10
26
2332 0
30
xxxx
xxxx
xxx x
xx xx
 





00 10 446
dd d
ddd
ddd
dd
dd d
ddd
A







 
 

 

 
 
 
 
 
 
















Trang 13
Ta có () () 4rA rA n nên hệ phương trình có duy nhất nghiệm.
 Hệ phương trình đã cho tương đương với:
1 234
1
23 2
3
3
4
4
10
1
2 4 2
3
3
4
2 8
xxxx
x

1
22
23233
3434 4
xxxx
xxxx
xx xx
xxxx
 













 Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:
21 2
313
414
32 3
42 4
2
3







 Ta có,
() () 2 4rA rA n nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc
vào 2 tham số.
 Hệ phương trình đã cho tương đương với:
1
1234 2
3
24
4
11
;( , )
1
x
xxxx x
R
x
xx
x
















 Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:
Trang 14

13
21 2
313
32 3
2
2
111 11 1 1 1 1
111 111 0110
11 1 111 01 1 1
11 1
011 0
002 1
dd
dd d
dmd d
dd d
mmm
Am m m m

0000
A






suy ra () () 1 3rA rA n

 . Hệ phương
trình có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số.
Suy ra, Hệ phương trình đã cho tương đương với:
1
123 2
3
1
1;(,)
x
x
xx x R
x



 


  

1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
1. Định nghĩa
Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu có các hệ số tự
do đều bằng 0 .










0

0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa


321
321
321
mxxx
xxx
xxx

a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường .
b. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình .
3. Hệ nghiệm cơ bản
Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì các nghiệm này có thể biểu
diễn được qua một hệ nghiệm riêng cố định , gọi là hệ nghiệm cơ bản.
Ví dụ Giải và tìm hệ nghiệm cơ bản của h
ệ phương trình tuyến tính

1234
1234
1234
12 34
22 0
242 0
2420
48 2 0
xxxx
xx xx
xx xx
xx xx






Suy ra,
() 2 4rA. Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số:

1
1234
2
334
4
2
22 0
6 3 0
2
x
xxxx
x
x
xx
x















mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111
(1)











0



1321
0123
2101
và B =












1231
2320
1012

Gọi C = 2A – 3B , D = 3A
t
+ B
t
, E = A
t
.B . Tìm c
23,






 102
321
110

Gọi C= 3A + 4I - 5B , D = A
2
, E = AI – B
2
, F = AB – BA. Tìm c
21
,

d
33
, e
22
, f
13

3.
Cho các ma trận : B =









1120
0100
3021
b.










12963
8642
4321
c.













34
45
c.












432
110
643
d.









240
120
413
c.













28112
71524
42312

d.











3133426
072142
22171
03171
7.
Tìm ma trận đảo bằng định thức
a.







53
32
b.






 xx

10
1
2
a
aa8.
Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình

a)








1422
243
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
b)



73
114
1632
321
321
321
xxx
xxx
xxx9.
Giải hệ phương trình Cramer
a)








142
52
12
321
321
321
xxx



10
3
10432
30432
4321
432
4321
4321
xxxx
xxx
xxxx
xxxxd)








142
02
32
321
321


12
123
12
32
321
21
xx
xxx
xx10.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss

Trang 18
a)








123
5
22
321
321


2432
124
32
321
321
321
xxx
xxx
xxxd)








552
12
12
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx







375554
243333
02
12
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx11.
Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

a)















023
02
02
431
4321
421
xxx
xxxx
xxx