Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận Môđun hữu hạn sinh trên
vành giao hoán cùng với sự cố gắng của bản thân, em đã nhận được sự hướng
dẫn và giúp đỡ tận tình của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga. Đồng thời, em
cũng nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh
viên trong khoa Toán.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga đã
giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Hà Nội, ngày…..tháng…..năm…..
Sinh viên

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-1-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó, em được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong
khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều

Cơ sở của môđun ............................................................................ 23
2.2 Môđun tự do............................................................................... 24
2.3 Điều kiện tương đương ..............................................................25
2.4 Một số tính chất cơ bản ..............................................................27
2.5 Bài tập ....................................................................................... 30
Chương 3. Môđun hữu hạn sinh .......................................................34
3.1 Định nghĩa môđun hữu hạn sinh ................................................34
3.2 Điều kiện tương đương với môđun hữu hạn sinh .......................34
3.3 Môđun Noether .........................................................................35
3.4 Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán ...................................39
3.5 Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương ................................43
3.6 Môđun hữu hạn sinh trên vành chính .............................................

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-3-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

3.7 Bài tập ...........................................................................................
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

LỜI NÓI ĐẦU
Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học Toán học. Nó
góp phần thúc đẩy sự phát triển của Toán học hiện đại. Ngày nay, nhu cầu học
hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô giáo dạy Toán và nhiều người khác

kiện tương đương, Môđun Noether và điều kiện tương đương. Môđun hữu hạn
sinh trên vành giao hoán và trên vành địa phương.
Trong quá trình thực hiện đề tài ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn
nhận được sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều
Nga và sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán. Em xin gửi

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-5-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

lời cảm ơn chân thành đến các thầy, các cô. Mặc dù có cố gắng song do điều
kiện thời gian và khả , năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không
thể tránh khỏi thiếu xót. Vì vậy, em kính mong các thầy cô giáo và các bạn sinh
viên đóng góp ý kiến để em hoàn thiện và phát triển khóa luận sau này.

CHƯƠNG 1 : VÀNH – MÔĐUN
1.1 Vành.
1.1.1 Định nghĩa:
Một tập hợp R ≠ ∅ được gọi là một vành nếu R cùng với hai phép
toán hai ngôi gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau
đây:

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-6-

Mi tp hp s  , Ô , Ă , Ê u lp thnh mt vnh (giao hoỏn, cú
n v) i vi hai phộp toỏn cng v nhõn cỏc s.
Vớ d 2 :
Mn(R) l tp hp cỏc ma trn vuụng cp n, vi phn t ca ma trn l
cỏc s thc, cựng vi phộp (+) v (.) ma trn l mt vnh.
Vi n 2 vnh ny khụng giao hoỏn, n = 1 vnh ny giao hoỏn.
Vớ d 3 :

Lê Thị Thu Hiền K34B Toán

-7-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

S là tập tùy ý, X – vành.
M(S, X) = {f : S → X / f là ánh xạ} là một vành với phép cộng và
phép nhân xác định như sau :
(f + g)(x) = f(x) + g(x) , ∀ x ∈ S.
(f.g)(x) = f(x).g(x), ∀ x ∈ S.
Phần tử không là ánh xạ f : S → X
xa 0
Nếu vành X giao hoán thì M(S, X) là giao hoán.
Vành X có đơn vị thì M(S, X) có đơn vị là g : S → X
x a 1.
1.1.4 Một số tính chất cơ bản.
Giả sử R là một vành.
Tính chất 1: 0.x = x.0 = 0, ∀ x ∈ R.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

i

n-i

, ∀ x, y ∈ R, n ∈ N.

-8-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

1.2 Môđun.
1.2.1 Định nghĩa:
Cho R là vành có đơn vị 1.
Một môđun trái trên R (hay R – môđun trái) là một nhóm Abel cộng
M cùng với một ánh xạ
R×M→M
(a, x) a ax,
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(M1)

a(x + y) = ax + ay,

(M2)

(a + b)x = ax + bx,


với ∀ a, b  R; ∀ x, y  M.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-9-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Khi đó vành R gọi là vành cơ sở, các phần tử của R gọi là các vô
hướng, các phần tử của R – môđun gọi là các vectơ, các ánh xạ xạ
R×M→M

M×R→M

và

(a, x) a ax

(x, a) a xa

gọi là phép nhân vô hướng
Nhận xét :
Nếu R là vành giao hoán thì khái niệm về môđun trái, môđun phải
trên R là trùng nhau.
Sau đây ta xét các R – môđun trái gọi tắt là các R – môđun.
Nếu R là một trường thì một R – môđun gọi là một không gian vectơ

∀ α ∈ R, OA ∈ M, suy ra α OA được xác định như sau:
uuur

• Là véctơ cùng chiều với OA và có độ dài bằng tích của α với độ dài véctơ

uuur
OA nếu α > 0.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-10-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga
uuur

• Là véctơ ngược chiều với OA và có độ dài bằng tích của α với độ dài véctơ
uuur
OA nếu α < 0.
r

• Là véctơ 0 nếu α = 0.
Do đó M là một R – môđun.
Nhận xét: Ví dụ này là một trong những ví dụ sinh ra khái niệm không gian
véctơ và từ đó dẫn đến khái niệm môđun. Nó giải thích việc gọi các phần tử của
một môđun là những véctơ.
Ví dụ 2: Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một môđun trên một vành bất kì,
được gọi là môđun 0.



nÕu n > 0
nÕu n = 0
nÕu n < 0

Khi đó nhóm Abel X là một Z – môđun.
Nhận xét: Ví dụ này chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm cả lý thuyết nhóm
Abel.
1.2.3 Một số tính chất đơn giản của môđun.
Cho M là một R – môđun.
Tính chất 1: 0x = 0, ∀ x  M,
a0 = 0, ∀ a  R.
Tính chất 2: a(-x) = (-a)x = -ax, ∀ a  R, ∀ x  M.
Tính chất 3: (Hệ quả của tính chất 2)
a(x – y) = ax – ay, ∀ a R, ∀ x, y  M,
(a – b)x = ax – bx, ∀ a, b  R, ∀ x  M.
1.3 Môđun con.
1.3.1 Định nghĩa:
Cho M là một R – môđun. Tập con N  M được gọi là một R – môđun con
nếu N là một nhóm con của nhóm cộng M và N đóng kín đối với phép nhân
với vô hướng, tức là rx  N, ∀ r  R, x  N.
Nhận xét: Nếu R là một trường thì mỗi R – môđun con của một R – không
gian vectơ là một R – không gian vectơ con.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-12-



Mặt khác, (M, +) là nhóm Abel nên (N, +) là nhóm Abel.
Đặt β = 0 ∈ R thì ∀ α ∈ R; ∀x, y ∈ N ta có: αx + 0y ∈ N do đó αx ∈ N.
Do đó các điều kiện trong định nghĩa R – môđun thỏa mãn trong M nên cũng
được thỏa mãn trong N.
Vậy N là một R – môđun.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-13-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

1.3.3 Ví dụ.
Ví dụ 1: Mỗi môđun M đều có các môđun tầm thường là 0 và M.
Ví dụ 2: Giả sử A, B là hai môđun con của một R – môđun M. Khi đó A ∩ B
sẽ là một môđun con của M và A + B là một môđun con của M.
Ví dụ 3: Giả sử M là một R – môđun tùy ý và m  M.
Khi đó tập con Rm = {rm rR} là một môđun con của M, được gọi là môđun
con xiclic sinh bởi phần tử m.
Ví dụ 4: M là nhóm Abel cộng, M xem như một ¢ - môđun thì các môđun con
của M chính là các nhóm của M
Ví dụ 5: Nếu vành R được xem như là R – môđun, N là ideal trái R, khi đó N
là môđun con của R.
1.3.4 Tính chất:
Tính chất 1: Giao của một họ bất kì những môđun con của R – môđun M là
môđun con của M.
Tính chất 2: Cho M là R – môđun. S là tập con của R – môđun M. Giao của

ta có các môđun thương:
M/{0} = {x + {0} / x ∈ M} = {x / x ∈ M} = M
M/M = {x + M / ∀ x ∈ M} = {M}.
Ví dụ 3: Cho R là vành có đơn vị, coi như R – môđun. Các môđun con của R
là các ideal trái của R. Khi đó ta có các môđun thương:
R/I = {x + I / ∀ x ∈ R}
với phép nhân vô hướng được xác định như sau:

α(x + I) = αx + I.

Ví dụ 4: Nếu M là R – không gian véctơ, N là không gian véctơ con của M, suy
ra môđun thương M/N là R – không gian véctơ thương.
1.5 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun.
1.5.1 Tích trực tiếp.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-15-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Cho Mi là một R – môđun, ∀ i ∈ I. Kí hiệu

∏M
i∈I

i

Cho {Mi / i  I} là một họ những R – môđun. Dãy (xi)i∈ I (xi ∈ Mi) gọi là có
giá hữu hạn nếu xi = 0 hầu hết trừ ra một số hữu hạn chỉ số.
M i là tập hợp gồm các dãy (xi)i∈I có giá hữu hạn.
Gọi ⊕
i∈I
M i cùng với 2 phép toán cộng và nhân vô hướng là một R –
Khi đó ⊕
i∈I
M i là tổng trực tiếp của họ môđun {Mi}i∈ I.
môđun. Ta gọi ⊕
i∈I

Nhận xét:
- Tổng trực tiếp là môđun con của tích trực tiếp.
Khi I là tập chỉ số hữu hạn tức là I = {1,2,....,n} thì tổng trực tiếp và tích trực
tiếp là trùng nhau.
1.5.3 Hạng tử trực tiếp.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-16-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Giả sử N là một R – môđun con của R – môđun M. Ta nói rằng N là một
hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại một R – môđun con P của M sao
cho M = N ⊕ P. Khi đó ta nói rằng P là môđun con phụ của N trong M.


GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Cho M, N là các R – môđun. Ánh xạ f : M → N gọi là đồng cấu môđun
khi và chỉ khi ∀ x, y ∈ M; α ∈ R:
f(x + y) = f(x) + f(y) ;
f(αx) = αf(x)
Chú ý :
- Nếu M, N là các R – không gian véctơ thì đồng cấu môđun gọi là ánh xạ
tuyến tính.
- Nếu M ≡ N thì ta gọi f là tự đồng cấu của M.
- Hai R – môđun M và N được gọi là đẳng cấu, và viết là M ≅ N, nếu tồn
tại một R - đẳng cấu môđun từ M đến N.
Định nghĩa:
Giả sử f: M → N là R – đồng cấu. Khi đó:
i)

f được gọi là R – đơn cấu nếu f là đơn ánh.

ii)

f được gọi là R – toàn cấu nếu f là toàn ánh.

iii)

f được gọi là R – đẳng cấu nếu f là R – đơn cấu và R – toàn cấu hay

f là song ánh.
1.6.2 Điều kiện tương đương.
Cho M, N là các R – môđun, ánh xạ f : M → N là R - đồng cấu môđun khi và chỉ


i=1

Thật vậy: Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với n = 1 ta có f(a1x1) = a1f(x1) ⇒ (*) đúng với n = 1.
k

Giả sử (*) đúng với n = k ta có f (∑ a i x i ) =
i=1

k

∑ a f(x )
i

i

i=1

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1 tức là chứng minh
k+1

k

i=1

i=1

f (∑ a i x i ) = f[(∑ a i x i ) + a k+1 x k+1 ]
k


-19-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Cho M là R – môđun, N là R – môđun con của M. Tồn tại môđun thương
M/N.
Ánh xạ f: M → M/N là toàn cấu môđun gọi là toàn cấu chính tắc.
x a x+N
1.6.4 Hạt nhân. Ảnh.
Giả sử f: M → N là R – đồng cấu. Khi đó:
Kerf = f-1(0M) = {x ∈ M / f(x) = 0M} là hạt nhân của f.
Imf = {f(x) / x ∈ M} = f(M) là ảnh của f.

CHƯƠNG II: MÔĐUN TƯ DO
2.1 Môđun sinh bởi một tập, tập sinh. Tập độc lập tuyến tính, phụ thuộc
tuyến tính. Cơ sơ của môđun.
2.1.1 Môđun sinh bởi một tập, tập sinh.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-20-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

(αi ∈ R, xi ∈ S, I hữu hạn) thì ta nói x biểu thị tuyến tính

qua các phần tử của S.
Nhận xét:
+) x biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S là duy nhất.
+) S là một tập sinh của M khi và chỉ khi mọi phần tử của M đều biểu thị
tuyến tính qua các phần tử của S.
2.1.2.2 Tập sinh cực tiểu:
Tập sinh S của môđun M được gọi là cực tiểu nếu mọi tập con thực sự của nó
đều không phải là một tập sinh của M.
2.1.2.3 Tập độc lập tuyến tính:

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-21-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Cho M là R – môđun. Một họ X = {xi / i  I} những phần tử của M gọi là độc lập
tuyến tính nếu và chỉ nếu mọi hệ thức tuyến tính

∑αx

i∈J ⊂ I

i


i∈J ⊂ I

i

⇔

i

∑ (α

i∈J ⊂ I

i

- βi )x i = 0 ⇔ α = β , ∀ i  J
i
i

2.1.2.4 Tập phụ thuộc tuyến tính:
Tập không độc lập tuyến tính gọi là tập phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét: Họ {xi}i∈I phụ thuộc tuyến tính ⇔

∑αx

i∈J ⊂ I

i

i



Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-22-


Khãa luËn tèt nghiÖp
X sinh ra M và

∑αx

i∈J ⊂ I

i

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga
i

= 0 kéo theo αi = 0, ∀ i  J ( J hữu hạn).

2.2 Môđun tự do.
2.2.1 Định nghĩa:
Cho M là R – môđun. M được gọi là môđun tự do khi và chỉ khi nó có một cơ
sở, hoặc nó là môđun 0.
2.2.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1. Mọi không gian vectơ trên một trường K đều là một K - môđun tự do,
vì nó luôn có cơ sở.
Nếu không gian đó vô hạn chiều thì nó không phải là môđun hữu hạn sinh vì cơ
sở của nó có lực lượng vô hạn.
Ví dụ 2. R – môđun Rn có một cơ sở gồm n – phần tử ei = (0,....,0,1,0,.....0) với

Nu n 0, m 0 nờn t (1) suy ra =

m
suy ra {, } ph thuc tuyn tớnh.
n

Do ú nu trong Ô cú mt c s thỡ c s l tp hp cú mt phn t. Nhng tp
hp cú mt phn t {} khụng sinh ra Ô .
Suy ra Ô khụng l  - mụun t do.
Vớ d 6. Vnh a thc A[x] trờn vnh giao hoỏn A l mt A mụun t do vi
c s {1, x, x2, x3, .........}.
2.3 Cỏc iu kin tng ng.
2.3.1 Mnh :
Cho M l R mụun. M l mụun t do vi c s U khi v ch khi cỏc
m

phn t x ca M biu din duy nht di dng x =

r a , ai U, ri R.
i i

i=1

2.3.2. Mnh : Cỏc iu kin sau tng ng:
i)

M l R mụun t do,

ii)


Ta có: Ker ϕi = {x/ ϕi (x) = xu i = 0}
Do U = {ui/ i ∈ I} là cơ sở của M nên xui = 0 ⇔ x = 0
Suy ra Kerϕi = {0} hay ϕi là đơn cấu.
Vậy ϕi là đẳng cấu.
Ru i .
• Ta chứng minh M = ⊕
i∈I

Vì U = {ui/ i ∈ I} là cơ sở của M nên U là hệ sinh của M
nên ∀ x ∈ M, x =
nên suy ra M =

∑x u
i

i

∑ Ru

.

i∈I

i∈I

i

, xi ∈ R

Ru i