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❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿
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❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▲í✐ ❝↔♠ ì♥

q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜➜t ❦➻ t→❝ ❣✐↔ ♥➔♦✳ ❊♠ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤
♥❤✐➺♠✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥
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◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
▲í✐ ♠ð ✤➛✉

✣↕✐ sè ❧➔ ♠ët ♥❣➔♥❤ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝✳ ◆❣➔②
♥❛②✱ ♥❤✉ ❝➛✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤↕✐ sè ❝õ❛ ❝♦♥ ♥❣÷í✐ ♥❣➔② ❝➔♥❣ t➠♥❣ ✈➔ ✤➸
✤✐ s➙✉ ✈➔♦ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠æ♥ ✣↕✐ sè t❤➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ tr❛♥❣ ❜à ❝❤♦ ♠➻♥❤
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♥❤ú♥❣ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❝❤õ ②➳✉ ❝õ❛ ❝➜✉ tró❝ ✤↕✐ sè ✈➔ ❧➔ ✤è✐ t÷ñ♥❣ q✉❛♥
trå♥❣ ♥❤➜t ❝õ❛ ✣↕✐ sè ❤✐➺♥ ✤↕✐✳
❱➻ ❧➼ ❞♦ ✤â✱ ❝ò♥❣ ✈î✐ ✈✐➺❝ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ✤÷ñ❝ ✤✐ s➙✉ t➻♠ ❤✐➸✉ rã ❤ì♥
♥❤ú♥❣ ♥❣➔♥❤ ❤✐➺♥ ✤↕✐ ❝õ❛ ✤↕✐ sè ♥❤÷ ✣↕✐ sè ✤ç♥❣ ✤➲✉✱ ✣↕✐ sè ❣✐❛♦
❤♦→♥ ♥➯♥ ❡♠ ♠↕♥❤ ❞↕♥ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✧❈➜✉ tró❝ ♠æ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤
❣✐❛♦ ❤♦→♥✧ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥
❝õ❛ ❡♠ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ❝ì sð ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ♠ët sè ❧î♣ ♠æ✤✉♥ q✉❛♥
trå♥❣ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ♥❤÷ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✱ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✱ ♠æ✤✉♥ tü ❞♦✱
♠æ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❣ç♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✿
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ✈➔② ♥❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝➛♥

❛✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❈❤♦ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à 1✳ ▼ët ♠æ✤✉♥ tr→✐ tr➯♥ R ✭R✲♠æ✤✉♥ tr→✐✮
❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝ë♥❣ ❆❜❡❧ M ❝ò♥❣ ✈î✐ →♥❤ ①↕✿
R×M →M
(α, x) → αx

✭✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣✮ s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t❤ä❛ ♠➣♥✳
∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ M
• (αβ)x = α(βx)
• α(x + y) = αx + αy
(α + β)x = αx + βx
• 1x = x
✺


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ R✲♠æ✤✉♥ ♣❤↔✐ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝ë♥❣ ❆❜❡❧ M
❝ò♥❣ ✈î✐ →♥❤ ①↕✿
M ×R→M
(x, α) → xα

t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ ♥❤÷♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ R
✈✐➳t ð ❜➯♥ ♣❤↔✐✳
◆➳✉ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ t❤➻ ♠æ✤✉♥ tr→✐ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳
❙❛✉ ✤➙②✱ ❝❤➾ ①➨t ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ tr→✐✱ ✈➔ ❣å✐ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✳
❜✮ ❱➼ ❞ö

❈❤♦ ❘✲✈➔♥❤✱ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✱ ❳ ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❜➜t ❦➻✳
✣➦t A = {f : X −→ M }✱ tr➯♥ ❆ ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿

❱➼ ❞ö ✶✳✻✳

✻


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
•

P❤➨♣ ❝ë♥❣✿ ✈î✐ ♠å✐ f, g ∈ A❀
f + g :X → M
x → f (x) + g(x)

•

P❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣✿ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ❀ α ∈ R
(αf )x = αf (x)

❑❤✐ ✤â ❆ ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳
❝✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✿
• 0R x = α0M = 0M ✱ ∀x ∈ M ✱ ∀α ∈ R
• a(−x) = (−a)x = −ax✱ ∀a, b ∈ R❀ ∀x, y ∈ M ✳
• a(x − y) = ax − ay ✱


❝✮ ❱➼ ❞ö

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ t❤➻ M ❧✉æ♥ ❝â ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ t➛♠
t❤÷í♥❣ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❦❤æ♥❣ {0} ✈➔ M ✳
❱➼ ❞ö ✶✳✼✳

❱➼ ❞ö ✶✳✽✳ ❈❤♦ ❘✲✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à t❤➻ R ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳ ❙✉② r❛ ❈→❝ ✐✤➯❛♥

tr→✐ ❝õ❛ R ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R✳
❞✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✿
✰ ●✐❛♦ ❝õ❛ ♠ët ❤å tò② þ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥
❝õ❛ M ✳
◆❤➟♥ ①➨t✿ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤÷❛ ❝❤➢❝ ✤ó♥❣ ✈î✐ ❤ñ♣✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ♥➳✉ ∀i, j ∈ I ✱
i = j tç♥ t↕✐ k ∈ I s❛♦ ❝❤♦ Mi , Mj ⊂ Mk t❤➻
Mi ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥
i∈I

❝õ❛ ▼✱ ✈î✐ Mi ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✱ i ∈ I ✳
✰ ❈❤♦ S ⊂ M ✱ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ❝❤ù❛ S ❧➔ ♠ët
♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ❝❤ù❛ S ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M s✐♥❤ ❜ð✐
S ✳ ❑➼ ❤✐➺✉ < S > ❤♦➦❝ (S)
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳

❑❤✐ ✤â

❈❤♦ {Mi}i∈I ❧➔ ♠ët ❤å tò② þ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳
xi | xi ∈ Mi , i ∈ J ⊂ I



✶✳✶✳✸

▼æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣

❛✮ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣

❈❤♦ N ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R✲♠æ✤✉♥ M ✳ ❑❤✐ ✤â N ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥
❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ ♥❤â♠ ❆❜❡❧ M ✈î✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣✳ ❙✉② r❛ tç♥ t↕✐ ♥❤â♠
t❤÷ì♥❣ M/N = {x + N |x ∈ M } ❧➔ ♥❤â♠ ❆❜❡❧ ✈î✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣✿
(x + N ) + (y + N ) = x + y + N

❚r➯♥ M/N ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
∀α ∈ R, ∀x + N ∈ M/N : α(x + N ) = αx + N

❑❤✐ ✤â M/N ❝ò♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ð tr➯♥ ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳
❜✮ ❱➼ ❞ö

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ t❤➻ {0}✱ M ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥✳
❙✉② r❛ tç♥ t↕✐ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣
❱➼ ❞ö ✶✳✾✳

M/{0} = {x + {0}|x ∈ M } = {x|x ∈ M } = M
M/M = {x + M |x ∈ M } = {M }

●✐↔ sû R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à t❤➻ R ❧➔ R ✲♠æ✤✉♥✱ ❣✐↔ sû
A ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R t❤➻ A ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R✳ ❙✉② r❛ tç♥ t↕✐ ♠æ✤✉♥

❱➼ ❞ö ✶✳✶✵✳


❑❤✐ ✤â

Mi ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❤å ❝→❝ ♠æ✤✉♥
i∈I

{Mi }i∈I

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ Mi = M ✈î✐ ♠å✐ i ∈ I ✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉

Mi = M I
i∈I

✶✳✷✳✷

❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣

✶✮ ❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ♥❣♦➔✐

❈❤♦ {Mi|i ∈ I} ❧➔ ♠ët ❤å tò② þ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✳
✣➦t Mi = {(xi)i∈I |xi = 0 ❤➛✉ ❤➳t ∀i ∈ I}✳
i∈I

✶✵


ổ

õ tốt ồ

ợ t ở ổ ữợ ữ tr t


ờ

x = ai1 + ai2 + ... + ain , aij Mij , i, j I

q

sỷ M tờ ừ ổ Mi, M =

Mi
iJ

õ M tờ trỹ t tr ừ ồ {Mi}iJ tứ
ai1 + ai2 + ... + ain = 0, aij Mij

s r ai

j

= 0, 1

j

n



◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝


✤ì♥ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳
✶✷


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❱➼ ❞ö ✶✳✶✷✳ M, N

❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✳ ⑩♥❤ ①↕
θ :M → N
x→0

❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❦❤æ♥❣✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✸✳

→♥❤ ①↕

❈❤♦ ▼ ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✱ ◆ ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ ▼✳ ❑❤✐ ✤â
f :M → M/N
x→x+N

❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳
▼✱ ◆ ❧➔ ❝→❝ ❘✲♠æ✤✉♥✳ M × N = {(x, y)|x ∈ M, y ∈ N }
❧➔ ❘✲♠æ✤✉♥✳ ❚r➯♥ M × N ①→❝ ✤à♥❤ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥✿

❱➼ ❞ö ✶✳✶✹✳

•

❧➔ ❝→❝ ❘✲♠æ✤✉♥✱ f : M −→ N ❧➔ ❘✲
✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✱ A, B ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M, N ✳ ❑❤✐ ✤â f (A)✱
f −1 (B) ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ✈➔ M ✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ f : M −→ N
❧➔ ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ t❤➻
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✷✳

❈❤♦

M, N

❑❡rf = {x ∈ M : f (x) = 0N } = f −1(0N )}
■♠f = f (M ) = {f (x)|x ∈ M }
❑❤✐ ✤â✱ ■♠❢✱ ❦❡r❢ ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ✈➔ M ✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳

❈❤♦ f : M −→ N ❧➔ R ✲♠æ✤✉♥

✶✳ f ✤ì♥ ❝➜✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❑❡rf = {0M }
✷✳ f t♦➔♥ ❝➜✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ■♠f = N
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✹✳

✭✣à♥❤ ❧þ tê♥❣ q✉→t✮
✶✹


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❈❤♦ f : M −→ N ❧➔ ❘✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✳ A ✈➔ B ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥


✶✺

N

s❛♦ ❝❤♦


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
f PA = f ✱

tù❝ ❧➔ ❜✐➸✉ ✤➲ s❛✉ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✿
f

M
%

PA

/
:

N

f

M/ ker f


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✶✳✹ ❉➣② ❦❤î♣
✶✳✹✳✶

❉➣② ❦❤î♣✱ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥

❛✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❉➣② ❤ú✉ ❤↕♥ ❤♦➦❝ ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ ✈➔ ❝→❝ R✲✤ç♥❣ ❝➜✉✳
fi−2

fi−1

fi+1

fi

..... −−→ Mi−1 −−→ Mi −
→ Mi+1 −−→ .....

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ■♠fi = ❑❡rfi+1✱ ∀i ∈ I
f
g
− M →
− M −→ 0 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣②
▼ët ❞➣② ❦❤î♣ ❞↕♥❣ 0 −→ M →
❦❤î♣ ♥❣➢♥✳

✐✐✮ g ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ t➛♠ t❤÷í♥❣✳
✶✼


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✐✐✐✮ h ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✽✳

❈❤♦ ❜✐➸✉ ✤ç R✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✿
f

M

N

α

g

N

f

h

γ



❈❤♦ ❜✐➸✉ ✤ç ❝→❝ R✲✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✿

✶✽


◆❣æ ❚❤à ◆❤✉♥❣

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ ❞á♥❣ ❧➔ ❦❤î♣ ✈➔ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû x ∈ Ker(γ) ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ n ∈ N ✈➔ m ∈ M
✈î✐ g(n) = x ✈➔ f (m ) = β(n)✳
P❤➛♥ tû h(x) ❝õ❛ Coker(α) ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ m ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ sü
❧ü❛ ❝❤å♥ ❝õ❛ n ✈➔ m ✈➔ R✲✤ç♥❣ ❝➜✉ h : Ker(γ) −→ Coker(α) ✤÷ñ❝
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ sü t÷ì♥❣ ù♥❣ x −→ h(x)✳
❑❤✐ ✤â✱ ❤❛✐ ❞➣② ❦❤î♣
Ker(α) −→ Ker(β) −→ Ker(γ)

✈➔
Coker(α) −→ Coker(β) −→ Coker(γ)

✤÷ñ❝ ♥è✐ ❜ð✐ ✤ç♥❣ ❝➜✉ h t❤➔♥❤ ♠ët ❞➣② ❦❤î♣ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❞➣② Ker − Coker✿
h

Ker(α) −→ Ker(β) −→ Ker(γ) →
− Coker(α) −→ Coker(β) −→
Coker(γ)



0 −→ M →
− M→
− M −→ 0

❧➔ ❝❤➫ r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝❤➫ r❛ t↕✐ R✲♠æ✤✉♥ M ✳
❜✮ ❱➼ ❞ö

❈❤♦ M, P ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✱
i :M → M

P

x → (x, 0)

❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉
P →P

p :M

(x, y) → y

❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② ❦❤î♣
p

i

0 −→ M →
− M


g

0 −→ M →
− M→
− M −→ 0

❝❤➫ r❛ t❤➻ M ∼
=M
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✷✳

M

✳

❈❤♦ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥
f

g

0 −→ M →
− M→
− M −→ 0

❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
✐✮ ❉➣② ❦❤î♣ tr➯♥ ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ❝❤➫ r❛✳
✐✐✮ ❚ç♥ t↕✐ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ f

: M −→ M

s❛♦ ❝❤♦ f f = idM ✳