Chu
.
o
.
ng 3
Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
3.1 Ma trˆa
.
n ..................... 67
3.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa ma trˆa
.
n ............. 67
3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen ma trˆa
.
n..69
3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa
.

’
ad
i
.
nh th´u
.
c........... 88
3.2.4 Phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh d
i
.
nh th´u
.
c ........ 89
3.3 Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n ...............109
3.3.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa ..................109
3.3.2 Phu

ng ph´ap t`ım ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o ...119
3.1 Ma trˆa
.
n
Gia
’
su
.
’
P l`a tru
.
`o
.
ng sˆo
´
n`ao d
´o(P = R, C).
3.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa ma trˆa
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
... a
mn
Ba
’
ng sˆo
´
n`ay du
.
o
.
.
cgo
.
il`ama trˆa
.
n (hay ch´ınh x´ac ho

.
n, trong d
´o i chı
’
sˆo
´
hiˆe
.
u h`ang, j chı
’
sˆo
´
hiˆe
.
ucˆo
.
tcu
’
ama
trˆa
.
n.
K´yhiˆe
.
u: c´o thˆe
’
d`ung mˆo
.
t trong c´ac k´yhiˆe
.

.
.
a
m1
a
m2
... a
mn






, hay






a
11
a
12
... a
1n
a
21
a









a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

c
hay ng˘a
´
ngo
.
nho
.
n
A =


a
ij


m×n
=

a
ij

m×n
=

a
ij

m×n
.
Tˆa

.
o
.
.
cgo
.
il`ama trˆa
.
n vuˆong
cˆa
´
p n (thu
.
`o
.
ng k´y hiˆe
.
u: A =


a
ij


n×n
=


a
ij

.
.
cgo
.
il`anh˜u
.
ng phˆa
`
n
tu
.
’
d
u
.
`o
.
ng ch´eo. C´ac phˆa
`
ntu
.
’
n`ay lˆa
.
p th`anh d
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh cu

ij
=0∀ i = j)go
.
il`ama trˆa
.
ndu
.
`o
.
ng ch´eo:
A =









d
1
d
2

.
.
.

.

.
i phˆa
`
ntu
.
’
d
1
= d
2
= ···= d
n
=1
th`ı ma trˆa
.
nd
´odu
.
o
.
.
cgo
.
i l`a ma trˆa
.
nd
o
.
nvi
.







.
Nhu
.
vˆa
.
y E
n
=


δ
ij


n
1
, trong d´o δ
ij
=



0nˆe
´

.
.
.
.
.
00... 0






go
.
i l`a ma trˆa
.
n - khˆong k´ıch thu
.
´o
.
c m × n.Nˆe
´
u m = n th`ı k´yhiˆe
.
u O
n
hay O
n
1
.

2) Ma trˆa
.
n k´ıch thu
.
´o
.
c(1× n)go
.
i l`a ma trˆa
.
n h`ang

a
1
,a
2
,...,a
n

c`on ma trˆa
.
n(m× 1) go
.
i l`a ma trˆa
.
ncˆo
.
t



.
i ma trˆa
.
nd
u
.
o
.
.
cx´et l`a trˆen c`ung mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng P (= R, C).
C´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen tˆa
.
pho
.
.
p c´ac ma trˆa
.
n l`a ph´ep cˆo
.
ng c´ac
ma trˆa
.

.
nh ngh˜ıa nh`o
.
c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac
phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
ach´ung.
1. Cho A =

a
ij

m×n
, B =

b
ij

m×n
. Ma trˆa
.
n C =

c
ij

n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
v`a k´yhiˆe
.
u
C = A + B

[c
ij
]=[a
ij
+ b
ij
],i= 1,m, j = 1,n

.
2. Gia
’
su
.
’
A =

a
ij

ij
= λa
ij
∀ i = 1,m, ∀ j = 1,n
v`a k´yhiˆe
.
u
C = λA

λA =

λa
ij

m×n
).
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd
˘a
.
cbiˆe
.
t khi λ = −1 ta viˆe
´

.
’
A, B, C ∈M(m× n)v`aα, β ∈P. Khi d
´o
I. A + B = B + A (luˆa
.
t giao ho´an).
II. A +(B + C)=(A + B)+C (luˆa
.
tkˆe
´
tho
.
.
p).
III. A +O
m×n
= A.
IV. A +(−A)=O
m×n
.
V. 1 · A = A.
VI. α(βA)=(αβ)A - luˆa
.
tkˆe
´
tho
.
.
pd

VIII. (α + β)A = αA + βA - luˆa
.
t phˆan bˆo
´
cu
’
a ph´ep nhˆan v´o
.
ima
trˆa
.
nd
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng c´ac sˆo
´
.
Hiˆe
.
u c´ac ma trˆa
.
n A− B c´o thˆe
’
d
i
.

´
usˆo
´
cˆo
.
tcu
’
ama
trˆa
.
n A b˘a
`
ng sˆo
´
h`ang cu
’
a ma trˆa
.
n B (t`u
.
su
.
.
tu
.
o
.
ng th´ıch cu
’
a A v´o

v`a B =

b
ij

n×p
. Ma trˆa
.
n C =

c
ij

m×p
du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a t´ıch cu
’
a ma trˆa
.
n A v´o
.
i ma trˆa
.
n B nˆe

i ma trˆa
.
n A”.
T`u
.
(3.1) suy ra quy t˘a
´
c t`ım c´ac sˆo
´
ha
.
ng cu
’
a t´ıch c´ac ma trˆa
.
n:
phˆa
`
ntu
.
’
c
ij
d´u
.
ng o
.
’
vi
.

.
n A nhˆan v´o
.
i c´ac phˆa
`
ntu
.
’
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
acˆo
.
tth´u
.
j cu
’
a ma trˆa
.
n
B.







×




b
11
.
.
.
b
n1




b
ij
.
.
.
b
ij




b





Ch´u´y. 1) N´oi chung ph´ep nhˆan ma trˆa
.
n khˆong c´o t´ınh chˆa
´
t giao
ho´an.
2) T´ıch hai ma trˆa
.
n kh´ac 0 c´o thˆe
’
b˘a
`
ng ma trˆa
.
n khˆong.
3) V´o
.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n c´ac ph´ep to´an du
.
o
.

.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
dˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng ma trˆa
.
n).
IV. C(A + B)=CA + CB (luˆa
.
t phˆan bˆo
´
ph´ep nhˆan bˆen tr´ai
d
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng ma trˆa

nvi
.
ma
trˆa
.
n.
Cho ma trˆa
.
n A =

a
ij

m×n
. Ma trˆa
.
nthudu
.
o
.
.
ct`u
.
ma trˆa
.
n A b˘a
`
ng
ph´ep chuyˆe
’

.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aA
T
.Nhu
.
vˆa
.
y: A
T
l`a (n × m)-ma trˆa
.
n.
Ma trˆa
.
n vuˆong d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ama trˆa
.
nd
ˆo
´

u A =

a
ij

n
1
l`a
ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng th`ı a
ij
= a
ji
∀ i, j = 1,n v`a nˆe
´
u A pha
’
nx´u
.
ng th`ı
a
ij
= −a
ji

1. 1) Cˆo
.
ng c´ac ma trˆa
.
n

12
34

v`a

56
78

.
2) Nhˆan ma trˆa
.
n A =

−12−1
40 1

v´o
.
isˆo
´
λ =3.
Gia
’
i. 1) Hai ma trˆa

=

1+5 2+6
3+7 4+8

=

68
10 12

.
2) λA =3·

−12−1
40 1

=

−1 · 32· 3 −1 · 3
4 · 30· 31· 3

=
3.1. Ma trˆa
.
n 73

−36−3
12 0 3

.

’
imˆo
.
t ma trˆa
.
ncˆo
.
tv´o
.
imˆo
.
t ma trˆa
.
n h`ang ?
Gia
’
i. 1) Ma trˆa
.
n h`ang l`a ma trˆa
.
nk´ıchthu
.
´o
.
c(1× n) c`on ma trˆa
.
n
cˆo
.
t l`a ma trˆa

tsˆo
´
,cu
.
thˆe
’
l`a

a
1
a
2
... a
n







b
1
b
2
.
.
.
b
n





a
1
a
2
.
.
.
a
m






l`a ma trˆa
.
n k´ıch thu
.
´o
.
c(m× 1). Ma trˆa
.
n n`ay tu
.
o

.
c, cu
.
thˆe
’
l`a






a
1
a
2
.
.
.
a
m







b
1

b
2
... a
2
b
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m
b
1
a
m
b
2
... a
m
b
n

, B =



1
3
3



.
2) A =

14−1
20 1

, B =



−10
13
−11



.
Gia
’
i. 1) Theo quy t˘a

`
nta
.
i v`ı ma trˆa
.
n B khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
ima
trˆa
.
n A.
2) Ta c´o ma trˆa
.
n A tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i ma trˆa
.
n B.Dod
´o
AB =

14−1

.
n B tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i ma trˆa
.
n A v`a
BA =



−2 −82
742
1 −42



. 
V´ı d u
.
4. 1) Cho ma trˆa
.
n A =

01
00


11
−1 −1

.
Gia
’
i. 1) V`ı A l`a ma trˆa
.
ncˆa
´
p2nˆen d
ˆe
’
c´ac t´ıch AX v`a XA x´ac
d
i
.
nh, ma trˆa
.
n X c˜ung pha
’
i l`a ma trˆa
.
ncˆa
´
p 2. Gia
’
su
.
’

=

0 α
0 γ

.
T`u
.
d
´onˆe
´
u AX = XA ⇒ γ =0,α = δ.Dod´omo
.
i ma trˆa
.
n ho´an vi
.
v´o
.
i ma trˆa
.
nd
˜achodˆe
`
u c´o da
.
ng
X =

αβ

.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
v´o
.
i ma trˆa
.
n A =

12
−1 −1

. Khi d
´o

12
−1 −1

xy
uv

=

xy
uv

y +2v =2x − y
−y − v =2u − v
⇒



x = u − 2v
y = −2u
; u, v t`uy ´y.
Vˆa
.
ytathud
u
.
o
.
.
c
X =

u− 2v −2u
uv

,u,vt`uy ´y.
3) Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`

´
t thiˆe
´
t
A = O ho˘a
.
c B = O. 
V´ı d u
.
5. Ma trˆa
.
n S = λE
n
, trong d´o E
n
l`a ma trˆa
.
ndo
.
nvi
.
cˆa
´
p n v`a
λ l`a mˆo
.
tsˆo
´
d
u

.
i ma trˆa
.
n vuˆong c`ung cˆa
´
p.
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng c´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
a ma trˆa
.
nd
o
.
nvi
.
ta c´o
SA =(λE
n
)A = λ(E
n
A)=λA;
AS = A(λE

´ot´ıch
k ma trˆa
.
n A d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a lu˜yth`u
.
abˆa
.
c k cu
’
a A v`a k´y hiˆe
.
u A
k
. Theo
3.1. Ma trˆa
.
n 77
di
.
nh ngh˜ıa A
0
= E.Nhu




0100
0010
0001
0000





.
Gia
’
i. Ta c´o
A
2
=





0100
0010
0001
0000





,
v`a dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
A
3
= A
2
A =





0010
0001
0000
0000







4
=





0001
0000
0000
0000










0100
0010
0001
0000






V´ı d u
.
7. Gia
’
su
.
’
J =

01
−10

,E= E
2×2
.
78 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
Ch´u
.

ng tu
.
.
nhu
.
c´ac sˆo
´
ph´u
.
cda
.
ng
Z = α + βi.
Gia
’
i. 1) Ta c´o
J
2
=

01
−10

01
−10

=

−10
0 −1

t ta c´o
Z
1
+ Z
2
=(α
1
+ α
2
)E +(β
1
+ β
2
)J
v`a m˘a
.
t kh´ac
Z
1
+ Z
2
=

α
1
β
1
−β
1
α

2

=(α
1
+ α
2
)E +(β
1
+ β
2
)J.
D
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep nhˆan su
.
.
l´y gia
’
ic˜ung tu
.
o
.
ng tu
.
.
. 
V´ı d u

´o
.
ng: ma trˆa
.
nvˆohu
.
´o
.
ng
ho´an vi
.
v´o
.
imo
.
i ma trˆa
.
nc`ung cˆa
´
p, ta s˜e biˆe
’
udiˆe
˜
n ma trˆa
.
nd
˜a cho th`anh
3.1. Ma trˆa
.
n 79

c thu
.
.
chiˆe
.
nd
o
.
n gia
’
nho
.
n.
1) A =

31
03

=

30
03

+

01
00

= B +
˜


∀ m  2.
Tiˆe
´
p theo do B
˜
B =
˜
BB nˆen ta c´o thˆe
’
´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c
(B +
˜
B)
n
=
n

i=0
C
i
n
B
i
˜
B

B
n
= |do
˜
B
m
=0,m 2|
= B
n
+ C
n
1
B
n−1
˜
B = B
n
+ nB
n−1
˜
B
=

3
n
0
03
n

=

03
n

.
2) Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trˆen ta c´o
A =

41
03

=

30
03

+

11
00

= B +

11
00

∀ m  1 (3.4)
80 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
Tiˆe
´
p theo do B
˜
B =
˜
BB nˆen ta c´o thˆe
’
´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c

B
n−k
˜
B
k
. Theo (3.3) v`a (3.4) ta c´o
C
k
n

3
n−k
0
03
n−k

11
00

= C
k
n

3
n−k
3
n−k
00

=

0
03
n

+
n

k=1

C
k
n
3
n−k
C
k
n
3
n−k
00

=


3
n
+
n

k=1

= (3 + 1)
n
=4
n
v`a 0 +
n

k=1
C
k
n
3
n−k
=
n

k=0
C
k
n
3
n−k
−
3
n
=4
n
− 3
n
, do vˆa


, B =

4 −4
0 i

;
2) A =



1 −10
211
3 −12



, B =



−212
045
2 −37



.
3.1. Ma trˆa
.



−1 −3 −3
−2316
−2 −715



,
BA =



615
23 −114
−17 −12 11



)
2. T´ınh t´ıch c´ac ma trˆa
.
n
1)



521
523
652

535






564
897
−4 −5 −3



.(D
S.



11 9 13
−22 −27 −17
29 32 26



)
3)










)
4)





213
421
−21−3
121








1
2
−1




5)

1 −33−1
13−51






11
12
11
1 −2





.(D
S.

00
00

)
6)




−13 0
−21 1
30−2
412





, B =

5 −131
20−14

.(D
S. T´ıch AB
khˆong tˆo
`
nta
.
i v`ı ma trˆa
.
n A khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i ma trˆa
.

.
iv`ıA khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i B; BA =

11 −1

)
3) A =

12 3 4
21−23

, B =





15 3
68 2
12−1
30 1




sin(α + β) cos(α + β)

)
4. T´ınh c´ac lu˜yth`u
.
acu
’
a ma trˆa
.
n A
n
nˆe
´
u:
1) A =

11
01

.(D
S. A
n
=

1 n
01

)
Chı
’

3) A =









d
1
d
2

.
.
.

.
.
.
d
n







S.



22
n
− 10
010
002



)
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u AB = BA th`ı
1) (A + B)
2
= A
2
+2AB + B
2
.
2) A
2
− B

ng phu
.
o
.
ng ph´ap quy na
.
p to´an ho
.
c.
Gia
’
su
.
’
cho d
ath´u
.
c P (x)=a
0
+ a
1
x + ···+ a + kx
k
. Khi d´oma
trˆa
.
n vuˆong
P (A)=a
0
E + a

E + a
A
+ ···+ a
k
A
k
go
.
il`adath´u
.
ccu
’
a ma trˆa
.
n A.
6. Gia
’
su
.
’
P (x)v`aQ(x) l`a hai d
ath´u
.
cv´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
∈Pv`a A l`a ma trˆa

ath´u
.
c ma trˆa
.
n
1) P (x)=x
2
− 5x +3, A =

2 −1
−33

.(DS.

00
00

)
2) P (x)=3x
2
− 2x +5, A =



1 −23
2 −41
3 −52




.
(D
S.



−70 3
0 −70
00−7



)
4) Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ma trˆa
.
n



12−2
10 3
13 0



l`a nghiˆe

mcu
’
ad
ath´u
.
c P (x)=x
3
− 5x
2
+7x − 3.
3.2. D
-
i
.
nh th´u
.
c 85
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u A l`a ma trˆa
.
nd
u
.
`o
.

.
n P (A)c˜ung l`a ma trˆa
.
nd
u
.
`o
.
ng ch´eo v´o
.
i c´ac phˆa
`
ntu
.
’
trˆen
d
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh l`a P (λ
1
), P (λ
2
),...,P(λ
n
). H˜ay x´et tru
.
`o

`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap quy na
.
pv`asu
.
’
du
.
ng hˆe
.
th´u
.
c(AB)
T
= B
T
A
T
.
10. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng mo
.
i ma trˆa

t ma trˆa
.
n pha
’
nx´u
.
ng.
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a
.
t P =
1
2
(A + A
T
), Q =
1
2
(A− A
T
), A = P + Q.
3.2 D
-
i
.
nh th´u

´
J = {1, 2,...,n}
d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆo
.
t ho´an vi
.
cu
’
a n phˆa
`
ntu
.
’
d
´o . S ˆo
´
c´ac ho´an vi
.
c´o thˆe
’
c´o
cu

.
nd
´u
.
ng tru
.
´o
.
csˆo
´
b´e ho
.
n. Sˆo
´
nghi
.
ch thˆe
´
cu
’
a
ho´an vi
.
(α
1
,...,α
n
)du
.
o

,...,α
n
} du
.
o
.
.
cgo
.
il`aho´an vi
.
ch˘a
˜
n nˆe
´
usˆo
´
nghi
.
ch thˆe
´
cu
’
a n´o l`a ch˘a
˜
n v`a go
.
il`aho´an vi
.
le

`
utu
.
o
.
ng ´u
.
ng
v´o
.
imˆo
.
tsˆo
´
-go
.
il`ad
i
.
nh th´u
.
c cu
’
a n´o.
86 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.

=






a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

o
.
.
ct`u
.
c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a
ma trˆa
.
n theo quy t˘a
´
c sau d
ˆay:
1) d
i
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p n b˘a
`
ng tˆo
’

1
a
i
2
j
2
···a
i
n
j
n
(3.8)
cu
’
a n phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
nm`ac´u
.
mˆo
˜
i h`ang v`a mˆo
˜
icˆo

j
n
cu
’
adi
.
nh th´u
.
c c´o dˆa
´
ucˆo
.
ng nˆe
´
u ho´an
vi
.
lˆa
.
pnˆenbo
.
’
i c´ac sˆo
´
hiˆe
.
u h`ang {i
1
,i
2

u
tr`u
.
(“ − ”) trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
cla
.
i.
K´yhiˆe
.
u: D
i
.
nh th´u
.
ccu
’
a ma trˆa
.
n A d

2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
... a
nn










.

n
)
σ = inv(j
1
,...,j
n
)
v`a khi d
´odˆa
´
ucu
’
asˆo
´
ha
.
ng di
.
nh th´u
.
cl`adˆa
´
ucu
’
ath`u
.
asˆo
´
(−1)
s+σ

hiˆe
.
u h`ang:
a
i
1
j
1
a
i
2
j
2
···a
i
n
j
n
= a
1α
1
a
2α
2
···a
nα
n
th`ı
det A =


(α
1
,α
2
,...,α
n
)cu
’
a c´ac sˆo
´
1, 2,...,n.
Trong ma trˆa
.
n vuˆong (3.7) ta cˆo
´
d
i
.
nh k (k<n) h`ang v`a k cˆo
.
t n`ao
d
´o. Gia
’
su
.
’
d
´o l`a c´ac h`ang v´o
.

.
’
n˘a
`
m trˆen giao cu
’
a h`ang
v`a c´ac cˆo
.
td
u
.
o
.
.
ccho
.
n ta c´o thˆe
’
lˆa
.
pd
i
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p k


i
2
j
2
... a
i
2
j
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i
k
j
1
a
i
k
j

il`ad
i
.
nh th´u
.
cconcˆa
´
p k cu
’
a ma trˆa
.
n A.K´y
hiˆe
.
u
M
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
···j
k
.
Nˆe

’
a ma trˆa
.
n A s˜e ta
.
o th`anh mˆo
.
t ma trˆa
.
n vuˆong
cˆa
´
p n − k.D
i
.
nh th´u
.
ccu
’
a ma trˆa
.
n vuˆong n`ay l`a d
i
.
nh th´u
.
c con cˆa
´
p
n − k cu

i
2
···i
k
j
1
j
2
···j
k
v`a du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aM
i
1
i
2
···i
k
j
1
j
2
···j
k

cgo
.
il`aphˆa
`
nb`ud
a
.
isˆo
´
cu
’
adi
.
nh th´u
.
c con
M
i
1
···i
k
j
1
···j
k
.
Tru
.
`o
.

.
.
cgo
.
i l`a phˆa
`
nb`ucu
’
a phˆa
`
ntu
.
’
a
ij
cu
’
a A v`a sˆo
´
A
ij
=(−1)
i+j
M
ij
go
.
i l`a phˆa
`
nb`uda

adi
.
nh th´u
.
c
Di
.
nh th´u
.
c c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau
I. Qua ph´ep chuyˆe
’
nvi
.
ma trˆa
.
n, d
i
.
nh th´u
.
ccu
’
a n´o khˆong d
ˆo
’
i, t´u
.

u kh˘a
’
ng di
.
nh n`ao d´o d ˜ad´ung v´o
.
i h`ang th`ı
n´o c˜ung d
´ung v´o
.
icˆo
.
t. Do d
´o c´ac t´ınh chˆa
´
ttiˆe
´
p theo dˆay chı
’
cˆa
`
n ph´at
biˆe
’
u cho h`ang.
II. Nˆe
´
ud
ˆo
’

’
ad
i
.
nh th´u
.
c
c´o thˆe
’
d
u
.
a ra ngo`ai dˆa
´
ud
i
.
nh th´u
.
c.
IV. D
i
.
nh th´u
.
c c´o mˆo
.
t h`ang b˘a
`
ng 0 l`a b˘a

u c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a h`ang th´u
.
i cu
’
ad
i
.
nh th´u
.
c D c´o da
.
ng
a
ij
= b
ij
+ c
iJ
, i = 1,n, j = 1,n th`ı di
.
nh th´u
.
c D b˘a

.
nh th´u
.
c D
2
c´o h`ang th´u
.
i l`a (c
i1
,c
i2
,...,c
in
) c`on c´ac h`ang kh´ac
l`a c´ac h`ang tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
a D.
VIII. Nˆe
´
ud
i
.
nh th´u
.

u thˆem v`ao mˆo
.
t h`ang n`ao d´omˆo
.
ttˆo
’
ho
.
.
p tuyˆe
´
n t´ınh cu
’
a c´ac h`ang kh´ac.
X. D
i
.
nh th´u
.
cb˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac t´ıch cu
’
a c´ac phˆa
`
ntu
.
’

+ ···+ a
in
A
in
=
n

j=1
a
ij
A
ij
. (3.10)
Nhˆa
.
nx´et. Ngu
.
`o
.
itac˜ung d`ung t´ınh chˆa
´
t X n`ay d
ˆe
’
l`am di
.
nh ngh˜ıa
d
i
.

a
.
isˆo
´
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
a c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a h`ang kh´ac l`a b˘a
`
ng 0:
n

j=1
a
ij
A
kj
=0, ∀ k = i; i, k = 1,n.

o
.
ng ph´ap t´ınh d
i
.
nh th´u
.
c
I. Di
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p 1, cˆa
´
p2v`acˆa
´
p3d
u
.
o
.
.
c t´ınh theo c´ac cˆong th´u
.
c
|a
11
| = a







a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33







32
− a
12
a
21
a
33
.
Khi t´ınh d
i
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p 3 ta c´o thˆe
’
su
.
’
du
.
ng quy t˘a
´
c Surrus “da
.
ng
tam gi´ac” ho˘a
.
c “da


















•••
•••
•••











31
a
32
90 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
⊕⊕⊕
II. T´ınh d
i
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p n
1
+
Khai triˆe
’
ndi

´
tcu
’
ad
i
.
nh th´u
.
cd
ˆe
’
biˆe
´
ndˆo
’
idi
.
nh th´u
.
cd
˜a
cho th`anh d
i
.
nh th´u
.
cm´o
.
i sao cho ngoa
.

i
0
(ho˘a
.
ccˆo
.
t j
0
)dˆe
`
ub˘a
`
ng 0. Khi
d
´o
det A =(−1)
i
0
+j
0
a
i
0
j
0
M
i
0
j
0

td
o
.
nvi
.
.
3
+
Su
.
’
du
.
ng c´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
ad
i
.
nh th´u
.
cd
ˆe
’
biˆe
´
ndˆo
’
idi

’
ad
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh d
ˆe
`
ub˘a
`
ng 0). Khi d´odi
.
nh th´u
.
cb˘a
`
ng
t´ıch c´ac phˆa
`
ntu
.
’
trˆen d
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh.
4

’
biˆe
’
udiˆe
˜
n qua c´ac di
.
nh
th´u
.
cc`ung da
.
ng nhu
.
ng cˆa
´
p thˆa
´
pho
.
n.
5
+
Biˆe
’
udiˆe
˜
ndi
.
nh th´u

n vuˆong A cˆa
´
p n ta
cho
.
nmˆo
.
t c´ach t`uy ´y m h`ang (hay m cˆo
.
t) 1  m  n− 1. Khi d
´o d i
.
nh
th´u
.
c det A b˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac t´ıch cu
’
amo
.
id
i
.
nh th´u
.
c con cˆa
´

´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. 1) T´ınh sˆo
´
nghi
.
ch thˆe
´
trong ho´an vi
.

531642

.
2) V´o
.
inh˜u
.
ng gi´a tri
.
n`ao cu
’
a i v`a j th`ı sˆo
´
ha