Ma trận - Định thức 1
Toán cao cấp
Bùi Thành trung
Khoa Cơ bản
Trường CĐ Kinh tế - Kỹ thuật Điện Biên
Ma trận - Định thức 2
Tài liệu tham khảo
1. Bài giảng Đại số tuyến tính và ứng dụng. Nguyễn Quang
Hoà. Khoa Khoa học - Đại học Cần Thơ. 2006.
2. Giáo trình Đại số tuyến tính. Hồ Hữu Lộc. Khoa Khoa học
- Đại học Cần Thơ. 2006.
3. Bài giảng Đại số tuyến tính. Đặng Văn Thuận. Khoa Sư
phạm - Đại học Cần Thơ. 1999.
4. Toán học cao cấp, tập 1,2,3. Nguyễn Đình Trí. NXB Giáo
dục. 2004.
5. Bài giảng Vi tích phân C. Lê Phương Quân. Khoa Khoa
học - Đại học Cần Thơ. 2006.
6. Tất cả các giáo trình bài giảng về Đại số tuyến tính và Vi tích
phân
Ma trận - Định thức 3
Nội dung học phần
Hàm nhiều biến
4
1
1
Ma trận - Định thức, Hệ phương trình tuyến tính
Hàm số và giới hạn
2
Đạo hàm và vi phân
3
Tích phân










=
mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A
a
ij
là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j.
Ký hiệu: A = [a
ij
]
m x n
hoặc A = (a
ij
)
m x n


,…a
nn
được gọi là các phần tử chéo.
Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo
chính.
Ma trận - Định thức 7
ξ1. MA TRẬN
•
Ma trận tam giác trên:












=
nn
n222
n11211
a 00

a a0
a aa
A









=
nn2m1n
2221
11
a aa

0 aa
0 0a
A












=

11
a 00

0 a0
0 0a
A












=
nn
22
11
a

a
a
A
trong đó a
ij
= 0 nếu i ≠ j được gọi là ma trận chéo.

1.1.3. Vectơ hàng (cột): Ma trận chỉ có một hàng (cột) được
gọi là vectơ hàng (cột).
1.1.4. Ma trận không:












=θ
0 00

0 00
0 00
1.1.5. Ma trận bằng nhau:
1) A=[a
ij
]
m x n
; B=[b
ij
]
m x n


T
=[a
ji
]
n x m













=
3125171811
2819201513
241618149
3027151210
A
Ma trận - Định thức 11
ξ1. MA TRẬN
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN:
1.2.1. Phép cộng hai ma trận
a. Định nghĩa: A=[a
ij

2231
2315
4132
b. Tính chất: Nếu các ma trận A, B, C, θ cùng cấp m x n, ta dễ
dàng chứng minh được các tính chất sau:
•
A + B = B + A
•
(A + B) + C = A + (B + C)
•
θ + A = A
•
Nếu gọi -A = [-a
ij
]
m x n
thì ta có -A + A = θ
Ma trận - Định thức 12
ξ1. MA TRẬN
1.2.2. Phép nhân một số với ma trận:
a. Định nghĩa: cho A=[a
ij
]
m x n
, k∈R thì tích kA là một ma trận
cấp m x n được xác định bởi k.A=[k.aij]
mxn
1 2 3 1
3 2 0 5 3
2 1 0 4

có m hàng và n cột, phần tử c
ij
được xác định như sau:
∑
=
=++=
p
1k
kjikpjip2ji21ji1ij
baba babac










−
−






−
−

Tháng 1 A B C D
CH1 10 2 40 15
CH2 4 1 35 20
Tháng 2 A B C D
CH1 12 4 20 10
CH2 10 3 15 15






+






=+
1515310
1020412
203514
1540210
CC
21
Ma trận - Định thức 16
ξ1. MA TRẬN
Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo
kế hoạch sản xuất cho bởi ma trận A và ma trận B định











3/1012224/10
3/4121610
3/5610520
3/11200
0118/10
010/102/12
1020
480
5010
Ma trận - Định thức 17
ξ2. ĐỊNH THỨC
2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA:
•
A là ma trận vuông cấp 2:
•
A là ma trận vuông cấp 1:
A= [a
11
] thì det(A) = a
11








=
nn2m1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A
Ký hiệu A
ij
là ma trận vuông cấp n-1 nhận được từ A bằng cách
xoá hàng i cột j.
Ta gọi phần bù đại số của a
ij
là số C
ij
= (-1)
i+j
det(A
ij
). Ta nói
định thức cấp n của A là:










−
−=
987
654
321
A
87
54
.3.)1(
97
64
.2.)1(
98
65
.1.)1()Adet(
312111
−
−
−+
−
−+

với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức
cũ nhân với k.
Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có
một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài
định thức.
Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ thì
bằng không.
Ma trận - Định thức 22
ξ2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 7: Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột)
có dạng tổng của hai số hạng thì định thức đó có thể phân tích
thành tổng của hai định thức.
Dòng thứ i nào đó của định thức có a
ij
= a’
ij
+ a”
ij

thì det(A) = det(A’) + det(A”)











a

a aa
a aa
A


















=
nn2n1n
"
in
"
2i
"

312
)Adet( =
420
130
312
516
130
312
3121
HH.3HH.2
−−
 → →
+−+−
Ma trận - Định thức 24
ξ2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giác bằng tích
các phần tử chéo.
nn2211
nn
n222
n11211
a aa
a 00

a a0
a aa
=
11
21 22
11 22