BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN LÊ TÙNG SƠN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI BÀI TOÁN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
VÀ KIỂU SONG ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 62.46.30.01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2009

DANH MỤC CÔNG TRÌNH
ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

ứng dụng Công nghệ thông tin”, FAIR 2007, Đại học Nha Trang,
9-10/8/2007.
- Seminar của Viện Toán học.
- Seminar của khoa Toán - Cơ - Tin, ĐHKHTN - ĐHQGHN.
- Hội đồng Khoa học Viện CNTT.
Luận án được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin
Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Đặng Quang Á
PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Phản biện 1: GS. TSKH Lê Ngọc Lăng

Phản biện 2: PGS. TS Nguyễn Đình Sang

Phản biện 3: PGS. TS Hoàng Văn Lai
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà
nước tại hội trường Viện Công Nghệ Thông tin -
Việ
n Khoa học và Công nghệ Việt Nam
vào hồi 14giờ, ngày 31 tháng 8 nảm 2009

hơn cho việc giải phương trình (1) đã được nghiên cứu và phát triển
như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương
pháp phương trình tích phân biên và phần tử biên, phương pháp bình
phương cực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản…
Các phương trình kiểu song điều hoà

()
ubu f b ,Δ+ = >
2
0 (2)

()
uaubu f a ,bΔ−Δ+ = > >
2
00 (3)
mô tả sự uốn của bản trên nền đàn hồi cũng đã được Benzine,
Katsikadelis và Kallivokas giải bằng phương pháp tích phân biên.
Ý tưởng đưa việc giải bài toán Dirichlet cho phương trình song
điều hòa về dãy các bài toán đối với phương trình Poisson thực hiện
đầu tiên bởi Palsev (1966), Meller (1968), Dorodnitsyn (1971)…
Năm 1992, Abramov và Ulijanova đã đề xuất một phương pháp lặp 2
đưa một bài toán Dirichlet về dãy các bài toán cấp hai và dự đoán
phương pháp lặp này sẽ hội tụ nhưng chưa chứng minh được về mặt
lý thuyết. Tác giả Đặng Quang Á, khi nghiên cứu việc tìm nghiệm
xấp xỉ cho các bài toán biên, trong các năm: 1994, đối với phương
trình
2

< với các
điều kiện biên
00
u
u,
n
Γ
Γ
∂
=
=
∂
và
12
ug,ug
ΓΓ
=
Δ=
. 1999, đối
với phương trình
2
uf,x ,
Δ
=∈Ω với điều kiện biên hỗn hợp
2
1
0 0 0
u
u, ,u
n

Luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết
luận và tài liệu tham khảo.

Chương 1. Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết
quả bổ trợ, gồm một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, định
tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai, đối với
phương trình kiểu song điều hòa, phương pháp lặp hai lớp giải
phương trình toán tử, sự hội tụ của các sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn
khối lượng tính toán giả
i số bài toán elliptic cấp hai.
Chương 2. Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm giải tích cho
bài toán biên đối với phương trình song điều hòa, gồm đề xuất
phương pháp và các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp
cho mô hình toán của một bài toán Vật lý: mô tả sự uốn của bản
mỏng với biên bị ngàm đàn hồi.
Chương 3. Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm số trị cho bài
toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu
song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp và hỗn hợp, gồm đề
xuất phương pháp, các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp
đã đề xuất cho một số bài toán biên, trong đó có một bài toán là mô
hình toán học của bài toán Thuỷ động học đã được các nhà Vật lý Mỹ
công bố
trên Physical Review E 71, 041608 năm 2005. Phương pháp
cũng được áp dụng cho bài toán nhiễu.
Các thực nghiệm trình bày trong luận án được thực hiện trên
máy tính PC trong môi trường MATLAB.
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Dựa trên các tài liệu của các tác giả R. Adams, J. P. Aubin,
G.I. Marchuk, D. Cioranescu, Đ. Q. Á, J. L. Lions, E. Magenes,

H
−
Ω
1
,
(
)
H
−
∂
Ω
/12
.
- Định lý nhúng, vết của hàm trên biên và Định lý vết, công thức
Green, bất đẳng thức Poincare cùng với các khái niệm hằng số vết
(
)
γ
Ω
C
, hằng số Poincare C
Ω
.
1.2. Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp hai và cấp bốn
Các kiến thức trong phần này bao gồm:
- Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp 2 và cấp 4.
- Các định nghĩa về bài toán Dirichlet, bài toán Neumann, bài
toán Robin, bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều hòa.


5
τ
ττ
12 n
, , , bởi tập tham số Chebyshev thì có thể cực tiểu hoá được
tổng số phép lặp.
1.4. Phương pháp sai phân giải phương trình elliptic cấp hai
Xét bài toán
(
)()
() ()
−
Δ= ∈Ω
⎧
⎪
⎨
=∈∂Ω
⎪
⎩
ux f x,x ,
B
ux gx, x ,
(1.2)
trong đó
Ω là hình chữ nhật có kích thước L
1
, L
2
, B là toán tử biên với

11
jijj
NN
YCYYF;jN,
YF;Y F.
(1.3)
Nếu (1.2) là bài toán Neumann thì nó được đưa về hệ phương
trình véc tơ 3 điểm dạng

−+
−
⎧
−=
⎪
−
+−= ≤≤−
⎨
⎪
−+=
⎩
010
11
1
2
11
2
jijj
NNN
CY Y F ,
YCYYF;jN,

(
)
(
)
() ()
2
01
⎧
Δ= ∈Ω
⎪
⎨
=∈∂Ω=Γ=
⎪
⎩
jj
ux f x, x ,
B
ux g x,x ,j ,,
(2.1)
trong đó
Ω
là một miền giới nội trong
n
R
có biên
Γ
đủ trơn, Δ là
toán tử Laplace,
j
B


2
1
00
−
Δ= ∈Ω
∂
=
∈Γ Δ + = ∈Γ
∂
u f , x ,
u
u , x , u q , x ,
n
μ
(2.2) 7
trong đó
Ω là một miền giới nội trong
2
R
có biên Γ đủ trơn, Δ là toán
tử Laplace,
μ
là tham số không âm,
1
q
−

∈Γ
⎩

Đưa vào toán tử biên
B được xác định bởi công thức
Γ
∂
=
∂
0
u
Bv
n
cho
việc tìm
v
0
, khi đó bài toán (2.2) được đưa về phương trình toán tử
0
=Sv F với vế phải F hoàn toàn xác định, trong đó SqIB
μ
=
+ , I là
toán tử đơn vị.
Các tính chất của
S được thể hiện thông qua các tính chất của
toán tử
B bởi định lý
Định lí 2.1. Nếu
0

.
ii) B là toán tử tuyến tính, hoàn toàn liên tục, ánh xạ không gian
(
)
Γ
s
H vào
(
)
1+
Γ
s
H,
(
)
Γ
s
H là không gian Sobolev, 0≥s .
Xét Ω là một hình tròn bán kính R, sử dụng phương pháp toạ độ
cực, khi đó toán tử B có biểu diễn
(
)
(
)
00
Ω
=Γ
∫
s
B

2
2cos
ϕ
ϕ
π
ϕ
ϕ
+
−−
=
+− −
rr
R
Rrr
Gx,x ln
rr rr
,
(
)
Gx,x là hàm Green của toán tử Laplace,
s
s
,
ν
ν
lần lượt là các
véc tơ pháp tuyến ngoài của biên
Γ
tại các điểm s và
s

==
+
dương, dần tới 0 là một cơ sở trực chuẩn của
không gian
(
)
2
Γ
L . Với giả thiết q = 1,
μ
> 0, giả sử vế phải F có khai
triển qua cơ sở
{
}
0 nn
e,e,g là
()
00
1
∞
=
=+ +
∑
nn n n
n
F
ae ae bg , tìm hàm
biên
v
0

ψ
∞
=
=+ +
∑
,
()
()
22
00
2
0
1
2
=−
∫
R
AcrrRrdr,
R()
22
2
0
1
21
⎛⎞
=−
⎜⎟


()
() ()
00
0
2
===
++
+
πππ
ααβ
μλ μλ
μλ
nnnn
nn
RRR
A
,A,B
, 9

()
0
00
1
0
2
∞

=−
∫
ux Gx,xvxdx,

với
() ()()
(
)
()
0
ΩΓ
∂
=
−−Γ
∂
∫∫
ν
s
s
Gx,s
x
Gx,x f xdx v sdv
.
Trong hệ tọa độ cực đã cho, cơ sở
{
}
0 nn
e,e,g là dãy các hàm riêng
của toán tử Laplace - Beltrami
2

FH
−
∈Ω, do đó
(
)
()
21
22
1
s
nn
n
Rn A B
π
∞
−
=
+
<+∞
∑
. Mặt khác,
với
0
μ
∀≥ ta có
()
()
(
)
()

)
52s/
uH .
+
∈Ω
Kết luận. Công đoạn tìm ra và một cơ sở trực chuẩn của không gian
2
L( )
Γ
là các hàm riêng của toán tử B đóng vai trò hết sức quan
trọng và phải trải qua nhiều phép tính phức tạp, mặt khác, trong suôt
quá trình tính toán, đòi hỏi các tích phân phải được tường minh. Các
khó khăn trên cho thấy, phương pháp này chỉ áp dụng mang tính khả
thi cho một lớp khá hẹp các bài toán biên đối với phương trình song
điều hoà (2.1). Các kết quả của chương 1 được công bố trong [1]. 10
Chương 3
PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM SỐ TRỊ CỦA
BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU
HOÀ VÀ PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SONG ĐIỀU HOÀ
3.1. Lược đồ chung
Xét bài toán
=
⎧
Δ−Δ+ = ∈Ω
⎪
⎨
=∈ΓΓ=Γ= =


S
ω
= F , (3.2)
trong đó vế phải
F được xác định qua các dữ kiện vế phải của (3.1).
Sử dụng sơ đồ lặp hai lớp

(
)
(
)
()
+
−
+= =
1
012
kk
k
S
F, k , , , ,
ωω
ω
τ
(3.3)
tiến hành giải lặp phương tình toán tử (3.2) cho việc tìm nghiệm xấp
xỉ của bài toán (3.1), ở đây
τ
là tham số lặp.

δ
.
Từ (3.3), đưa ra quá trình lặp và công thức đánh giá sai số giữa
hai bước lặp kề nhau.
Bước cuối là tiến hành thực nghiệm kết quả trên máy tính đối
với một số trường hợp cụ thể cho trước của hàm
u. Quá trình thực
nghiệm này vẫn được tiến hành kể cả trong trường hợp các tính chất
của
S chưa được chứng minh.
3.2. Nghiệm số trị của một bài toán biên đối với phương trình kiểu
song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp
Xét bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp sau

ΓΓ
Γ
Δ+ = ∈Ω
∂
==Δ=
∂
2
1
2
12
ubu f, x ,
u
ug, g, u g,
n
(3.5)
trong đó


01
22
Δ
=+ ∈Ω
⎧
⎪
=
∈Γ
⎨
⎪
=
∈Γ
⎩
ϕ
v f , x ,
v v , x ,
v g , x ,
và
Δ
=∈Ω
⎧
⎨
=
∈Γ
⎩
u v, x ,
u g, x ,
(3.6)
trong đó

⎜⎟
⎝⎠
ϕ
v
, B
ω
=
1
Γ
∂
⎛⎞
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
ϕ
u
b
n
bu
, (3. 7)
khi đó bài toán (3. 5) được đưa về phương trình toán tử sau

B
ω
= F , (3. 8)
trong đó
F =

=∈Ω
⎧
⎪
=
∈Γ
⎨
⎪
=
∈Γ
⎩
vf, x ,
v , x ,
vg, x ,
và
22
2
Δ
=∈Ω
⎧
⎨
=
∈Γ
⎩
u v , x ,
u g, x .

Các tính chất của
B được nghiên cứu trên không gian Hilbert
H = L
2

0
0
⎛⎞
⎛⎞
∈= =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
ωω ω ω
ϕ
ϕ
v
v
, H, ,
.
Định lý 3.1. Với toán tử B được xác định bởi (3.7). Khi đó, trên
không gian Hilbert H, ta có

i) B là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương. 13
ii) B được phân tích thành tổng của hai toán tử: một toán tử tuyến
tính, đối xứng, dương và hoàn toàn liên tục và một toán tử chiếu.
iii) B giới nội.
Theo kết quả trên thì =>0
*
BB . Do đó, trong trường hợp này,
ta sẽ gây nhiễu bài toán gốc cho việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán

−
∈
Ω
4s
f
H,
(
)
−
∈Γ
12s/
gH ,
(
)
−
∈
Γ
32
11
s/
gH ,
()
−
∈Γ≥
52
22
4
s/
gH ;s
, khi đó nghiệm u

(
)
−−
∈Ω∈ Ω
si sN
i
,y H ,z H
δ
δ

và
()
Ω
≤
2
1
H
zC
δ
, C
1
không phụ thuộc vào
δ
.
Từ kết quả của Định lý 3.2, nghiệm xấp xỉ
E
U của bài toán (3.5)
được khai triển dưới dạng

1

(3.60)
(3.61) 14
i
u
δ
là nghiệm của bài toán (3.10) với tham số
i
δ
, (i = 1, 2, 3, , N+1) thỏa
mãn
()
2
1
2
EN
H
Uu C
δ
+
Ω
−≤
, u là nghiệm của bài toán (3.5), C
2
là hằng
không phụ thuộc vào
δ
.

vu buBBP,
P
1
là phép chiếu lên thành phần thứ nhất của
ω
δ
, B được xác định
bởi (3.7) và
F được xác định bởi (3.9). Từ đó suy ra B
δ
giới nội và
B
δ
= B
δ
*
≥
δ
I, I là toán tử đơn vị. Sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình
(3.11) được cho bởi công thức

11
1
0,1,
++
+
−
+=
δ
δδ

δ
ϕ
k
, k = 0, 1, , giải liên tiếp hai bài toán

() ()
()
()
⎧
Δ
=+ ∈Ω
⎪
⎪
=
∈Γ
⎨
⎪
=
∈Γ
⎪
⎩
01
22
kk
k
(k)
k
vf ,x,
vv,x,
vg, x,

δ
ϕ() ()
+
+
⎛⎞
∂
=+ + − ∈Γ
⎜⎟
∂
⎝⎠
1
00 1 01 1
(k)
kk
(k)
,k
u
vv b vbg,x,
n
δ
δδδ δ
τδ
(3.14)

() ()
(
)

3.2.4. Một số thực nghiệm và kết quả
Chọn trước nghiệm chính xác của bài toán gốc, các thực nghiệm
nhằm kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (3.13)-(3.15) về nghiệm
gốc. Miền
Ω là hình vuông đơn vị. Chọn tham số lặp =
+
2
20752.
τ
δ
,
tham số nhiễu
δ
=
1/3
ε
.
(
)
=
2
Oh
ε
, h là bước lưới. Trong các bảng liệt
kê kết quả thực nghiệm,
Error =|| ||
E
Uu
∞
− , K

93
0.0023
0.0007
0.0003
0.88
4.95
42.51
B2. u = sin(
π
x)sin(
π
y)
Lưới K
1
K
2
K
3
Error T/g (s)
16 x 16
32 x 32
64 x 64
10
17
27
16
26
39
21
33

ΓΓΓ
Γ
Γ
Δ= ∈Ω
∂∂Δ ∂
== = =−Δ
∂∂ ∂
∂∂Δ ∂
=
== =Δ =Δ=
∂∂ ∂
2
1
2
455
3
4
2
0
0
00 0
top
u,x,y ,
uu u
, u U , U b u,
xx y
uu u
, u , b u, u u ,
xx y
(3.16)

Γ
Δ= ∈Ω
∂∂Δ ∂ ∂
===+Δ==
∂∂ ∂ ∂
∂Δ ∂
==−Δ==Δ=
∂∂
2
1 3
2
1
455
3
4
2
123 45
67 87 9
uf,x,y ,
uu u u
g, g, u g, b u g, g,
xx y x
uu
g , u g , b u g , u g , u g ,
xy
(3.17)

Ω
y
l

B xác định trên không gian
()
Γ∪Γ
2
24
L bởi công thức
Γ∪Γ
∂
=
∂
4
0
2
u
S
v
n
(3.18)
cho việc tìm
g và h, trong đó
()
()
∈
Γ
⎧
⎪
=
⎨
∈
Γ

H
v,v v.vd , v,v L , S được xác
định bởi
(3.18) là một toán tử tuyến tính, đối xứng, dương và
hoàn toàn liên tục, ánh xạ từ không gian
(
)
Γ
∪Γ
24
s
H vào không
gian
()
+
Γ∪Γ ≥
1
24
0
s
H, s.
()
Γ∪Γ
24
s
H là không gian Sobolev.
Bài toán (3.17) được đưa về phương trình toán tử

=
0

u
là nghiệm tìm được từ các bài toán

()
Γ∪Γ
Γ
Γ
Γ
Δ= ∈Ω
∂
==
∂
∂
==
∂
24
1
5
3
2
2
22
2
62 9
0
vf, x,y ,
v
g, v ,
x
v

g, u g,
x
18
B = S + bI, I là toán tử đơn vị, S được xác định bởi (3.18).
Định lý 3.3. Trên không gian Hilbert
(
)
=
Γ∪Γ
2
24
HL với tích vô
hướng được xác định trong Bổ đề
3.1, nếu b > 0 thì B cho bởi (3.19)
là một toán tử tuyến tính, đối xứng, xác định dương và giới nội.
3.3.2. Phép lặp giải bài toán gốc
Sơ đồ lặp hai lớp cho việc giải phương trình toán tử (3.19) tìm
nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.17) như sau

(
)
(
)
()
()
ψ
τ

2
024
vL
.
Bước 2. Biết
(
)
=
0
01
k
v,k ,, , giải liên tiếp hai bài toán
()
()
() ()
() () ()
ΓΓ
Γ∪Γ Γ
⎧
Δ= ∈Ω
⎪
⎪
∂∂
⎪
==
⎨
∂∂
⎪
⎪
==

⎪
⎪
==
⎪
⎩
13
245
15
37
kk
kk
kk
uv, x,y ,
uu
g, g,
xx
ug, u g.
(3.21)
Bước 3. Tính xấp xỉ mới

() ()
()
()
()
+
⎛⎞
∂
=
+− − ∈Γ∪Γ
⎜⎟

1
2
bS/
τ
thì nghiệm xấp xỉ
(
)
k
u
thỏa mãn đánh giá
()
()
Ω
−≤=
7
2
1
12
k
k
H
u u C ,k , ,
ρ
, trong đó
−
==
++
1
1
b

E
rror u u . Tiêu chuẩn
dừng lặp
() ()
(
)
+
∞
−≤=
1
2
kk
uu Oh
ε
.
B1.
-6
1
2
2
=+ = =
yx
uxe ye, a , h B2.
−
=+ = =
6
3
2
4
yx

0.001
0
4
5
10
10
10
1.12e - 5
5.58e - 5
3.27e - 4
5.21e - 4
5.34e - 4
1.91
2.27
4.04
4.02
4.03 20
B3.
-6
1
sin sin 2
2
=
==uxy, a, h B4.
-7
1
sin sin 2

S
là một việc làm rất khó, để
bước đầu khắc phục khó khăn này, thông qua con đường thực
nghiệm, chúng tôi nhận thấy nếu lựa chọn giá trị
1
+0.4
=
*
τ
b
thì
những giá trị này của
*
τ
là tốt hơn cả cho quá trình lặp (3.21) - (3.22)
so với những giá trị khác của
τ
. Trong quá trình thực nghiệm, khi sai
phân hóa, toán tử vi phân
S được thay thế bởi toán tử sai phân S
h
thì
S
h
luôn xác định dương, tức là ta luôn có
≤
≤Δ >0
hhhh
IS I,
δ

3.36 21

Γ
Γ
⎧
Δ−Δ+ = ∈Ω
⎪
⎪
⎨
∂Δ
⎪
==∈Γ
⎪
∂
⎩
uaubu f,x ,
u
ug, g,x,
n
2
01
(3.23)
trong đó
Δ là toán tử Laplace, Ω là miền giới nội trong
n
R
có biên

⎧
⎨
=
∈Γ
⎩
0
uv,x ,
ug,x .
(3.24)
Để tìm
ϕ
, đưa vào toán tử B xác định trên
(
)
Ω
2
L cho bởi công thức
B
ϕ
= bu , (3.25)
khi đó , ta nhận được phương trình toán tử của bài toán (3.24)

S
ϕ
= F , (3.26)
trong đó
F = -bu
2
,


uv,x ,
ug,x ,

I là toán tử đơn vị, với vế phải F hoàn toàn xác định.
3.4.2. Xây dựng phép lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc
Sử dụng sơ đồ lặp hai lớp cho bởi công thức

()
(
)
()
()
+
−
++ = =
1
012
kk
k
I
B F, k , , , ,
ϕϕ
ϕ
τ
(3.27)
τ
là tham số lặp, giải lặp phương trình toán tử (3.26). Khi đó, việc tìm
nghiệm xấp xỉ cho bài toán (3.23) có thể được hiện thực hóa bởi quá
trình lặp sau
(3.5)

)
= 01
k
x
k , , ,
ϕ
, giải liên tiếp hai bài toán

() () ()
()
⎧
Δ
−=+ ∈Ω
⎪
⎨
∂
=
∈Γ
⎪
∂
⎩
kk k
k
vav f ,x,
v
g, x ,
n
ϕ
và
() ()

bu
ϕτϕτ
. (3.29)
Việc tính
(
)
+
1k
ϕ
theo (3.29) sẽ thỏa mãn sơ đồ lặp (3.27).
3.2.3. Một số thực nghiệm và kết quả
Cũng như các thực nghiệm đã trình bày, các thực nghiệm trong phần
này nhằm kiểm tra sự hội tụ của sơ đồ lặp (3.27). Miền
Ω là hình vuông
đơn vị, các hàm
u được chọn trước làm nghiệm gốc của bài toán (3.23).
Trong các bảng liệt kê, K là số lần lặp thực hiện thuậtt toán, sai số
Error
=
∞
−
app
uu , u
app
là nghiệm xấp xỉ của quá trình tính toán.
B1. B2
44
0.25 0.25
11.5
=+++

8.62e - 7
0.66
1.62
6.12
43.07

Nhận xét. Các kết quả trong bảng 1, 2, cho thấy: quá trình lặp (3.28)
- (3.29) đã được đề xuất hội tụ rất nhanh với tham số lặp
τ
= 1.
Cố định
τ
= 1, u = (x
2
- 1)
2
e
y
+ (y
2
- 1) e
x
, lưới 128 × 128, tiến
hành thực nghiệm trong các trường hợp cho các hệ số
a cố định, b
Lưới K Err
T/g
(s)
32 × 32
64 × 64

K 4 5 6 7 9 12 41 88 236
Nhận xét. Từ bảng 3, 4, với tỉ số b/a
≤
5 thì quá trình lặp (3.28)-
(3.29) hội tụ khá tốt.
Các kết quả trong 3.4 được công bố trong [2].

KẾT LUẬN

Luận án đã trình bày các kết quả nghiên cứu về một phương pháp
số giải một số bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và
phương trình kiểu song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp và
điều kiện biên hỗn hợp. Đây là một hướng tiếp cận mới cho việc tìm
nghiệm của bài toán biên được dựa trên ý tưởng của A.A.Abramov,
V.I.Unijanova và Đặng Quang Á đề xuất: N
ếu phân rã được một bài
toán biên cấp cao về dãy các bài toán biên cấp hai và chứng tỏ được
sự hội tụ thì sẽ triệt để sử dụng được các kết quả và các thuật toán
hữu hiệu sẵn có.
Các kết quả mới của luận án
I. Đề xuất phương pháp tìm nghiệm giải tích của một bài toán biên
đối với phương trình song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp
mô tả độ uốn của bản mỏng có biên bị ngàm đàn hồi. 24
II. Đề xuất và nghiên cứu hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ
cho một bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều hòa với điều
kiện biên hỗn hợp dựa trên phương pháp gây nhiễu bài toán đang xét và
ngoại suy nghiệm theo tham số nhiễu.