Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng Đại học Quy nhơn
Trần Ngọc Anh
Về một bất biến của môđun
hữu hạn sinh trên vành địa ph-ơng
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Đức Minh
Quy nhơn, năm 2008
1
Mục Lục
Bảng các kí hiệu 1
Mở đầu 2
Ch-ơng 1. Kiến thức chuẩn bị 5
1.1
Lý thuyết về sự phân tích nguyên sơ 5
1.2 Lý thuyết bội 7
1.3 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 9
1.4 Lý thuyết kiểu đa thức 12
Ch-ơng 2. Lọc chiều và hệ tham số tốt 14
2.1 Hệ tham số tốt 14
2.2 Đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay dãy qua hệ tham số tốt .22
2.3 Lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá 31
Ch-ơng 3. Bất biến p
F
(M) 34
3.1 Sự tồn tại của bất biến p
F
(M) 34
3.2 Liên hệ giữa bất biến p

d
) là hệ tham số của M, kí hiệu n =(n
1
, , n
d
) là
bộ
d-số nguyên d-ơng. Xét hiệu
I
M
(n,x)=(M/(x
n
1
1
, , x
n
d
d
)M) n
1
n
d
e(x
1
, , x
d
; M),
nh- một hàm theo n. Trong tài liệu [5], Nguyễn Tự C-ờng đã chứng minh rằng
hàm này không là một đa thức trong tr-ờng hợp tổng quát nh-ng nó bị chặn trên
bởi một đa thức và bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức chặn trên hàm

gọi là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc
F nếu
M
i
(x
d
i
+1
, , x
d
)M =0với i =0, 1, , t 1 và d
i
= dimM
i
.
Đặt
I
F,M
(x(n)) = (M/(x
n
1
1
, , x
n
d
d
)M)
t

i=0

d
)
là một hệ tham số tốt của M t-ơng ứng với lọc F. Câu hỏi đặt ra là các kết quả
trên có còn đúng cho hàm
I
F,M
(x(n)).
Mục đích của luận văn này là trình bày một số kết quả trong
[7] và [9] liên
quan đến bất biến
p
F
(M) ( đ-ợc định nghĩa là bậc nhỏ nhất của tất cả các đa
thức theo
n chặn trên hàm I
F,M
(x(n)) ). Bên cạnh việc đ-a ra nhiều chứng minh
chi tiết cho các kết quả đã có trong
[7] và [9], chúng tôi cũng tìm đ-ợc một kết
quả mới ch-a đ-ợc đề cập đến trong hai bài báo nói trên.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm 3
ch-ơng:
4
Ch-ơng 1 kiến thức chuẩn bị
Ch-ơng này chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số tính chất cơ bản về
lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết bội, môđun Cohen - Macaulay, môđun
Cohen - Macaulay suy rộng và lý thuyết kiểu đa thức.
Ch-ơng 2 lọc chiều và hệ tham số tốt
Lọc chiều và hệ tham số tốt là một công cụ rất quan trọng để nghiên cứu
bất biến

Tác giả
5
Ch-ơng 1
kiến thức chuẩn bị
1.1 Lý thuyết về sự phân tích nguyên sơ
Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cần thiết về sự phân
tích nguyên sơ của các môđun con của một môđun theo [14, ch-ơng 3].
Định nghĩa
1.1.1. Cho R là một vành giao hoán và M là một R - môđun. Một
iđêan nguyên tố p đ-ợc gọi là một iđêan nguyên tố liên kết với M nếu tồn tại
x M và x =0sao cho p = Ann(x).
Tập các iđêan nguyên tố liên kết với
M đ-ợc kí hiệu là Ass
R
(M) hay
Ass(M). Hơn nữa Ass( M)= nếu và chỉ nếu M =0. Đặc biệt nếu M là hữu
hạn sinh và R là một vành giao hoán Noether thì Ass(M) là hữu hạn.
Định nghĩa
1.1.2. i) Một R - môđun M đ-ợc gọi là đối nguyên sơ nếu có duy
nhất một iđêan nguyên tố liên kết.
ii) Môđun con N của M đ-ợc gọi là một môđun con nguyên sơ của M nếu
M/N là đối nguyên sơ. Nếu Ass
R
(M/N)={p}, thì N đ-ợc gọi là p - nguyên sơ.
Bổ đề
1.1.3. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:
(1) R- môđun M là đối nguyên sơ ;
(2) M =0và nếu a R là -ớc của không của M thì với mỗi x M tồn tại
một số nguyên d-ơng n sao cho a
n

r
là một phân tích nguyên sơ rút gọn của
môđun con N và Q
i
là p
i
-nguyên sơ thì
Ass(M/N)={p
1
, ããã , p
r
}.
Định lý 1.1.8. Cho R là vành Noether và M là một R-môđun. Khi đó với mỗi
p Ass(M) ta có thể chọn một môđun p- nguyên sơ Q(p) sao cho
0=
pAssM
Q(p).
Hệ quả 1.1.9. Nếu M là một R - môđun hữu hạn sinh thì mọi môđun con của
M đều có một sự phân tích nguyên sơ.
Mệnh đề
1.1.10. ( theo [15, 3.13]) Cho I là một iđêan của R, đặt A = {p
AssM : p I}. Nếu 0=
pAssM
Q(p) là một phân tích nguyên sơ rút gọn của
môđun con 0 của M và Q(p) là p-nguyên sơ thì
H
0
I
(M)=


(M).
Với t>0, đặt (0 :
M
x
1
)={m M | mx
1
=0}.Vì
R

M/(x
)M

< + nên
ta dễ dàng suy ra rằng (x
2
, , x
t
) là một hệ bội của (0 :
M
x
1
) và M/x
1
M. áp
dụng giả thiết quy nạp thì e(x
2
, , x
t
; M/x

) của m đ-ợc gọi là một hệ tham số của M
nếu (x
1
, , x
d
) là một hệ bội của M.
D-ới đây là một số tính chất cơ bản của số bội e(x; M) .
Định lý
1.2.2. Giả sử 0 M N P 0 là một dãy khớp ngắn các
R-môđun Noether và x =(x
1
, , x
t
) là hệ bội trên M, N và P . Khi đó
e(x; N)=e(x; M)+e(x; P ).
Mệnh đề 1.2.3. Cho x =(x
1
, , x
t
) là một hệ bội của M. Nếu {i
1
,i
2
, , i
t
} là
một hoán vị của {1, 2, , t} thì e(x
1
,x
2


M/(x
)M

.
Mệnh đề
1.2.6. Cho x =(x
1
, , x
t
) là một hệ bội của M. Khi đó với n
1
,n
2
, , n
t
là các số nguyên d-ơng tuỳ ý ta có
e(x
n
1
1
,x
n
2
2
, , x
n
t
t
; M)=n

, , x
t
) là một hệ bội
của M. Khi đó
lim
min(n
i
)
(M/(x
n
1
1
,x
n
2
2
, , x
n
t
t
)M)
n
1
.n
2
n
t
= e(x; M).
Công thức sau đây của Auslander - Buchsbaum th-ờng đ-ợc sử dụng trong
các chứng minh của ch-ơng tiếp theo.

i1
)M).
9
1.3 Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-
Macaulay suy rộng
Tr-ớc hết chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy chính quy (theo [14, ch-ơng 6]).
Định nghĩa
1.3.1. Cho R là một vành giao hoán, M là một R-môđun và a
1
, , a
r
là các phần tử thuộc R. Ta ký hiệu (a) là iđêan (a
1
, , a
r
) và aM là môđun con
r

i=1
a
i
M =(a)M. Ta nói a
1
, , a
r
là M- dãy chính quy (hay M-dãy) nếu các điều
kiện sau đ-ợc thoả :
(1) Với mỗi 1 i r, a
i
không là -ớc của không của M/(a

1
m
1
+ + a
r
m
r
=0,m
i
M, i =
1, , r. Khi đó m
i
aM với mọi i =1, , r.
Định lý
1.3.3. Nếu (a
1
, , a
r
) là một M-dãy thì (a
n
1
1
, , a
n
r
r
) là một M-dãy với
mọi số nguyên d-ơng n
1
, , n

1.3.5. Cho R là một vành giao hoán Noether, M là một môđun hữu
hạn sinh và I là một iđêan của R sao cho IM = M. Khi đó độ dài của các
M-dãy cực đại trong I đ-ợc gọi là I-độ sâu của M và ký hiệu là depth
I
(M).
Khi (R, m) là một vành địa ph-ơng ta ký hiệu depth(M) hay depth
R
(M) thay cho
depth
m
(M) và gọi là độ sâu của M.
Định lý
1.3.6. Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng và M =0
là một môđun hữu hạn sinh. Khi đó
depth(M) dim(R/p) với mọi p Ass(M).
Bổ đề
1.3.7. Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng, M là một
môđun hữu hạn sinh và (a
1
, , a
r
) là một M-dãy. Khi đó
dimM/(a
1
, , a
r
)M = dimM r.
Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay theo
[14, ch-ơng 6].
Định nghĩa

=0thì depth
p
M = depth
R
p
M
p
.
Định lý
1.3.10. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d và (R, m)
là một vành giao hoán Noether địa ph-ơng. Khi đó các điều kiện sau là t-ơng
đ-ơng:
i)
M là môđun Cohen-Macaulay;
ii) Tồn tại một iđêan tham số
p của M sao cho e(p; M)=
R
(M/pM);
iii)
e(p; M)=
R
(M/pM) với mọi iđêan tham số p của M;
iv) Tồn tại một hệ tham số của
M là M-dãy;
v) Mọi hệ tham số của
M đều là M-dãy;
vi)
H
i
m

(n; x)=(M/(x
n
1
1
, , x
n
d
d
)M) n
1
n
d
e(x; M).
nh- một hàm theo n, ở đây e(x; M) là bội Serre của M ứng với hệ (x
1
, , x
d
).
Bổ đề 1.4.1. Cho x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số của M. Khi đó
(M/(x(n))M) n
1
n
d
(M/(x)M)
với mọi số nguyên d-ơng n
1

d
I
M
(x). Định lý sau đây
khái quát tính chất trên.
Định lý
1.4.3. Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo n chặn trên hàm số I
M
(n; x)
không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x.
Định nghĩa
1.4.4. Bậc nhỏ nhất của các đa thức theo n chặn trên hàm số I
M
(n; x)
là một bất biến của M. Bất biến này gọi là kiểu đa thức của M và kí hiệu là
p(M).
Chú ý
1.4.5. (i) Nếu xem bậc của đa thức 0 là thì khi đó
M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu p(M)=.
13
M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu p(M) 0.
(ii) Nếu M không là môđun Cohen-Macaulay thì ta có bất đẳng thức
0 p(M) dim M 1.
Định nghĩa 1.4.6 . Một phần hệ tham số x
1
, , x
j
của M đ-ợc gọi là dãy thu gọn
nếu điều kiện sau đ-ợc thoả mãn: x
j

là
Cohen - Macaulay và dimM
p
+ dim(R/p)=d.
Hệ quả
1.4.8. Giả sử R là vành th-ơng của một vành Cohen - Macaulay và M
là đẳng chiều. Khi đó p(M)=r(M)=dimnCM(M).
14
Ch-ơng 2
Lọc chiều và hệ tham số tốt
Nh- sẽ trình bày trong ch-ơng 3 thì bất biến p
F
(M) có liên quan có liên
quan chặt chẽ đến lọc chiều và hệ tham số tốt, mặt khác lọc chiều và hệ tham
số tốt cũng là một công cụ mới hữu hiệu để nghiên cứu cấu trúc của các môđun.
Do đó chúng tôi dành ch-ơng này để trình bày lại một số kết quả về lọc chiều
và hệ tham số tốt, chỉ ra đặc tr-ng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua hệ tham
số tốt và trình bày một số kết quả về lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá sẽ
đ-ợc sử dụng rất nhiều trong ch-ơng tiếp theo.
Từ đây ta ký hiệu
(R, m) là vành địa ph-ơng giao hoán Noether và M là
R-môđun hữu hạn sinh có chiều d.
2.1 Hệ tham số tốt
Trong mục này, chúng tôi trình bày cụ thể những kết quả về hệ tham số tốt
theo [7], [9],và[12].
Định nghĩa
2.1.1. (theo [9, 2.1]) (i) Ta nói rằng một lọc các môđun con của M
F : M
0
M

i
với i =
t, t 1, , 1.
15
Vì tính Noether của M nên mệnh đề sau sẽ cho ta thấy lọc chiều của M
luôn tồn tại và duy nhất.
Mệnh đề
2.1.2. (theo [18, 2.2]) Cho D : D
0
D
1
D
t
= M là lọc chiều
của M với dimD
i
= d
i
và

pAssM
N(p)=0là phân tích nguyên sơ rút gọn của
môđun con không của M, khi đó D
i
=

dim R/pd
i+1
N(p).
Chứng minh. Đặt

0
a
i
(M) vì mọi phần tử
của D
i
đều thuộc linh hoá tử của một iđêan có chiều nhỏ hơn hoặc bằng d
i
.
Theo tính cực đại của D
i
ta suy ra D
i
= H
0
a
i
(M).
Vậy D
i
= H
0
a
i
(M)=

dim R/pd
i+1
N(p).
Hệ quả 2.1.3. (theo [18, 2.3]) Cho D : D

i
)}. Do đó từ Mệnh đề
2.1.2 ta suy ra AssD
i
= {p AssM | dimR/p d
i
} .
Vì AssM/D
i
= AssM\V (a
i
) nên AssM/D
i
= {p AssM | dimR/p >d
i
} .
Từ dãy khớp ngắn 0 D
i1
D
i
D
i
/D
i1
0 ta có
AssD
i
AssD
i1
AssD

0
M
1
M
t
= M là một lọc
thoả mãn điều kiện chiều và đặt
d
i
= dimM
i
. Một hệ tham số x =(x
1
, , x
d
)
đ-ợc gọi là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F nếu M
i
(x
d
i
+1
, , x
d
)M =0
với i =1, 2, , t 1. Một hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc chiều đ-ợc gọi là một
hệ tham số tốt của M.
Nhận xét
2.1.5. Cho N là môđun con của M. Từ định nghĩa lọc chiều tồn tại
môđun D

. Do đó, một hệ tham số tốt cũng là một
hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc bất kỳ thoả mãn điều kiện chiều.
Bổ đề
2.1.6. (theo [7, 2.4]) Hệ tham số tốt của M luôn tồn tại.
Chứng minh. Giả sử
D là lọc chiều của M với d
i
= dim D
i
.
Cho

pAssM
N(p)=0là phân tích nguyên sơ rút gọn của môđun con không của
M, khi đó D
i
=

dim R/pd
i+1
N(p). Đặt N
i
=

dim R/pd
i
N(p).
Khi đó D
i
N

)M D
i
N
i
D
i
do đó M
i

(x
d
i
+1
, , x
d
)M =0, tức là x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt của M.
Bổ đề 2.1.7. (theo [9, 2.4]) Nếu một hệ tham số x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham
số tốt t-ơng ứng với lọc F thì (x
n
1
1
, , x

1
, , x
n
d
d
) là một hệ tham số của M và
M
i
(x
n
1
1
, , x
n
d
d
)M =0. Do đó (x
n
1
1
, , x
n
d
d
) cũng là một hệ tham số tốt t-ơng
ứng với lọc F.
Bổ đề 2.1.8. (theo [9, 2.4]) Nếu x là một hệ tham số tốt của M thì x
j



N(p)=0là phân tích nguyên sơ rút gọn của môđun con không
của M, đặt N
i
=

dim R/pd
i
N(p).Vìx là một hệ tham số tốt của M nên x
j

Ann(M/N
i
).Mà N(p) là p-môđun nguyên sơ nên dễ suy ra rằng x
j


pAssD
i
p.
Ng-ợc lại, giả sử x
j

dim R/pd
i
p, với mọi j>dimD
i
. Khi đó với mỗi j>dimD
i
và x
j

1
, , x
s
d
) là một hệ tham số tốt của M.
Định nghĩa 2.1.9. (theo [9, 2.2]) Một R-môđun M đ-ợc gọi là một môđun Cohen-
Macaulay dãy nếu mỗi th-ơng D
i
/D
i1
của lọc chiều D là Cohen-Macaulay với
i =1, 2, , t.
Bổ đề
2.1.10. (theo [12, 2.1]) Nếu x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng
với lọc chiều D của M thì D
i
=0:
M
x
j
với mọi d
i
<j d
i+1
, i =0, 1, , t 1,
và vì vậy ta có

+1.
Ta cần chứng minh 0:
M
x
j
D
i
với mọi d
i
<j d
i+1
.
18
Thật vậy, giả sử 0:
M
x
j
D
i
. Gọi s là số nguyên lớn nhất sao cho 0:
M
x
j
D
s1
.
Khi đó t s>ivà 0:
M
x
j

chọn s. Vì vậy D
i
=0:
M
x
j
.
Bổ đề 2.1.11. (theo [12, 2.2]) Cho N là môđun con của M sao cho dim N<dim M
và M/N là môđun Cohen - Macaulay. Nếu x
1
, , x
i
, 1 i d là một phần của
hệ tham số của M thì
(x
1
, , x
i
)M N =(x
1
, , x
i
)N.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo
i.
Tr-ờng hợp i =1là hiển nhiên. Giả sử i>1. Lấy a (x
1
, , x
i
)M N.

i1
)M):
M
x
i
= N +(x
1
, , x
i1
)M
và ta có a
i
(N +(x
1
, , x
i1
)M).
Khi đó a
i
= x
1
b
1
+ + x
i1
b
i1
+ c với b
j
M, j =1, , i 1 và c N. Do đó

1
, , x
d
i
)D
i
với mọi i =1, , t 1.
19
Cho F : M
0
M
1
M
t
= M là một lọc các môđun con của M thoả
mãn điều kiện chiều với d
i
= dim M
i
và x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt
t-ơng ứng với F. Khi đó (x
1
, , x
d
i
) là một hệ tham số của M

d
0
; M
0
)=(M
0
) nếu dim M
0
=0.
Bổ đề
2.1.13. Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và x =(x
1
, , x
d
) là
một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F. Khi đó lọc F/x
d
F :
(M
0
+ x
d
M)/x
d
M (M
1
+ x
d
M)/x
d

i
+ x
d
M)/x
d
M

=
M
i
với i s, do đó lọc
F/x
d
F thoả điều kiện chiều và dễ chứng minh rằng
(M
i
+ x
d
M)/x
d
M (x
d
i
+1
, , x
d1
)M/x
d
M =0,
với mọi i s. Vậy x

M
(x

)=(M/xM) e(x

; M/x
d
M)
s

i=0
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
)
= (M/x
M)e(x

;0:
M
x
d
)e(x; M)
s

i=0

t1
= d 1 thì vì M
t1
x
d
M =0nên M
t1
0:
M
x
d
.
Do đó I
F,M
(x) I
F/x
d
F,M/x
d
M
(x

)=e(x

;0:
M
x
d
) e(x


1
, , x
d1
).
Hệ quả 2.1.16. (theo [7, 2.8]) Cho F là một lọc thoả mãn điều kiện chiều và
x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số tốt t-ơng ứng với F. Khi đó
e(x
1
, , x
r
; M/(x
r+1
, , x
d
)M)

d
i
r
e(x
1
, , x
d
i
; M
i

n
r
t

i=0
e(x
n
1
, , x
n
r
,x
r+1
, , x
d
i
; M
i
)
=

d
i
r
e(x
1
, , x
d
i
; M

(x(n))
không giảm, tức là I
F,M
(x(n)) I
F,M
(x(m)) với mọi n
i
m
i
, i =1, , d.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh hàm
I
F,M
(x
1
, , x
r1
,x
n
r
,x
r+1
, , x
d
) là
không giảm theo
n với mỗi r {1, 2, , d}.
21
Đặt x(n)=(x
1

(1 + n)e(x
r
; M/(x
1
, , x
r1
,x
r+1
, , x
d
)M)=
= e(x
n+1
r
; M/(x
1
, , x
r1
,x
r+1
, , x
d
)M)
= (M/(x( n + 1))M)

(0 : x
n+1
r
)
M/(x

r1
,x
r+1
, ,x
d
)M

.
Mà ((0 : x
n+1
r
)
M/(x
1
, ,x
r1
,x
r+1
, ,x
d
)M
) ((0 : x
n
r
)
M/(x
1
, ,x
r1
,x

, , x
d
)M)

d
i
r
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
).
áp dụng công thức Lech ta có
e(x
r
; M/(x
1
, , x
r1
,x
r+1
, , x
d
) = lim
n
1
n

, , x
r
; M/(x
r+1
, , x
d
)M).
Theo Hệ quả 2.1.16 ta có e(x
1
, , x
r
; M/(x
r+1
, , x
d
)M)

d
i
r
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
).
Vậy I
F,M

Định nghĩa
2.2.2. (theo [6, 3.2]) Một dãy (x
1
, ããã ,x
s
) đ-ợc gọi là dd - dãy của
M nếu với mọi số nguyên d-ơng n
1
, ããã ,n
s
và i =1, 2, ããã,s, dãy (x
n
1
1
, ããã ,x
n
i
i
)
là một d - dãy của môđun M/(x
n
i+1
i+1
, ããã ,x
n
s
s
)M.
Bổ đề 2.2.3. (theo [6, 3.6]) Cho x là hệ tham số của M. Khi đó x là dd-dãy của
M nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên a

d
)M : x
i+1
/(x
i+2
, ããã ,x
d
)M).
Mệnh đề 2.2.4. ( theo [6, 1.5]) Cho M là một môđun Cohen - Macaulay dãy và
x là một hệ tham số của M. Khi đó x là một hệ tham số tốt nếu và chỉ nếu
I
D,M
(x(n)) = 0 với mọi số nguyên d-ơng n
1
, ããã ,n
d
. Khi đó, x là một dd- dãy.
Tiếp theo chúng tôi trình bày đặc tr-ng của môđun Cohen - Macaulay dãy
qua hệ tham số tốt trong
[7].
Bổ đề
2.2.5. ( theo [7, 3.5]) Cho x =(x
1
, , x
d
) là một hệ tham số của M và
D : D
0
D
1

d
M D
t1
x
d
M =0với mọi i =0, ããã ,t 1. Giả
sử hoặc d
t1
<d1 hoặc i<t1.Vì(D
i
+ x
n
d
d
M)/x
n
d
d
M D
i
/x
n
d
d
M D
i
= D
i
nên dim(D
i

. Vì hệ tham số x

=(x
1
, ããã ,x
d1
) cũng
là một dd - dãy của môđun M/x
n
d
d
M và dim D = d
i
nên theo giả thiết quy nạp
thì D =(0:x
d
i
+1
)
M/x
n
d
d
M
. Từ đây suy ra (D
i
+ x
n
d
d

d
1.
áp dụng Định lý giao Krull ta có
D
i


n
d
(D
i
+ x
n
d
d
M)

n
d
(x
n
d
d
M : x
d
i
+1
)=0:
M
x

d
i
+1
, , x
d
)=d
i
.
Nh- vậy D
i
0:
M
x
d
i
+1
và dim(0 :
M
x
d
i
+1
) d
i
, do tính cực đại của D
i
ta có
D
i
=0:

+ x
d
M)/x
d
M M/x
d
M
trong đó s = t 1 nếu d
t1
<d 1 và s = t 2 nếu d
t1
= d 1. Vì vậy
(D
i
+ x
d
M) (x
d
i
+1
, ããã ,x
d1
,x
d
)M = x
d
M với mọi i =0, ããã,s. Ta đã biết
D
t1
=0:

M
x
i
(x
1
, ããã ,x
s
)M =0:
M
x
i
( x
1
, ããã ,x
i1
)M.
Đặc biệt, 0:
M
x
2
( x
1
, ããã ,x
s
)M = x
1
(0 :
M
x
2

1
a
1
+ ããã+ x
s
a
s
, trong
đó a
1
, ããã ,a
s
M. Khi đó, vì x
s
x
1
a
1
+ ããã+ x
2
s
a
s
=0và x là một d-dãy nên
a
s
(x
1
, ããã ,x
s1

x
i+1
( x
1
, ããã ,x
s
)M =0:
M
x
i+1
( x
1
, ããã ,x
i
)M.
Vì x là d-dãy nên 0:
M
x
i
0:
M
x
i+1
và ta có
0:
M
x
i
( x
1

, ããã ,x
i1
)M.
Vậy 0:
M
x
i
( x
1
, ããã ,x
s
)M =0:
M
x
i
( x
1
, ããã ,x
i1
)M.
Bổ đề 2.2.7. (theo [7, 3.7]) Cho D : D
0
D
1
ãããD
t
= M là lọc chiều của M
và F : M
0
M

d
i
+1
với i =1, ããã,t 1.
Chứng minh. Vì I
F,M
(x(n)) = 0 nên theo Bổ đề 2.2.3 thì x là dd - dãy , do đó x
là hệ tham số tốt của M theo Bổ đề 2.2.5. Từ Nhận xét 2.1.5, ta có I
F,M
(x(n))
I
D,M
(x(n)) với mọi số nguyên d-ơng n
1
, ããã ,n
d
. Vì vậy I
D,M
(x(n)) = 0,t= t

và