Chương 2. Ma trận – Định thức
Chương 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Bài 1: Khái niệm ma trận và các phép toán trên ma trận
______________________________________________________
1. Ma trận:
1.1 Định nghĩa:
Ma trận m dòng, n cột trên trường số K (
,¡ £
) là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n
cột, mỗi số trong ma trận thuộc trường và được gọi là một phần tử của ma trận.
Ta ký hiệu tập các ma trận là M(m, n; K) và mỗi ma trận thuộc M(m, n; K) được viết chi
tiết là:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
M M O M

×
=
trong đó
1,i m=
chỉ số dòng và
1,j n=
chỉ số
cột của phần tử.
Hai ma trận
( )
ij m n
A a
×
=
và
( )
ij m n
B b
×
=
được gọi là bằng nhau nếu
ij ij
a b=
với mọi
1,i m=
và
1,j n=
.
Ví dụ: Ma trận
2x3

n n nn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
M M O M
Trong ma trận vuông các phần tử
11 22
, , ,
nn
a a a
là các phần tử nằm trên đường chéo chính,
các phần tử
1 ( 1)2 1
, , ,
n n n
a a a
−
là các phần tử nằm trên đường chéo phụ.
Ví dụ:
1 2
3 4
A
 
=

5
7
B
 
 
=
 
 
 
1.2.3 Ma trận không
Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ta dùng số 0 để biểu
thị cho mọi ma trận không cấp m x n.
Ví dụ:
Ma trận 0 cấp 2x3:
0 0 0
0 0 0
 
 
 
1.2.4 Ma trận chéo
Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử trên
đường chéo chính khác không được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo). Ma trận
chéo cấp n có dạng
A=
11
22
0 0
0 0
0 0
nn

1 2
diag( , , , )
n
a a a
với các phần tử trên
đường chéo chính là
1 2
, , ,
n
a a a
1.2.5 Ma trận đơn vị:
Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, được gọi là ma
trận đơn vị, ký hiệu
n
I
1.2.6 Ma trận tam giác
Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận
tam giác
Đại số tuyến tính 1
24
Chương 2. Ma trận – Định thức
A =
11 12 1
22 2

0
0 0
n
n
nn

11
21 22
1 2
0 0
0

n n nn
b
b b
b b b
 
 
 
 
 
 
M M O M
Trong đó
0
ij
b =
khi i < j được gọi là ma trận tam giác dưới.
Ví dụ:
3 0 0
1 2 0
0 1 1
B
 
 
=

 
 
M M O M
thì khi đó ma trận chuyển vị của ma trận A là
11 21 1
12 22 2
1 2
m
m
T
n n mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
M M O M
Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận
T
A
có cấp là n x m.

Chương 2. Ma trận – Định thức
b) Định lý: Cho các ma trận
x
, ( )
m n
A B M K∈
. Khi đó ta có các khẳng định sau:
( )
T
T
A A
=
.
T T
A B A B= ⇔ =
1.2.8 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng:
Nếu ma trận vuông A thỏa
T
A A
=
thì ta nói A là ma trận đối xứng.
Ví dụ: Ma trận
1 2 3
2 1 0
3 0 1
A
 
 
=
 

−
 
 
− −
 
=
 
−
 
−
 
là ma trận phản đối xứng.
Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì
, , 1,
ij ji
a a i j n= ∀ =
Nếu A là ma trận phản xứng thì
, , 1,
ij ji
a a i j n
= − ∀ =
, từ đây suy ra
0
ii
a =
(các phần tử trên
đường chéo chính bằng 0).
1.2.9 Ma trận bậc thang:
Nếu một ma trận trên K có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời trên hai
dòng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu

26
Chương 2. Ma trận – Định thức
- Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất phản xạ; đối
xứng; bắc cầu.
- Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị
n
I
qua duy nhất một phép
biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.
Ví dụ:
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=
 
 
 
thì có các ma trận sơ cấp nhận được từ
3
I
qua các phép biến đổi sơ cấp là:
1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
S

→
→
3
1 0 2
0 1 0
0 0 1
S
 
 
=
 
 
 
với
1 1 4
2
3 3
d d d
I S
→ +
→
2. Các phép toán trên ma trận
2.1 Phép cộng các ma trận
2.1.1 Định nghĩa: Tổng của hai ma trận
( )
ij m n
A a
×
=
và

+ + +
     
+ =
     
     
+ + +
     
M M O M M M O M M M O M
2.1.2 Ví dụ:
1 2 3
2 1 4
A
−
 
=
 
−
 
và
0 2 1
1 3 4
B
 
=
 
−
 
. Khi đó,
1 0 4
3 2 0

7 3 2 14 6 4
− − −
   
− =
   
− − −
   
Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi là phép trừ của hai ma
trận.
Đại số tuyến tính 1
27
Chương 2. Ma trận – Định thức
2 3 5
4 2 1
A
−
 
=
 
 
và
2 1 3
3 5 2
B
−
 
=
 
−
 

f)
( )A B A B
λ λ λ
+ = +
g)
( )A A A
λ µ λ µ
+ = +

2.3 Phép nhân hai ma trận:
2.3.1 Định nghĩa:
Cho hai ma trận
( )
ij m r
A a
×
=
và
( )
ij r n
B b
×
=
, khi đó tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB
là một ma trận
( )
ij m n
C c
×
=

.

r
n
r n
n
n
r r rn
m m mn
m m m
ij
j
j
i
rj
ir
r
i
a a a
b b b
a a a c c c
b b
b
b b

M M M
M M M M M M
M M M
M M M M



 
 

Chú ý:
Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận B bằng đúng số
cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp m x p và B là ma trận cấp p x n thì AB là ma
trận cấp m x n. Do đó, với A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng không
hẳn suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận không giao hoán.
Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0.
2.3.2 Ví dụ:
a) Giả sử
1 2
1 3
A
 
=
 
−
 
và
2 1
0 1
B

−
 
 
= −
 
 
 
Chương 2. Ma trận – Định thức
b) Với
1 0 0 0
;
0 0 1 0
C D
   
= =
   
   
ta có
0 0
0 0
CD
 
=
 
 
mặc dù
0; 0C D≠ ≠
.
Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B có thể hoán vị
với nhau. Ma trận đơn vị có thể hoán vị với mọi ma trận cùng cấp.

và
2
4B
y
 
 
=
 
 
 
. Nếu
12
6
AB
 
=
 
 
hãy tìm x và y
Giải:
Ta có
2
1 3 2 4 3 12
4
2 1 1 6
x x y
AB
y
y
 

∀ ∈
thì:
( )
x x
x x
0 0 ;
0 0 ;
( ') ';
;
( ) ( ) ( ),
n p m p
r m r n
T
T T
A
A
A B B AB AB
AB B A
AB A B A B K
α α α α
=
=
± = ±
=
= = ∀ ∈
2.3.5 Định lý: Với
1 2
diag( , , , )
n
A a a a=

A A A A A A A A
A A A A A A A A A A
− −
=
=
=
M
Hơn thế bằng cách chứng minh quy nạp ta có:
Đại số tuyến tính 1
29
Chương 2. Ma trận – Định thức
1 2 1 2 1
( )
T T T T T
n n n
A A A A A A A
−
=
2.4 Lũy thừa ma trận:
2.4.1 Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là:
lâ
.
k
k n
A A A A
=
1 2 3
.
Cụ thể,
0 1 2 1

3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
A
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
Nhận xét: Có những ma trận khác ma trận không nhưng lũy thừa k lần với
k
∈
¥
sẽ thành
ma trận không.
Một ma trận
( ; )A M n K
∈
thỏa tính chất tồn tại một số
k
∈
¥
, sao cho
0
k
A
=
thì khi đó ma

.
r s r s
A A A
+
=

( )
s
rs r
A A=
2.4.5 Định lý: Giả sử A, B là hai ma trận giao hoán trong M(n;K) (nghĩa là AB = BA) và
k
∈
¥
, khi đó ta có:

( ) .
k k k
AB A B
=
;

1 2 1
( )( )
k k k k k
A B A B A A B B
− − −
− = − + + +
;


−
−
= + + + +
là đa thức của ma trận A.
Ví dụ: Cho
3 2
( ) 3 5f x x x= − +
. Hãy tính f (A) với
1 2 3
2 0
; 5 4 6
0 3
7 1 8
A B
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
Ta có
3 2
2
8 0 4 0 1 0 1 0
( ) 3 5 3 5
0 27 0 9 0 1 0 5
f A A A I

Ví dụ:
Khi n = 2
Ta có nhóm các phép thế
2
1 2 1 2
;
1 2 2 1
S
 
   
=
 
 ÷  ÷
   
 
Suy ra biểu thức tính định thức cấp 2 là:
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
= −
Khi n = 3
Ta có nhóm các phép thế
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ;
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2
S

ta có định thức của ma trận A là detA hay |A|, được tính bằng
2
1 (1) 2 (2) 11 22 12 21 11 22 12 21
det sign ( 1) .
S
A a a a a a a a a a a
π π
π
π
∈
= = + − = −
∑
Cho
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=
 
 
 
khi đó ta có
Đại số tuyến tính 1
31
Chương 2. Ma trận – Định thức
3

det det .
T
A A
=
Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với
cột và ngược lại.
Ví dụ:

2 0 2 1
6
1 3 0 3
= =
3.2 Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dòng
( )i j≠
(hoặc hai cột khác nhau) bất kỳ của định
thức thì định thức đổi dấu.
Ví dụ:
1 3 5 3 1 7
2 7 9 2 7 9
3 1 7 1 3 5
= −
3.3 Tính chất 3: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một cột) của định thức được
nhân với
λ
thì định thức mới bằng định thức ban đầu nhân với
λ
.
Ví dụ:
1 2 3 1 2 3
4 2 6 2. 2 1 3

= + −
Từ tính chất trên, ta cũng có kết quả tương tự đối với cột.
Chú ý: Các tính chất 2, 3, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên của định thức. Từ
các tính chất trên ta có các kết quả sau:
3.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong các điều kiện sau:

Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0,
 Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau,

Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại dòng
i
d
mà
1 1 2 2 1 1 1 1

i i i i i k k
d a d a d a d a d a d
− − + +
= + + + + + + +

với
i
a ∈
K.
3.6 Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu:
 Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng.

Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác.
Nhận xét:
- Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng.

ij
a
là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận A).
Đại số tuyến tính 1
33
Chương 2. Ma trận – Định thức
Ví dụ: Xét ma trận
1 2 3 2
0 2 4 1
1 5 1 4
0 5 2 1
A
 
 
 
=
 
 
 
khi đó. Định thức
2
1 2
2
0 2
D = =
được gọi là định
thức con cấp 2 của A. Ta có
11
2 4 1
5 1 4

với K là ma trận có được từ ma trận A khi bỏ đi các dòng
1 2
, , ,
k
i i i
và các cột
1 2
, , ,
k
j j j
.
Ví dụ: Đối với ma trận A cho trên, xét
1 2
1 5
M =
là định thức của A tạo bởi dòng 1 và dòng
3; cột 1 và cột 2. Khi đó,
4 1
2 1
K
 
=
 
 
là ma trận có được từ ma trận A sau khi bỏ đi dòng 1,
dòng 3 cột 1 và cột 2. Vậy,
1 1 1 2 3 1 3 2
4 1
' ( 1) 2
2 1

 
 
 
M M M M M M
M M M M M M
.
Khi đó
 Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i thì detA được biểu diễn dưới dạng
1 2
i1 i1 i2 i2
1
det ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n
i i i n i k
in in ik ik
k
A a A a A a A a A
+ + + +
=
= − + − + + − = −
∑

Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn dưới dạng
1 2
1 1 2 2
1
det ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n
j j j n j k
j j j j nj nj kj kj

= −
.
Tiếp tục khai triển theo dòng thứ 3 của định thức
0 2 1
0 0
4 5
b
c
ta có:
2
. . ( )
0
a
A d c dc ab abcd
b
= − = − − =
b) Xét ma trận
0 3 0 5
2 3 1 1
1 1 3 0
0 4 0 5
B =
Khai triển theo dòng 1 có
1 2 1 4
2 1 1 2 3 1
( 1) 3 1 3 0 ( 1) 5 1 1 3
0 0 5 0 4 0
B
+ +
= − + −

1 2
, , ,
k
i i i
và các cột
1 2
, , ,
k
j j j
và M’ là phần
bù đại số của M.
Ví dụ:
Tính
0 3 0 5
2 3 1 1
1 1 3 0
0 4 0 5
A =
Chọn M là ma trận vuông cấp 2 tạo bởi các phần tử trên dòng 1 và dòng 4. Khi đó,
Đại số tuyến tính 1
35
Chương 2. Ma trận – Định thức
1 4 2 4 1 4 1 2 1 4 2 4
1 4 1 3 1 4 1 4 1 4 4 1
3 5 2 1 0 3 1 1 3 0 2 1
( 1) . ( 1) . ( 1) .
4 5 1 3 0 4 3 0 4 0 1 0
0 0 3 1 0 5 2 1 0 5 2 3
( 1) . ( 1) . ( 1) .
0 0 1 3 0 5 1 3 0 5 1 1

a a a
a a
A
a
 
 
 
=
 
 
 
M M O M
và
1
2( 1) 2
1
0 0
0 0

n
n n
n nn
b
b b
B
b b
−
 
 
 

Bước 2: Sử dụng tính chất 6 để đưa định thức về dạng có dòng (cột) đã chọn thành dòng
(cột) chỉ có một số khác 0.

Bước 3: Khai triển định thức theo dòng (cột) đó. Khi đó, việc tính một định thức cấp n
quy về việc tính định thức cấp n-1. Tiếp tục lặp lại các bước 1, 2 cho định thức cấp n-1, cuối
cùng ta sẽ dẫn về việc tính định thức cấp 2, 3.
4.6 Các ví dụ:
1) Tính detA với
Đại số tuyến tính 1
36
Chương 2. Ma trận – Định thức
1 0 1 1 2
0 1 1 2 1
1 2 1 0 1
1 0 1 0 2
1 1 1 1 1
A
−
 
 
−
 
 
=
 
−
 
 
−
 

1 0 0 0
−
− −
−
−

Tiếp theo ta khai triển theo dòng 4 thì được định thức
5
1 2 4
( 1)( 1) 1 5 5 1
1 1 0
−
− − − − =
■
2) Giải phương trình
2
5 100
1 1 2
0 0 1 0
0
1 2
0 0 1
x x x
x
x x x
x x
− +
−
=
−

■

4.7 Nhận xét: Trong thực tế ta thường sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng
(cột) để đưa ma trận A về dạng tam giác trên (hoặc tam giác dưới), sau đó áp dụng công thức
Laplace để tính det A.
5. Các phương pháp tính định thức cấp n:
Đối với các định thức có cấp n khá lớn (n>3), thì người ta thường không sử dụng định nghĩa
để tính định thức đó mà sử dụng một trong các phương pháp sau:
5.1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác:
Sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng (cột) của ma trận và sử dụng các tính
chất của định thức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác. Định thức sau cùng sẽ
bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.
Ví dụ: Tính định thức cấp n với
( 2)n
≥
sau đây
1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 3 2

2 2 2 n
Giải:
Ta nhân dòng 2 với (-1) rồi cộng vào các dòng 3, 4, …, n. Ta sẽ được định thức sau:
1 2 2 2
2 2 2 2
0 0 1 0

0 0 0 ( 2)n −
Ta nhân dòng 1 với (-2) rồi cộng vào dòng 2. Ta được định thức sau:
1 2 2 2

( 1)
a n b b b b
a n b a b b
a n b b a b
a n b b b a
+ −
+ −
+ −
+ −
Ta nhân dòng (1) với (-1) rồi cộng vào các dòng còn lại, ta được định thức sau:
1
( 1)
0 0 0
( ( 1) )( )
0 0 0

0 0 0
n
a n b b b b
a b
a n b a b
a b
a b
−
+ −
−
= + − −
−
−
■

Chương 2. Ma trận – Định thức
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 1 2 1
1 0 1
0

1 0 1
1
1 0

n n n
n n n
n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n
n
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
D
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b
− −
− −

− − − − − − −
− −
+
+
+ +
Ta khai triển định thức đầu theo cột thứ n ta được định thức đầu bằng
1n
D
−
.
Nhân cột thứ n của định thức thứ 2 với
( )
i
b−
rồi cộng vào các cột thứ i với i tương ứng nhận
các giá trị từ 1, 2, …., n-1. Ta có
1
2
1 1
1
1 0 0
0 1 0

0 0 1
0 0 0
n n n n n n
n
n
a
a

∈ ≠
¡
. Hãy tính định thức sau
0 0 0
1 0 0

0 0 0
0 0 0 0
n
a b ab
a b ab
D
a b ab
a b
+
+
=
+
+
Giải:
Khai triển định thức theo dòng đầu ta được
1
1 0 0 0
0 0 0
( )

0 0 0
0 0 0 0
n n
ab

và
1 1 2
( )
n n n n
D bD a D bD
− − −
− = −
(2) với
3n
≥
Áp dụng công thức truy hồi trên ta suy ra được
Từ (1)
2 2
1 1 2 2 3 2 1
( ) ( ) ( )
n n
n n n n n n
D aD b D aD b D aD b D aD b
−
− − − − −
− = − = − = = − =
Từ (2)
2 2
1 1 2 2 3 2 1
( ) ( ) ( )
n n
n n n n n n
D bD a D bD a D bD a D bD a
−
− − − − −


1
n
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
D
a b a b a b
+
+
=
+
Giải:
Ở mỗi cột của D
n
được viết thành tổng của hai cột mà ta ký hiệu là cột loại 1 và cột loại 2
như sau:
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
1 0 0
0 1 0

0 0 1
n
n
n
n n n n

,
1 0 0
0 1 0

0 0 1
i
i
n i
n i
a b
a b
D
a b
=
cột (i)
Khai triển Laplace theo cột thứ i ta có
,n i i i
D a b=
.
Đại số tuyến tính 1
41
Chương 2. Ma trận – Định thức
Vì có tất cả n định thức dạng 2 nên tổng các định thức dạng 2 là
1
n
i i
i
a b
=
∑

1 1 1

1 1 1
n
n
n n n n
x y x y x y
x y x y x y
D
x y x y x y
+ + +
+ + +
=
+ + +
Giải
Với
2n
≥
ta có
1
1 1 1 2 1
2
1 2 3
2 1 2 2 2
1
1 2
1 0 0
1 1 1 1
1 1 1
1 0 0

 
 
+ + +
 
 
= =
 
 
 
 
+ + +
 
 
 
. 0
 
 
 
 
 
 
 
 
B C
Do đó
2 1 2 1
0 , 2
det det .det
( )( ), 2
n

Đại số tuyến tính 1
42
Chương 2. Ma trận – Định thức
Ta có
1 1 2 1
2 1 2 2
1 2
1 1
2 2
3 3
sin(2 ) sin( ) sin( )
sin( ) sin(2 ) sin( )

sin( ) sin( ) sin(2 )
sin cos 0 0
sin cos 0 0
sin cos 0 0

sin cos 0 0
n
n
n n n
n n
A
α α α α α
α α α α α
α α α α α
α α
α α
α α

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

(B) (C)
Ta có
2
1 2
0 , 2
det det .det
sin ( ), 2
n
A B C
n
α α
>

= =


y z x
z y x
Nhận xét:
Cộng tất cả các cột sau vào cột đầu tiên, ta thấy định thức chia hết cho x + y + z vì
0 1
0 0 1 0
( )
0 0 1 0
0 0 1 0
x y z x y z x y z x y z
x z y x y z z y z y
x y z
y z x x y z z x z x
z y x x y z y x y x
+ +
+ +
= = + +
+ +
+ +
Nếu nhân cột thứ ba và thứ tư với (-1) rồi cộng cả ba cột còn lại vào cột (1) ta thấy định thức
chia hết cho y + z - x, thật vậy
Đại số tuyến tính 1
43
Chương 2. Ma trận – Định thức
0 1
0 0 1 0
( )
0 0 1 0
0 0 1 0
x y z x y z x y z x y z

( )
0 0 1 0
0 0 1 0
x y z x y z x y z x y z
x z y x z y z y z y
x y z
y z x x y z z x z x
z y x z x y y x y x
− − + −
− +
= = + −
+ −
− − −
Vậy định thức trên chia hết cho (x+y+z)(y+z-x)(x-y+z)(x+y – z)
Tích này chứa z
4
với hệ số (-1) trong đó định thức lại chứa z
4
với hệ số +1. Cho nên
D = -(x+y+z)(y+z-x)(x-y+z)(x+y – z)
Đại số tuyến tính 1
44
Chương 2. Ma trận – Định thức
Bài 3: Hạng của ma trận, cách tính hạng của ma trận
_____________________________________________
1. Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn khác không. Hạng của ma trận A là số tự nhiên r,
1 min{ , }r m n
≤ ≤
thỏa mãn các điều kiện sau:
 Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.

=

Các phép biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột.
 Bỏ đi các dòng hoặc các cột gồm toàn số 0.

Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ hợp tuyến tính của các dòng hay các cột khác.
3.2 Tính chất 2: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì:

( ) det 0rank A n A
= ⇔ ≠

( ) det 0rank A n A
< ⇔ =
Nếu xảy ra trường hợp đầu thì ta nói ma trận vuông A không suy biến.
Đại số tuyến tính 1
45
Chương 2. Ma trận – Định thức
Nếu xảy ra trường hợp hai thì ta nói ma trận vuông A suy biến.
3.3 Tính chất 3:
 Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì
( )rank A B rankA rankB
+ ≤ +
.

Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB. Khi đó,
( ) min{ , }rank AB rankA rankB≤

Nếu A tương đương dòng (cột) với B thì rank (A ) = rank (B )
4. Cách tính hạng của ma trận:
4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức

khác 0. Khi
đó ta lập lại bước 2 với
1k
D
+
thay cho vị trí của
k
D
. Tiếp tục như vậy đến khi xảy ra trường hợp
1 hoặc 2 thì thuật toán kết thúc.
Ví dụ: Tính hạng của ma trận sau:
1 2 2 1 4
1 1 1 1 3
1 3 3 2 2
2 1 1 0 1
A
 
 
−
 
=
 
 
 
Giải:
Xét ma trận tạo bởi hai dòng đầu
1 2
1 1
A
 

B
 
 
−
 
=
 
 
 

2
1 2 1 4
1 1 1 3
1 3 2 2
2 1 0 1
B
 
 
−
 
=
 
 
 
Vậy detB
1
và detB
2
đều bằng 0. Cả hai định thức này đều bằng 0. Do đó rankA = 3.■
Nhận xét:

được đánh dấu
1 2
{ , , , }
r
i i i
gọi là cột đánh dấu của ma trận A.
Điều kiện (2) có thể phát biểu lại: Nếu đi từ trên xuống thì các phần tử được đánh dấu phải
lùi dần về bên phải. Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau:
1
2
1
2
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
r
i
i
ri
a
a
A
a
 
 
 