BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
BÙI VĂN ĐỊNH
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62. 46. 01. 12
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2014
Công trình được hoàn thành tại Học viện Kỹ thuật Quân sự
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Đức Hiếu
2. GS. TSKH. Lê Dũn g Mưu
Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên, Viện Toán học, Viện
Hàn lâm Khoa học Việt Nam.
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Quang Huy, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2.
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Học viện
họp tại vào hồi giờ ngày tháng năm 2014.
Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Thư vi ện Học viện Kỹ
thuật Quân sự.
MỞ ĐẦU
1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Sự cân bằng thường được hiểu như là một trạng thái đồng đều
nhau giữa những l ực lượng đối lập nhau hay gi ữa những đối tượng có
ảnh hưởng qua lại lẫn nhau. Mô hình chung cho bài toán cân bằng
EP(C, f) đó là
Tìm x
∗

pháp hiệu chỉnh Tikhonov vào các bài toán cân bằng hay bất đẳng
thức biến phân dẫn đến bài toán tối ưu MNEP(C, f) sau
min{x − x
g
 : x ∈ S
f
},
với x
g
∈ C là m ột điểm chọn trước (đóng vai trò là nghiệm phỏng
đoán) và S
f
là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Bằng
cách kết hợp giữa thuật toán chiếu với kỹ thuật siêu phẳng cắt chúng
tôi thu được thuật toán cho bài toán MNEP(C, f).
Cùng với việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải bài toán
bất đẳng thức biến phân, các nhà toán học còn quan tâm tới bài toán
bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G)
Tìm x
∗
∈ S
F
sao cho G(x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ S
F
.
Bằng cách mở rộng kỹ thuật lai ghép giữa phương pháp đạo hàm

bằng hai cấp.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng và một lớp bài toán
cân bằng hai cấp chúng tôi mở rộng phương pháp chiếu của M. V.
Solodov và B. F. Svaiter, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo đồng thời
kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt và kỹ thuật lai ghép giữa thuật
toán đạo hàm tăng cường với phương pháp siêu phẳng cắt. Để xây
dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp chúng tôi sử dụng
phương pháp hàm phạt, kết hợp với phương pháp hàm đánh giá và
nguyên lý bài toán phụ.
4. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Xây dựng được thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng giả đơn
điệu theo tập nghiệm của nó. Chứng minh được tính đúng đắn
và sự hội tụ của thuật toán đưa ra, đồng thời áp dụng vào bài
toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trường
điện bán độc quyền. Xây dựng được thuật toán chiếu kết hợp
với kỹ thuật siêu phẳng cắt giải bài toán tìm cực tiểu của hàm
chuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn
3
điệu. C hứng minh được tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật
toán đề xuất.
• Xây dựng được thuật toán lai ghép giữa thuật toán đạo hàm
tăng cường và phương pháp siêu phẳng cắt cho bài toán bất
đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài
toán cân bằng giả đơn điệu. Chứng minh được tính đúng đắn và
sự hội tụ của thuật toán đưa ra, đồng thời áp dụng vào bài toán
bất đẳng thức biến phân hai cấp.
• Để xuất phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng hai cấp.
Chứng minh định lý về sự hội tụ của dãy nghiệm của các bài

bằng. Ta nhắc lại khái niệm về bài toán cân bằng.
Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và
f : C × C →
¯
R thỏa mãn f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C; một hàm f như
vậy được gọi là song hàm cân bằng (equilibrium bifunction). Bài toán
cân bằng hay bất đằng thức Ky Fan là bài toán
Tìm x
∗
∈ C sao cho f (x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C .
Ta sẽ ký hiệu bài toán này là EP(C, f) và tập nghiệm của nó là S
f
.
1.3. Bài toán cân bằng tương đương
Trong mục này, chúng tôi trì nh bày định lý về điều kiện để bài
toán cân bằng EP(C, f) tương đương với bài toán cân bằng EP(C, g)
và một hệ quả trực tiếp của nó là nguyên lý bài toán phụ cho bài toán
cân bằng cùng một số bổ đề cần thiết cho việc xây dựng và chứng
5
minh sự hội tụ của các thuật toán ở chương sau.
1.4. Bài toán cân bằng hai cấp
Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và
f, g : C × C → R ∪ {+∞} là các song hàm cân bằng xác định trên C.
Ta xét bài toán cân bằng hai cấp (bilevel equilibrium problem) hay
bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng BEP(C, f, g)
sau
Tìm điểm x
∗

đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn
điệu.
Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [2] , [3] trong Danh
mục công trình khoa học của tác giả l iên quan đến luận án.
2.1. Đặt bài toán
Giả sử Ω ⊆ R
n
là một tập lồi mở chứa tập lồi đóng C và f : Ω×Ω → R
là song hàm cân bằng xác định trên C; G : Ω → R
n
là toán tử xác
định trên Ω. Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng thuật toán giải
các bài toán sau:
• Bài toán cân bằng EP(C, f)
Tìm x
∗
∈ C sao cho f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Gọi S
f
là tập nghiệm của bài toán EP(C, f).
• Bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng MNEP(C, f)
min{x − x
g
 : x ∈ S
f
}
với x

k =0
λ
k
= ∞;

∞
k =0
λ
2
k
< ∞.
Với mỗi z ∈ C, ta kí hiệu
∂
2
f(z, z) = {w ∈ R
n
: f (z, y) ≥ f(z, z) + w, y − z, ∀y ∈ C}
= {w ∈ R
n
: f (z, y) ≥ w, y − z, ∀y ∈ C},
và với w ∈ ∂
2
f(z, z), H
z
= {x ∈ R
n
: w, x − z ≤ 0}.
Bổ đề 2.1. Giả s ử song hàm cân bằng f thỏa mã n các giả thiết (A2)
và (A3), khi đó ta có S
f


f(x
k
, y)+
1
ρ

h(y)−h(x
k
)−∇h(x
k
), y −x
k


: y ∈ C

,
thì {y
k
} là dãy bị chặn.
8
Bổ đ ề 2.4. ([60]) Giả sử x ∈ R
n
và u = P
C∩H
z
(x). Khi đó ta có
u = P
C∩H

j+1
}.
Khi đó, {σ(k)}
k ≥k
0
là một dã y số không giảm thỏa mãn
lim
k →∞
σ(k) = ∞
và, với mọi k ≥ k
0
, ta có:
a
σ(k)
≤ a
σ(k)+1
(2.3)
a
k
≤ a
σ(k)+1
(2.4)
2.2. Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng
Thuật toán 2.1
Bước khởi tạo. Chọn x
0
∈ C và η ∈ (0, 1), ρ > 0.
Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ). Có x
k
, thực hiện các bước:


h(y
k
)−h(x
k
)−∇h(x
k
), y
k
−x
k


≥ 0, thì dừng
thuật toán: x
k
∈ S
f
. Ngược lại, thực hi ện Bước 2.
Bước 2 (quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo). Tìm số nguyên
dương m
k
nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn








ρ

h(y
k
) − h(x
k
) − ∇h(x
k
), y
k
− x
k


.
(2.5)
9
Bước 3 . Đặt η
k
:= η
m
k
, z
k
:= z
k ,m
k
, w
k
:= w

f(z
k ,m
, z
k ,m
), thêm vào đó , nếu
song hàm f thỏa mãn giả thiết (A3), thì với mỗi nghiệm x
∗
của bài
toán cân bằng EP(C, f ), ta có
x
k +1
− x
∗

2
≤ x
k
− x
∗

2
− x
k +1
− ¯x
k

2
−

η

Một trường hợp riêng của bài toán EP(C, f) là bài toán VIP(C, F ):
Tìm x
∗
∈ C : F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0 ∀x ∈ C
ở đó F : R
n
→ R
n
. Bằng cách đặt f(x, y) = F (x), y −x, thì bài toán
VIP(C, F ) trở thành bài toán EP(C, f). Trong trường hợp này, ta có
∂
2
f(x, x) = F (x), bằng cách chọn h(x) = x
2
, thì Thuật toán 2.1 trở
thành Thuật toán 2.2 sau:
10
Thuật toán 2.2. Lấy x
0
= x
g
∈ C và ρ > 0, η ∈ (0, 1).
Ở bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ). Có x
k
, thực hiện các bước:
Bước 1 . Tính y

1
ρ
y
k
− x
k

2
, (2.19)
ở đó z
k ,m
= (1 − η
m
)x
k
+ η
m
y
k
.
Đặt η
k
= η
m
k
, z
k
= z
k ,m
k

x
k +1
−x
∗

2
≤ x
k
−x
∗

2
−x
k +1
− ¯x
k

2
−

η
k
ρF (z
k
)

2
x
k
−y

Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, .). Có x
k
, thực hiện các bước sau:
Bước 1 . Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh sau
min

f(x
k
, y) +
1
ρ

h(y) − h(x
k
) − ∇h(x
k
), y − x
k


: y ∈ C

,
để thu được nghiệm duy nhất y
k
. Nếu x
k
= y
k
, lấy u

k ,m
∈ ∂
2
f(z
k ,m
, z
k ,m
),
w
k ,m
, x
k
− y
k
 ≥
1
ρ

h(y
k
) − h(x
k
) − ∇h(x
k
), y
k
− x
k



k
 ≤ 0}. (2.26)
12
Bước 4 . Xác định hai nửa không gian sau
B
k
= {x : u
k
− x ≤ x
k
− x}, (2.27)
D
k
= {x : x − x
k
, x
g
− x
k
 ≤ 0}, (2.28)
và tính A
k
= B
k
∩ D
k
∩ C,
x
k +1
= P

f
(x
g
).
Bổ đ ề 2.7. Giả sử u
k
= P
C
k
(x
k
) và x
∗
là một nghiệm bất kì của bài
toán cân bằng EP(C, f). Khi đó ta có
u
k
−x
∗

2
≤ x
k
−x
∗

2
−u
k
−¯x

Bước khởi tạo. Lấy x
0
= x
g
∈ C và ρ > 0, η, σ ∈ (0, 1).
Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ). Có x
k
, thực hiện các bước:
Bước 1 . Tính y
k
= P
C
(x
k
−
ρ
2
F (x
k
)).
Nếu y
k
= x
k
, thì lấy u
k
= x
k
và chuyển sang Bước 4 .
Bước 2. Tìm m


2
.
(2.38)
13
Đặt η
k
= η
m
k
, z
k
= z
k ,m
k
Bước 3 . Lấy u
k
= P
C
k
(x
k
), với
C
k
= {x ∈ C : F (z
k
), x − z
k
 ≤ 0}. (2.39)

g
). (2.42)
Nếu x
k +1
= x
k
, thì dừng, x
k
là nghiệm. Ngược lại, thay k bởi k + 1
và quay về Bước lặp thứ k.
Áp dụng Bổ đề 2.7 và Định lý 2.2 vào Thuật toán 2.4 ta thu được các
hệ quả sau
Hệ quả 2.3. Giả sử bài toán VIP(C, F ) có nghiệm và toán tử F
liên tục trên Ω, giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm S
F
của bài toán
VIP(C, F ), khi đó với mỗi x
∗
∈ S
F
ta có
u
k
− x
∗

2
≤ x
k
− x

k
(x
k
) và H
k
= {x ∈ R
n
: F (z
k
), x − z
k
 ≤ 0}.
Hệ quả 2.4. Với cá c giả thiết của Hệ qủa 2 .3 thì cá c dãy {x
k
}, {u
k
}
sinh bởi Thuật toán 2.4 hội tụ tới điểm x
∗
là hình chiếu của điểm x
g
lên tập ngh iệm của bài toán VIP(C, F ).
2.5. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng
2.5.1. Đặt bài toán
Mục này dành để giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng VIEP(C, f, G).
14
2.5.2. Thuật toá n chiếu cho bài toán VIEP(C, f, G)
Thuật toán 2.5.

= x
k
, thì đặt u
k
= x
k
và chuyển tới Bước 4. Ngược lại,
chuyển sang Bước 2.
Bước 2. (Quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo). Tìm m
k
là số nguyên
dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn









z
k ,m
= (1 − η
m
)x
k
+ η
m
y

k


(2.46)
Bước 3 . Đặt η
k
= η
m
k
, z
k
= z
k ,m
k
, w
k
= w
k ,m
k
,
C
k
= {x ∈ C : w
k
, x − z
k
 ≤ 0}, và tính u
k
= P
C

,
thì x
k
là nghiệm của bài toán VIEP(C, f, G).
• w
k
= 0 ∀k.
Bổ đề 2.8. Giả sử các giả thiết (A1), (A2), (A3) và (A4) được thỏa
mãn, khi đó, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo (2.46) được xá c định
đúng đắn theo nghĩa, ở mỗi bước lặp k, tồn tại số nguyên dương m > 0
thỏa m ãn bất đẳng thức trong (2.46) với mọi w
k ,m
∈ ∂
2
f(z
k ,m
, z
k ,m
),
15
thêm vào đó, với mọi nghiệm x
∗
của bài toán cân bằng EP(C, f), ta
có
x
k +1
− x
∗

2

u
k
− x
∗
, G(u
k
) + λ
2
k
G(u
k
)
2
∀k.
(2.48)
ở đó ¯x
k
= P
H
z
k
(x
k
).
Bổ đề 2.9. Giả sử các giả thiết (A1), (A2), (A3) và (A4) được thỏa
mãn thì các dãy {x
k
}, {u
k
} sinh bởi Thuật toán 2.5 là bị chặn.

4
(
η
k
i
w
k
i

)
2
→ 0 khi i → ∞, (2.60)
thì ¯x ∈ S
f
.
Định lí 2.3. Giả sử tập nghiệm S
f
của bài toán cân bằng EP(C, f) là
khác rỗng và hàm h(.), dã y {λ
k
} thỏa mãn các điều kiện (B1), (B2)
tương ứng, thì với các giả thiết (A1), (A2), (A3) và (A4), d ãy {x
k
}
sinh bởi Thuật toán 2.5 hội tụ về nghiệm duy nhất x
∗
của bài toán
VIEP(C, f, G).
2.5.3. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G)

và chuyển tới Bước 4.
Ngược lại, chuyển sang Bước 2 .
Bước 2 (Quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo). Tìm m
k
là số nguyên
dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn



z
k ,m
= (1 − η
m
)x
k
+ η
m
y
k
:
F (z
k ,m
), x
k
− y
k
 ≥
1
ρ
y

k
). (2.72)
Bước 4. Đặt x
k +1
= P
C
(u
k
− λ
k
G(u
k
)) và chuyển về Bước lặp thứ
k với k được thay thế bởi k + 1.
Áp dụng Định lý 2.3 vào thuật toán trên ta thu được hệ quả sau
Hệ quả 2.5. Giả s ử tập nghiệm S
F
của bài toán bất đẳng thức biến
phân VIP(C, F ) l à khác rỗng, toán tử F là liên tục trên Ω, giả đơn
điệu theo tậ p S
F
trên C, toán tử G thỏa mãn giả thiết (A4) và dãy số
{λ
k
} thỏa mãn giả thiết (B2), thì dãy {x
k
} sinh bởi Thuật toán 2.6
hội tụ về nghiệm duy nhất x
∗
của bài toán bất đẳng thức biến phân hai

Ta nhắc lại rằng, song hàm cân bằng ϕ : C × C → R được gọi là đơn
điệu mạnh trên C với hệ số β > 0 nếu
ϕ(x, y) + ϕ(y, x) ≤ −β||x − y||
2
∀x, y ∈ C,
và được gọi là thỏa mã n điều kiện bức (hay ngắn gọn là bức) trên C
nếu tồn tại một tập com pắc B ⊂ R
n
và một véc tơ y
0
∈ B ∩ C sao
cho
ϕ(x, y
0
) < 0, ∀x ∈ C \ B.
Mệnh đề 3.1. Giả sử ϕ là đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0,
sao cho ϕ(x, .) là lồi và nửa liên tục dướ i theo biến thứ hai với mọi
x ∈ C. Khi đó, với mỗi y ∈ C tồ n tại một tập com pắc B sao cho
y ∈ B và ϕ(x, y) < 0 ∀x ∈ C \ B .
18
Hệ quả 3.1. [ 36, Proposition 2.1.16] Nếu song hàm cân bằng ϕ là
đơn điệu mạnh trên C, và ϕ(x, .) là lồi, nửa liên tục dưới theo biến
thứ hai với mỗi x ∈ C, thì ϕ là bức trên C.
Hệ quả 3.2. Giả sử song h àm g là đơn điệu mạnh trên C, và g(x, .)
là lồi, nửa liên tục d ư ới theo biến thứ hai vớ i mỗi x ∈ C. Nếu song
hàm f là bức trên C thì, với mọi số ǫ > 0, song h àm f + ǫg là bức đều
theo ǫ trên C, tức là, tồn tại một điểm y
0
∈ C và một tập com pắc B
không phụ thuộc vào ǫ sao cho

1
xác định trên tập
C = {(x
1
, x
2
)
T
∈ R
2
: −1 ≤ x
1
,
1
10
(x
1
− 9) ≤ x
2
≤ 10x
1
+ 9}.
Khi đó, ta có
(a) f(x, y), g(x, y) là giả đơn điệu và bức trên C;
(b) Với mọi số ǫ > 0, hàm f
ǫ
(x, y) = f(x, y) + ǫg(x, y) không là giả
đơn điệu và cũng không thỏa mãn điệu kiện bức trên C.
Bây giờ với mỗi số ǫ > 0 cố định, đặt f
ǫ

k
với mọi k, khi ǫ
k
→ 0 đều
19
là nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu. Thêm vào đó, nếu
hàm g là đơ n điệu mạnh và hàm f là bức ở trên C, thì với mỗi ǫ
k
> 0
bài toán phạt PEP(C, f
ǫ
k
) có nghiệm và bất kì dã y {x
k
} với x
k
∈ S
f
ǫ
k
đều hội tụ tới nghiệm duy nhấ t của bài toán ha i cấp (3 .1 ) khi ǫ
k
→ 0.
Nhận xét 3.2. Định lý 3.1 cho phép ta chuyển việc giải bài toán
BEP(C, f, g) về giải một dãy các bài toán phạt PEP(C, f
ǫ
). Nếu f
và g là đơn điệu, thì bài toán phạt PEP(C, f
ǫ
) cũng là đơn điệu nên

(x) = − min
y∈C
[f(x, y) + ǫ[g(x, y) + l(x, y)] ] là một
hàm đánh giá hữu hạn cho bài toán PEP(C, f
ǫ
). Nếu thêm vào đó, f
và g l à khả vi theo biến thứ nhất sao cho ∇
x
f(x, y), ∇
x
g(x, y) là hàm
liên tục trên C × C, thì ϕ
ǫ
(x) là hàm khả vi trên C và
∇ϕ
ǫ
(x) = −∇
x
g
ǫ
(x, y
ǫ
(x)),
20
ở đó g
ǫ
(x, y) = f(x, y) + ǫ[g(x, y) + l(x, y)],
và y
ǫ
(x) = arg min

f(x, y), y−x > 0 ∀x, y ∈ C, x = y;
(e) giả ∇-đơn điệu trên C nếu
∇
x
f(x, y), y − x ≤ 0 =⇒ ∇
y
f(x, y), y − x ≥ 0 ∀x, y ∈ C.
Nhận xét 3.3. Các định nghĩa (a), (b), (c) có thể được tìm thấy
trong một số công trình của G. Mastroeni năm 2003 [42], G. Bigi, M.
Castellani, và M. Pappalardo năm 2009 [14], các định nghĩa (d) và (e),
như sự hiểu biết của chúng tôi, chưa được đưa ra trước đây. Từ các
định nghĩa trên, ta thấy
(a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (e) và (a) ⇒ (b) ⇒ (d) ⇒ (e).
Tuy nhiên, (c) có thể không kéo theo (d) và ngược lại như trong các
ví dụ sau.
Ví dụ 3.2. Với f(x, y) = e
x
2
(y
2
−x
2
) xác định trên R ×R thì f không
là ∇-đơn điệu trên R nh ư ng f là giả ∇-đơ n điệu chặt trên R. Ngược
lại, với song hàm f(x, y) = (y − x)
T
M(y − x) xác định trên C × C,
với C = R
n
và M là ma trận thực cấp n × n. Ta có

Mệnh đề 3.4. Giả sử f, g là các so ng hàm khả vi liên tục trên tập
com pắc C sao cho f(x, .) là lồi ch ặt trên C với mỗi x ∈ C và f là
giả ∇-đơn điệu chặt trên C. Khi đó, nếu x ∈ C không là nghiệm của
bài toán E P(C, f), thì tồn tại số ¯ǫ > 0 sao cho y
ǫ
(x) − x là một hướng
giảm của hàm ϕ
ǫ
trên C tại x với mọi 0 < ǫ ≤ ¯ǫ.
Các ví dụ sau chỉ ra các giả thiết của Định lý 3.2 được thỏa m ãn.
Ví dụ 3.3. Xét hai song hàm
f(x, y) = e
x
2
(y
2
− x
2
), g(x, y) = 10
x
2
(y
2
− x
2
),
xác định trên R × R. Khi đó ta có
(a) f (x, y), g(x, y) là đơn điệu, và giả ∇-đơn điệu chặt trên R
(b) Với mọi ǫ > 0, f(x, y) + ǫg(x, y) là đơn điệu, giả ∇-đơn điệu
chặt trên R và thỏa mãn các giả thiết của Định lý 3.2.

, y − x thì ta có g là đơn điệu
mạnh và ∇-đơn điệu mạnh với cùng hệ số 1. Áp dụng các Định lý 3.1
và Định lý 3.2 ở trên, ta nhận được hệ q uả sau.
Hệ quả 3.3. Giả sử song h àm f thỏa mãn các điều kiện
(a) Với mỗi x ∈ C, f(x, .) là lồi, nửa liên tục dư ới trên C;
(b) f là giả đơn điệu và thỏa mãn điều kiện bức ở trên C.
Khi đó, với bất kì ǫ
k
> 0 bài toán phạt PE P(C, f
ǫ
k
) luôn có nghiệm
và bất kì dãy {x
k
} trong đó x
k
∈ S
f
ǫ
k
, đều hội tụ tới nghiệm duy nhất
của bài toán BEP(C, f, g) khi ǫ
k
→ 0.
Nếu thêm vào đó, f(x, .) + ǫ
k
g(x, .) là hàm lồi chặt trên C với mọi
x ∈ C và f(x, y) + ǫ
k
g(x, y) là giả ∇-đơn điệu chặt trên C (điều này