BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Huyền

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN
VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011

0BLỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán trường Đại học sư
phạm thành phố Hồ Chí Minh về sự tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.
Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn đến các bạn, những học viên cao học khóa 19, đã cùng tôi đồng hành
và giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 9 năm 2011
Lê Thị Thu Huyền

1BMỤC LỤC
0TLỜI CẢM ƠN0T 3
0TMỤC LỤC0T 4
0TMỞ ĐẦU0T 7
0TCHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị0T 8
0T1.1.Các kiến thức cơ bản về vành0T 8
0T1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị:0T 8
0T1.1.2.Ideal của vành giao hoán R:0T 8
0T1.1.3.Ideal sinh bởi tập X0T 8
0T1.2.Ước của 0 và miền nguyên0T 8
0T1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị:0T 8
0T1.2.2.Miền nguyên:0T 8
0TTrong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy:0T 9

0TTính chất 2.3.3:0T 24
0T2.4. Hệ phương trình tuyến tính0T 29
0TĐịnh lí 2.4.1:0T 29
0THệ quả 2.4.1:0T 31
0TĐịnh lí 2.4.2:0T 32
0TĐịnh lí 2.4.3:0T 33
0TVí dụ 2.4.3:0T 33
0TĐịnh lí 2.4.4:0T 34
0THệ quả 2.4.4:0T 36
0TCHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT MODULE0T 37
0T3.1. HẠNG CỦA HỆ HỮU HẠN PHẦN TỬ TRÊN MODULE TỰ DO0T 37
0TĐịnh nghĩa 3.1.1:0T 37
0TĐịnh lí 3.1.1:0T 37
0TĐịnh lí 3.1.2:0T 37
0TVí dụ 3.1.2:0T 38
0TBổ đề 3.1.2:0T 38
0TĐịnh lý 3.1.3.0T 39
0THệ quả 3.1.3:0T 39
0THệ quả 3.1.3:0T 41
0T3.2. HẠNG CỦA MODULE TỰ DO0T 41
0TĐịnh lí 3.2.1:0T 41
0TĐịnh nghĩa 3.2.1 (Hạng của module tự do)0T 42
0TĐịnh lí 3.2.2.0T 43
0TVí dụ 3.3.2:0T 45
0TKẾT LUẬN0T 46
0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 47

2BMỞ ĐẦU

Đại số tuyến tính nói chung và lí thuyết ma trận nói riêng được xây dựng trên trường số

.
21B1.1.2.Ideal của vành giao hoán R:
Một ideal của vành giao hoán R là một vành con A của R có tính chất hấp thụ đối với phép nhân
bên trái và bên phải. Tức là:
Aa.r,Ar.a ∈∈
với
Aa,Rr ∈∀∈∀
.
22B1.1.3.Ideal sinh bởi tập X
Cho X là tập con bất kì của vành R.
Giao của tất cả các ideal của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi tập X.
Đó chính là ideal nhỏ nhất chứa X trong R.

10B1.2.Ước của 0 và miền nguyên
23B1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị:
Cho R là vành giao hoán có đơn vị, phần tử
0a ≠
của R được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần
tử
0b ≠
của R sao cho
0ab =
. Khi đó ta nói R là vành có ước của 0.
Ví dụ:
Vành












70
00
,
00
07
và








=










=∈=∈
gọi là linh tử hóa của phần tử m trong R.

( )
{ }
Mm,0xmRxMAnn
R
∈∀=∈=
gọi là linh tử hóa của M.
Nhận xét:
o
( ) ( )
MAnn,mAnn
RR
là các ideal của R.
o
( ) ( ){ }
Mm,mAnnMAnn
RR
∈∀∩=
.
o Với
{ }
0\Mm∈
,
( )
mAnnH
R
∪=
là tập tất cả ước của 0 của M.

+
+=+

với
My,x,Rb,a ∈∈

26B1.4.2.Module con
Cho R-module M và tập con khác rỗng
N,MN ⊂
được gọi là module con của M nếu
.Nrx,Nyx:Rr,Ny,x ∈∈+∈∀∈∀

Mỗi R-module M bất kì có hai module con tầm thường là M và module 0.
27B1.4.3.Ví dụ :
1) Mỗi nhóm abel là một module trên vành Z.
2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì, được gọi là
module 0.
3) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một module trên K và ngược lại.
4) Module con của Z-module M chính là nhóm con của nhóm abel M (đối với cộng)
5) Nếu A là một ideal của vành R và M là một R-module thì
{ }
Nn,Mx,Aaxa xaAM
iinn11
∈∈∈++=
là R-module con của M.
13B1.5.Module tự do
28B1.5.1.Định nghĩa:
Giả sử M là một R-module
 Tập con khác rỗng S của M được gọi là cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có thể biểu
thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. Nói cách khác, phần tử 0 của M có cách biểu

( )
n21
x ,,x,x
+
( )
n21
y ,,y,y
=
( )
nn2211
yx ,,yx,yx +++

( ) ( )
n21n21
rx, ,rx,rxx ,,x,xr =

trong đó r,
ii
y,x
thuộc R.
Khi đó
n
R
là R-module tự do có cơ sở
( ) ( ) ( )
1 ,,0,0e,0 ,0,1,0e,0 ,,0,1e
n21
===
.
30B1.5.3.Một vài định lí:

R thuộc R với
m,1j,n,1i ==
và được
sắp xếp thành hình chữ nhật gồm m dòng và n cột .














=
mn2m
1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A
Khi đó ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n trên R. Tập hợp tất cả các ma trận
vuông cấp n trên R kí hiệu là M(n,R).
3) Ma trận tam giác: Cho ma trận A cấp n trên R. Ma trận A được gọi là ma trận tam giác
trên (dưới) nếu a
R
ij
R =0 với mọi
( )
jiji <>
.
4) Ma trận đường chéo: Ma trận A cấp
nm×
trên R được gọi là ma trận đường chéo nếu aR
ij
R
=0 với mọi
ji ≠
.
5) Ma trận đơn vị : Ma trận vuông A cấp n trên R được gọi là ma trận đơn vị nếu tất cả
các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0. Ma
trận đơn vị cấp n trên R kí hiệu là I
R
n
R .
 Tính chất:
Cho A
∈
M(n,R),
( )
R,nmMB ×∈

nm×
trên R.
Định nghĩa:
Tổng của hai ma trận A và B là ma trận
( )
ij
cC =
cấp
nm×
với
ijijij
bac +=
.
Kí hiệu:
BAC +=

Tính chất:

( ) ( )
CBACBA ++=++


ABBA +=+


( ) ( )
A00A
nmnm
+=+
××

kBkABAk +=+


( )
lAkAAlk +=+


( ) ( )
lAkAkl =


AA.1 =

3) Phép nhân hai ma trận :
Cho hai ma trận
( )
ij
aA =
cấp
nm×
và
( )
ij
bB =
cấp
pn×
trên R.
Tích của ma trận A và B là ma trận
( )
ij

Tính chất:
Cho A, B cấp
nm×
, C cấp
pn×
trên R và hệ tử k trên R.

( )
tt
t
BABA +=+


( )
AA
t
t
=


( )
tt
t
A.CAC =


( )
t
t
A.kkA =

aA =
cấp
nm×
trên R. Gọi
( )
m,1id
i
=
là dòng thứ i của ma trận A.
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận A :
1) Đổi chỗ hai dòng i,
( )
li,m,1il ≠=
của ma trận A.

















ln2l1l
ki
ln2l1l
in2i1i

2) Nhân vào dòng thứ i (
m,1i =
) của A với một hệ tử k khác không của R














→


















+++
+→

















kaa kaakaa

là ma trận cấp
nm×
trên R.
A được gọi là ma trận bậc thang theo dòng nếu có một số nguyên r
{ }
( )
n,mmin,1r =
và một
dãy các chỉ số cột
nj jj1
r21
≤<<<≤
, sao cho các phần tử của A thỏa mãn :
a)
0a
ij
=
nếu
mir ≤<
hoặc (
ri1 ≤≤
và
i
ji1 ≤≤
)
b)
0a
,,a,a
r21
rjj2j1

1n =
: SR
1
R có một phần tử nên ta có ánh xạ
RS:sign
1
→
đồng nhất biến
11
S
→
.
 Với
n
S:2n ∈σ∀=
ta xét ánh xạ
RS:sign
n
→
biến
∏
≠
−
σ−σ
→σ
ji
ji
)j()i(
với
n,1j,i =

a
11
a.sign
σ
∑
∈σ
σσ
σ













và kí hiệu là detA hay
A

Ta có
nn2n1n
n22221
n11211
a aa



ka kaka

in2i1i
=

Nếu nhân k vào ma trận vuông A cấp n thì ta có
( ) ( )
AdetkA.kdet
n
=

Nếu ma trận vuông A có một dòng bằng bội
Rk ∈
của một dòng khác thì det A=0.

6) Nếu cộng vào một dòng nào đó của ma trận vuông A một bội
Rk ∈
của một dòng khác thì định
thức của nó không đổi.
Cho ma trận vuông
( )
ij
aA =
cấp n trên R và giả sử dòng thứ i (
n,1i =
) của A có tính chất
R
c,b,n,1j,cba
ijijijijij

và
( )
n,1kk =
là số nguyên
dương. Trong ma trận A ta chọn ra k dòng i
R
1
R, iR
2
R,… iR
k
R
( )
ni ii1
k21
≤<<<≤
và k cột cột jR
1
R,
j
R
2
R,….,jR
k
R
( )
nj jj1
k21
≤<<<≤
nào đó. Khi đó những phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột

a aa

a aa
a aaĐịnh thức của ma trận con
k21
i ii
M
được gọi là định thức con cấp k của ma trận A và kí hiệu là
k21
i ii
D

Khi xóa đi k dòng, k cột ở trên của A ta cũng thu được ma trận vuông con cấp
( )
kn −
của A và kí
hiệu
)j jji ii(
k21k21
N
. Định thức của ma trận con
)j jji ii(
k21k21
N
kí hiệu là
)j jji ii(
k21k21

là ma trận vuông cấp n
( )
2n ≥
trên R,
ij
A
là bù đại số của
n,1j,i,a
ij
=
.
Khi đó ta có:
1)
∑
=
=
n
1i
ijij
AaAdet
(Công thức khai triển định thức tho cột thứ j)
2)
∑
=
=
n
1j
ijij
AaAdet
(Công thức khai triển định thức theo dòng thứ i )

aA =
là ma trận tam giác trên (dưới ) vuông cấp n
( )
2n ≥
trên R. Khi đó det
A bằng tích những phần tử nằm trên đường chéo chính của A.

Định lí 2.2.4.2: (Định lí Laplace)
Cho
( )
ij
aA =
là ma trận vuông cấp n
( )
2n ≥
trên R và trong ma trận A ta chọn ra tùy ý k dòng (hay
k cột)
( )
nk2 ≤≤

( )
k21k21
j ,,j,jhayi, ,,i,i
. Khi đó ta có
∑
=
kk
ADAdet
, trong đó DR
k

≠
=
=δ=
∑
=

2)
( )
( )
( )
n,1k,j
jkkhi0
jkkhiAdet
AdetAa
jk
n
1i
ikij
=∀



≠
=
=δ=
∑
=Định lý 2.2.4.3:

R
n
R là ma trận khả nghịch
2) Nếu A,B là hai ma trận vuông cấp n khả nghịch thì AB cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch
và
( )
11
1
ABAB
−−
−
=
.
3) Nếu A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thì
t1
A,A
−
cũng là ma trận vuông cấp n khả nghịch và
( ) ( ) ( )
t
1
1
t
1
1
AA,AA
−
−−
−
==

2) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khả nghịch

Chứng minh 1)
Đặt
( ) ( )
R,nMcAB
ik
∈=
. Khi đó:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
kn
nk
in2k
2k
2i1k
1k
1i
nkink22ik11iik
Adet1a Adet1aAdet1a
ba babac
+++
−++−+−=
+++=

Nếu
ki =
thì ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

kjkj
A'A =
.Thay vào biểu thức của
( )
ik
c
ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0'Adet'Adet1a 'Adet1a'Adet1ac
kn
nk
in2k
2k
2i1k
1k
1iik
==−++−+−=
+++

Từ đó, ta có:
( )
( )
n,1k,i
kikhi0
kikhiAdet
c
ik
=∀



1Adet.BdetBdet.AdetABdet ===
. Suy ra det A khả nghịch
Nếu det A khả nghịch thì theo 1) ta có:
( ) ( )
( )( )
( )
( )
n
11
n
IABAdetBAdetAI.AdetBAAB ==⇒==
−−

Vậy ma trận A khả nghịch.

Chú ý: Nếu
0Adet ≠
trong vành giao hoán có đơn vị R thì ta không thể kết luận ma trận A khả
nghịch
Ví dụ 2.2.5: Cho
( )
Ζ∈

















=
033
141
252
A
.
Ta có
( )
03Adet ≠=
nên theo định nghĩa 1,
( )
3Ark =
.
Dựa trên ý tưởng trong lí thuyết trường, A là ma trận cấp 3 có
( )
3Ark =
nên A là ma trận khả nghịch,
suy ra detA khả nghịch. Nhưng điều này vô lí vì 3 không là phần tử khả nghịch trong
6
Z
.
Vậy, định nghĩa 1 không cho ta kết quả tương tự như trên trường về mối quan hệ giữa tính khả nghịch

Khi đó ta có dãy sau:
( )
RII IAI
121rr
⊆⊆⊆⊆⊆
−

Để thuận tiện, ta mở rộng định nghĩa
( )
AI
t
với t là số nguyên bất kì:
( )
(
) { }



≤
>
=
0tkhiR
n
,mmintkhi0
AI
t

Lúc đó dãy ideal được mở rộng như sau:
( ) ( ) ( ) ( )
RAIII IAIAI0

( )
n21
B BBBC δδδ=

∆
là phần tử sinh của
( )
BCI
t
xác định bởi định thức của ma trận con cấp t gồm các cột
t21
j ,,j,j
của BC.
Ta có
( )
( )
CI I
tjjjt
t21
⊆δδδ

Và
( )
( )( ) ( )
t21t21t21
jjjtjjjtjjjt
I BIB BBI δδδ⊆δδδ=δδδ∈∆

Nên
( )

jiji
CRowbBCRow
với
m,1i =
. Ta có
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
CRow; ;CRowdetc
CRowb; ;CRowbdet
BCRow; ;BCRowdet
n ,,2,1;i ,,i,i
n1
n1
n1
n1
n1
p
1, ,

p
1j
jjij
p
1j
ji

CICRow; ;CRowdet
n
n1
∈
αα
. ( lưu ý nếu
pn >
thì
( ) ( )
( )
0CRow; ;CRowdet
n1
=
αα
) với
p,1
i
=α
.
Vậy
( ) ( ) ( )
CICIn ,,2,1;i ,,i,i
ttn21
∈∆⇒∈∆=∆
.
Ngoài ra
( )
( )
t
AIAI

( )
( )
PAIPAPIAIPAI
t
1
ttt
⊆=⊆
−Suy ra
( ) ( )
PAIAI
tt
=
và
( ) ( )
AQIAI
tt
=

Ta có
( ) ( )( ) ( ) ( )
AIPAIQPAIPAQI
tttt
===

Như vậy ta đã chứng minh được
( ) ( )
AIPAQI

thì với
( )( ) ( )
0AIAnn,tk
kR
≠≥∀

 Nếu
( )( ) ( )
0AIAnn
tR
=
thì phần tử thuộc
( )
AI
t
không là ước của 0 trên R.
( ) ( ) ( )
( )
( )
AQIQAQIAIAQI
t
1
ttt
⊆=⊆
−
 Nếu
( )( ) ( )
0AIAnn
tR
=

45BĐịnh nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2):
Cho A là ma trận cấp
nm×
trên R.
Hạng của ma trận A được định nghĩa là số nguyên dương t lớn nhất thỏa
( )( ) ( )
0AIAnn
tR
=

Ta phân biệt với hạng của ma trận theo định nghĩa 1 và kí hiệu hạng của ma trận A là
( )
Ark
.
Khi đó:
( ) ( )( ) ( )
{ }
0AIAnntmaxArank
tR
==
.
46BTính chất 2.3.3:
Cho A là ma trận cấp
nm×
trên R.
1)
( ) { }
n,mminArank0 ≤≤

2)

rArank ≥
.
Chứng minh:
1) Do
( )
RAI
0
=
và
( )
0RAnn
R
=
nên
( )
0Arank ≥
.
Mà nếu
{ }
n,mmint >
thì
( )
0AI
0
=
suy ra
( )
R0Ann
R
=







=
20
22
A
trên vành
6
Z

Ta có
( )
2AI
1
=
nên
( )( ) ( )
0AIAnn
1R
≠
. Do đó
( )
0Arank =
.
Trong lý thuyết ma trận trên trường, ma trận có hạng là 0 khi ma trận đó là ma trận (0). Tuy nhiên
trong vành ma trận khác (0) vẫn có thể có hạng bằng 0 như trong ví dụ 1 trên.

6
Z

Ta có
( )
13,2BI
1
==
nên
( )( ) ( )
0BIAnn
1R
=
. Suy ra
( )
1Brank ≥
.
Lại có
( )
0Bdet =
nên
( )
2Brank <
. Vậy
( )
1Brank =
.
3) Cho



có ma trận con cấp
tt ×
có định thức khác 0. Nói cách khác nếu R là trường thì định nghĩa 2) về
hạng trùng với định nghĩa quen thuộc về hạng mà ta đã biết trong đại số tuyến tính.

 Một trong những phương pháp để tính hạng của ma trận trên trường phổ biến được dùng là sử
dụng phép biến đổi sơ cấp. Ba phép biến đổi sơ cấp:
1) Đổi chỗ hai dòng của ma trận
2) Nhân một dòng của A với một hệ tử khác 0.
3) Cộng vào một dòng tích của hệ tử k với một dòng khác