BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCH
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62.46.01.04
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn - ĐHKH Thái Nguyên
TS. Nguyễn Thị Hồng Loan - Đại học Vinh
Phản biện 1: GS. TSKH. Ngô Việt Trung - Viện Toán học
Phản biện 2: PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ - ĐHSP Hà Nội
Phản biện 3: TS. Trần Nguyên An - ĐHSP Thái Nguyên
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường
họp tại Trường Đại học Vinh, Số 182, Lê Duẩn, Tp. Vinh, Nghệ
An, vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu Luận án tại:
- Thư viện quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào,
Trường Đại học Vinh
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cho R, m là vành giao hoán, địa phương, Noether với
iđêan cực đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh
với chiều Krull dim M d. Ta luôn có depth M dim M. Nếu
depth M dim M thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay. Lớp

giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy cho các môđun
phân bậc, sau đó được P. Schenzel, N. T. Cường và L. T. Nhàn
định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Mở
rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợp
môđun trộn lẫn, N. T. Cường và L. T. Nhàn đã giới thiệu khái
niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay
là lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun)
giả Cohen-Macaulay suy rộng. Cho x x
1
, . . . , x
d
là hệ tham
số của M. Đặt
Q
M
x
t 0
x
t 1
1
, . . . , x
t 1
d
M :
M
x
t
1
. . . x

rộng đã trở thành những lớp môđun được quan tâm trong Đại
số giao hoán. Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đến
tính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được
quan tâm của Đại số giao hoán.
Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen-
Macaulay chỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô
Zariski hoặc về chiều của quỹ tích khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng
hạn khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương. Trong
luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích
không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng thời nghiên
cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính cate-
nary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điều
kiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình
thức. Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích
liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-
Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng.
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho
luận án của mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh
trên vành địa phương Noether ".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-
Macaulay và một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay
như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không
Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-
Macaulay suy rộng. Đồng thời chứng minh một số kết quả mới
về các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, tính
catenary phổ dụng, các điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay

Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và giả
5
Cohen-Macaulay suy rộng. Đồng thời chúng tôi nghiên cứu các
quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, tính catenary
phổ dụng, điều kiện Serre, chiều của môđun đối đồng điều địa
phương và kiểu đa thức.
Kết quả đầu tiên của luận án là đưa ra một số công thức
tính quỹ tích không Cohen-Macaulay và chiều của nó. Chúng tôi
mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM M của M qua các
tập giả giá giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp (Định
lý 2.1.5). Tiếp theo, chúng tôi xét mối quan hệ giữa quỹ tích
không Cohen-Macaulay với các môđun đối đồng điều địa phương
(Định lý 2.2.1) và tính không trộn lẫn của các vành R p với
p Supp
R
M (Định lý 2.2.3).
Khái niệm kiểu đa thức của M , kí hiệu là p M , được
giới thiệu bởi N. T. Cường nhằm nghiên cứu cấu trúc của các
môđun hữu hạn sinh trên vành Noether. Nếu ta kí hiệu bậc của
đa thức không là 1 thì M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu
p M 1 và M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu
p M 0. N. T. Cường đã nghiên cứu chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay của M trong mối quan hệ với chiều của các
môđun đối đồng điều địa phương H
i
m
M và kiểu đa thức p M
của M. Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng quát,
dim R a M p M dim nCM M ,
trong đó a M a

mọi i d. Do đó, chúng tôi thấy rằng phải có một tập tương
tự như tập giả giá để mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng. Vì thế, chúng tôi giới thiệu khái niệm giá suy rộng và
nghiên cứu giá suy rộng trong mối quan hệ với giả giá, tập các
iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương,
dịch chuyển qua đầy đủ m-adic và qua địa phương hóa. Sử dụng
giá suy rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng (Định lý 3.2.2). Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng nGCM M của M rất ít khi là tập con đóng của Spec R
theo tôpô Zariski. Chúng tôi chỉ ra rằng, với điều kiện vành R là
catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay
và môđun M đẳng chiều thì nGCM M đóng khi và chỉ khi
p M 1 (Mệnh đề 3.2.4).
Kết quả thứ ba của luận án là mô tả một số quỹ tích khác
như quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích
giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng chính tắc. Công cụ chính để chúng tôi nghiên cứu các
quỹ tích này là các giả giá, giá suy rộng và lọc chiều của môđun.
Chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-
Macaulay (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của các
môđun thương trong lọc chiều của M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề
3.2.12). Chúng tôi chỉ ra rằng, với một số điều kiện về chiều của
các iđêan nguyên tố liên kết của M, quỹ tích giả Cohen-Macaulay
(quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) của M chính là phần
7
bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M U
M
0 (phần bù

Mục 1.2 dành để giới thiệu sơ lược lý thuyết đối đồng
điều địa phương. Nhắc lại một số tính chất cơ bản của môđun
đối đồng điều địa phương như Định lý độc lập đối với vành cơ sở,
8
Định lý chuyển cơ sở phẳng, Định lý triệt tiêu của Grothendieck
và tính Artin của một số môđun đối đồng điều địa phương.
Mục 1.3 nhắc lại khái niệm và một số kết quả về biểu
diễn thứ cấp của môđun Artin.
Trong Mục 1.4, chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số
kết quả về môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay
suy rộng.
Chương 2
QUĨ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY
Trong chương này, ta luôn giả thiết R, m là vành địa
phương Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh với chiều
Krull dim M d. Với mỗi iđêan I của R, ký hiệu Var I là tập
các iđêan nguyên tố của R chứa I.
Lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun đóng vai trò
trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Hình học
đại số và Tổ hợp. Nhắc lại rằng M là môđun Cohen-Macaulay
nếu depth M dim M. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M,
kí hiệu nCM M , là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p sao cho
M
p
không là Cohen-Macaulay. Quỹ tích không Cohen-Macaulay
đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học như R. Hartshorne,
P. Schenzel, N. T. Cường khi vành cơ sở là thương của một vành
Gorenstein.
Mục tiêu của chương này là sử dụng các tập giả giá định

i
M , được xác định bởi
psd
i
M max dim R p p Psupp
i
R
M .
Kết quả chính thứ nhất của Chương là đưa ra công thức
mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá.
Định lý 2.1.5. Giả sử p Supp
R
M . Khi đó các khẳng định
sau là đúng.
(i) Tồn tại j d sao cho p Psupp
j
R
M và
depth M
p
k dim R p , dim M
p
t dim R p ,
trong đó k min
i d
i p Psupp
i
R
M và t max
i d

M thì M
p
là môđun Cohen-Macaulay
có chiều d dim R p .
Từ Định lý 2.1.5, chúng ta có công thức sau đây mô tả
quỹ tích không Cohen-Macaulay trong trường hợp M đẳng chiều.
Hệ quả 2.1.6. Giả sử M đẳng chiều và vành R Ann
R
M là
catenary. Khi đó Psupp
i
R
M đóng với i 0, 1, d và
nCM M
d 1
i 0
Psupp
i
R
M .
2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính không
trộn lẫn
Mục tiêu của chúng tôi trong tiết này là nghiên cứu quỹ
tích không Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary
của vành R Ann
R
M và tính không trộn lẫn của các vành địa
phương R p với các iđêan nguyên tố p Supp
R
M .

dụng và R p là không trộn lẫn với mọi p min Ass
R
M.
Cho r 0 là một số nguyên. Nhắc lại rằng môđun M
được gọi là thỏa mãn điều kiện Serre S
r
nếu
depth M
p
min r, dim M
p
với mọi p Supp
R
M .
11
Định lý sau đưa ra một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn
của vành R p với p Supp
R
M .
Định lý 2.2.3. Cho r 1 là số nguyên. Giả sử M đẳng chiều và
M thỏa mãn điều kiện Serre S
r
. Nếu nCM M Var a M thì
R p không trộn lẫn với mọi p Supp
R
M thỏa mãn dim R p
d r.
2.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay
Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm kiểu đa thức được
giới thiệu bởi N. T. Cường. Cho x x

0.
Tuy nhiên, I
M,x
n luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên
bởi các đa thức, chẳng hạn n
1
n
d
I x; M . Chú ý rằng, bậc bé
nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm I
M,x
n không
phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x. Điều này dẫn đến định
nghĩa sau đây.
Định nghĩa 2.3.1. Bậc bé nhất của tất cả đa thức chặn trên
hàm I
M,x
n là một bất biến của M (không phụ thuộc vào việc
chọn hệ tham số x). Bất biến này được gọi là kiểu đa thức của
M và ký hiệu là p M .
N. T. Cường đã nghiên cứu chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay của M trong mối quan hệ với chiều của các
môđun đối đồng điều địa phương H
i
m
M và kiểu đa thức p M
của M. Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng quát,
dim R a M p M dim nCM M .
Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta có
đẳng thức p M dim R a M và nếu thêm điều kiện M đẳng

được N. T. Cường- P. Schenzel- N. V. Trung giới thiệu và nghiên
cứu là mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay. Cấu trúc của
môđun Cohen-Macaulay suy rộng đã được làm rõ thông qua địa
phương hóa, đầy đủ hóa, lí thuyết môđun đối đồng điều địa
13
phương, lí thuyết bội. Mục tiêu của chương này là nghiên cứu
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun hữu hạn
sinh. Để nghiên cứu quỹ tích này, trước hết chúng tôi giới thiệu
khái niệm giá suy rộng và nghiên cứu một số tính chất của nó.
Tiếp theo chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng qua các giá suy rộng và xét tính đóng của quỹ tích. Sử dụng
các kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay trong Chương 2
và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng trong Chương này,
chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
3.1 Giá suy rộng
Trong tiết này, chúng tôi giới thiệu và nghiên cứu một
số tính chất của giá suy rộng trong mối liên hệ với giả giá, tính
catenary của vành, chuyển qua đầy đủ m-adic và địa phương hóa.
Định nghĩa 3.1.1. Cho i 0 là một số nguyên. Giá suy rộng
thứ i của M, ký hiệu là Lsupp
i
R
M , được cho bởi công thức
Lsupp
i
R
M p Spec R 
R
p

Lsupp
i
R
M Psupp
i
R
M min Att
R
H
i
m
M .
14
Hơn nữa, nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là
Cohen-Macaulay thì
Psupp
i
R
M min Psupp
i
R
M Lsupp
i
R
M
Psupp
i
R
M min Att
R

Lsupp
i dim R p
R
p
M
p
qR
p
q Lsupp
i
R
M , q p .
3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
Trong tiết này, chúng tôi sử dụng các giá suy rộng để
miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng và nghiên cứu
tính đóng của nó trong mối quan hệ với kiểu đa thức. Sử dụng
các kết quả của quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích
không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng dãy.
15
Định nghĩa 3.2.1. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
của M, kí hiệu nGCM M , là tập tất cả các iđêan nguyên tố
p Supp
R
M sao cho M
p
không là môđun Cohen-Macaulay suy
rộng.
Định lý sau đây là kết quả chính của Chương.

(ii) Nếu p M 1 thì nGCM M đóng.
(iii) Nếu nGCM M đóng và M đẳng chiều thì p M 1.
Dựa vào các kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay
trong Chương 2 và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
vừa trình bày ở trên. Chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-
Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại các khái niệm lọc Cohen-Macaulay
và môđun Cohen-Macaulay dãy.
Định nghĩa 3.2.6.(i) Một lọc H
0
m
M N
0
. . . N
k
M
các môđun con của M được gọi là lọc Cohen-Macaulay nếu mỗi
môđun thương N
i 1
N
i
là Cohen-Macaulay và dim N
i 1
N
i
dim N
i 2
N
i 1
, với mọi i 0, . . . , k 1.

p
không là môđun Cohen-Macaulay
dãy.
Quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và chiều của nó đã
được nghiên cứu bởi N. T. Cường, D. T. Cường and H. L. Trường
thông qua một loại hệ tham số đặc biệt gọi là hệ tham số tốt. Ở
đây, chúng tôi sử dụng các tập giả giá để mô tả quỹ tích không
Cohen-Macaulay dãy.
Mệnh đề 3.2.9. Cho H
0
m
M M
0
. . . M
t
M là lọc
chiều của M. Đặt dim M
i
d
i
và L
i
M
i
M
i 1
với mọi i
1, . . . , t.
(i) Nếu R là catenary thì
nSCM M

L
i
.
Trong trường hợp này, nSCM M là tập con đóng của Spec R .
Hơn nữa, dim nSCM M max
i 1, ,t
p L
i
.
17
Phần còn lại của tiết này là mô tả quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng dãy của môđun hữu hạn sinh. Trước hết chúng
tôi nhắc lại khái niệm lọc Cohen-Macaulay suy rộng và môđun
Cohen-Macaulay suy rộng dãy được giới thiệu bởi N. T. Cường
và L. T. Nhàn.
Định nghĩa 3.2.10.(i) Một lọc H
0
m
M N
0
. . . N
k
M
các môđun con của M được gọi là lọc Cohen-Macaulay suy rộng
nếu mỗi môđun thương N
i 1
N
i
là Cohen-Macaulay suy rộng và
dim N

và L
i
M
i
M
i 1
với i
1, . . . , t. Nếu R là catenary thì nSGCM M
t
i 1
nGCM L
i
t
i 1
d
i
1
r 1
Lsupp
r
R
L
i
.
Kết luận Chương 3
Trong chương này, chúng tôi đã thu được những kết quả sau.
- Đưa ra khái niệm giá suy rộng và chứng minh một số tính chất
của giá suy rộng.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng qua giá suy
rộng.

, . . . , x
d
là một hệ tham số của môđun M.
Đặt
Q
M
x
t 0
x
t 1
1
, . . . , x
t 1
d
M :
M
x
t
1
. . . x
t
d
.
Khi đó Q
M
x là một môđun con của M. Cho n n
1
, . . . , n
d
là

theo n chặn trên hàm J
M,x
n không phụ thuộc vào cách chọn
hệ tham số x và bậc bé nhất này ký hiệu là pf M .
Định nghĩa 4.1.1. M gọi là môđun giả Cohen-Macaulay nếu
pf M .
Rõ ràng, nếu dim M 1 thì M là giả Cohen-Macaulay.
Theo R. Hartshorne, nếu x là M-dãy thì xM Q
M
x . Do đó,
nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì
J
M
x e x; M  M Q
M
x e x; M  M xM 0.
Vì thế M là giả Cohen-Macaulay.
Định nghĩa 4.1.3. Quỹ tích giả Cohen-Macaulay của môđun
M, ký hiệu pCM M , là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p
sao cho M
p
là môđun giả Cohen-Macaulay.
Kí hiệu U
M
0 là môđun con lớn nhất của M có chiều
bé hơn d. Đặt nPCM M Spec R pCM M . Chú ý rằng nếu
d 1 thì pCM M Spec R . Định lý sau đây là một trong
những kết quả chính của tiết này, mô tả quỹ tích giả Cohen-
Macaulay của M.
Định lý 4.1.4. Cho d 2. Giả sử R là thương của vành Goren-

i
d
i
với mọi i 1, . . . , t. Khi đó nPCM M
i 1, ,t
nCM M
i
M
i 1
i 1, ,t
r 1, ,d
i
1
Var Ann
R
H
r
m
M
i
M
i 1
.
Phần cuối của tiết này dành để mô tả quỹ tích giả Cohen-
Macaulay suy rộng của các môđun hữu hạn sinh. Trước hết,
chúng tôi nhắc lại khái niệm của môđun giả Cohen-Macaulay
suy rộng.
Định nghĩa 4.1.7. M gọi là môđun giả Cohen-Macaulay suy
rộng nếu pf M 0
Cho M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó R.

M
0
1 i d
Lsupp
i
R
M U
M
0 .
21
Đặc biệt, nếu d 4 thì pGCM M ổn định với phép tổng quát
hóa.
(ii) Cho H
0
m
M M
0
. . . M
t
M là lọc chiều của M. Đặt
d
i
dim M
i
. Khi đó nPGCM M
1 i t
nGCM M
i
M
i 1

M được gọi là môđun chính tắc
của M.
Chú ý rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay (tương ứng
môđun Cohen-Macaulay suy rộng) thì K M là môđun Cohen-
Macaulay (tương ứng môđun Cohen-Macaulay suy rộng).
Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa quỹ tích không
Cohen-Macaulay (tương ứng quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng) của K M và quỹ tích không Cohen-Macaulay (tương ứng
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của M.
Mệnh đề 4.2.2. Các khẳng định sau là đúng.
(i) nCM K M nCM M .
(ii) nGCM K M nGCM M .
Hệ quả 4.2.3. p K M p M .
22
Phần cuối của tiết này dành để miêu tả quỹ tích không
Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Nhắc lại rằng khái niệm
môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc được giới thiệu bởi N.
T. H. Loan và L. T. Nhàn. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng chính tắc nếu môđun K M là Cohen-Macaulay suy
rộng.
Định nghĩa 4.2.5. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
chính tắc của M , ký hiệu nGCMC M , là tập hợp tất cả các
iđêan nguyên tố p sao cho M
p
không là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng chính tắc.
Mệnh đề 4.2.6. (i) Nếu dim R q d hoặc dim R q 4 với
mọi q min Ass
R
M thì

R
K M
k
.
Kết luận chương 4
Trong chương này chúng tôi đã thu được các kết quả sau.
- Mô tả quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay
suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.
- Đưa ra một vài kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc
K M của môđun M .
23
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trong luận án này chúng tôi đã thu được những kết quả sau.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay thông qua các tập giả
giá và đưa ra mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay
với tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn của vành.
- Mở rộng một số kết quả về chiều của quỹ tích không Cohen-
Macaulay.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng thông qua các
giá suy rộng và đặc trưng tính đóng của quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng.
- Mô tả một số quĩ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như
quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy
rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Đồng
thời đưa ra một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay
và không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K M
của M.
2. Kiến nghị