BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCH
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCH
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62.46.01.04
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn
TS. Nguyễn Thị Hồng Loan
Nghệ An - 2014
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả
khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và
chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả
Nguyễn Thị Kiều Nga
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi
- PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã tận tình dìu dắt tôi từ những

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia
đình của mình. Những người luôn động viên chia sẻ khó khăn và luôn
mong mỏi tôi thành công. Tôi xin cám ơn Chồng và hai Con trai yêu
quí, những người đã chấp nhận mọi khó khăn, gánh vác toàn bộ công
việc cho tôi để tôi yên tâm học tập. Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp
tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này.
Nguyễn Thị Kiều Nga
5
Mục lục
Mở đầu 7
1 Kiến thức chuẩn bị 21
1.1 Tính catenary của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 33
2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 41
2.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . 47
3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng 54
3.1 Giá suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . 60
4 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 73
4.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-
Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Liên hệ với môđun chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Kết luận và kiến nghị 92
Các công trình liên quan đến luận án 93
Tài liệu tham khảo 93

Cohen-Macaulay. Ta biết rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì
dim R/p = d với mọi p ∈ Ass
R
M. Khi nghiên cứu cho trường hợp
môđun trộn lẫn, R. P. Stanley [47] đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-
Macaulay dãy cho các môđun phân bậc, sau đó được P. Schenzel [45], N.
T. Cường và L. T. Nhàn [19] định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trên
vành địa phương. Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng
cho trường hợp môđun trộn lẫn, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã giới
thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp
vành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun) giả Cohen-
Macaulay suy rộng. Cho x = (x
1
, . . . , x
d
) là hệ tham số của M. Đặt
Q
M
(x) =

t>0
((x
t+1
1
, . . . , x
t+1
d
)M :
M

số x của M và họ gọi chúng là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.
8
Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp môđun
Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay
dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay
và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành những lớp môđun
được quan tâm trong Đại số giao hoán và cấu trúc của chúng đã được
biết đến thông qua các công trình [12], [13], [19], [24], [25], [45], [46], [47],
[48], [49],[50], [53] Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đến
tính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được quan
tâm của Đại số giao hoán.
Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen-Macaulay
chỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô Zariski (xem R.
Hartshorne [28], P. Schenzel [53]) hoặc về chiều của quỹ tích (xem [10],
[11]) khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng hạn khi R là thương của một vành
Gorenstein địa phương. Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn
đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng
thời nghiên cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính
catenary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điều
kiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình thức.
Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích liên quan đến tính
Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích
không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy
rộng.
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án
của mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa
phương Noether ".
9
2. Mục đích nghiên cứu

Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả
Cohen-Macaulay, môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Cho (R , m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực
đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Với I là
iđêan của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I.
Ký hiệu

R và

M tương ứng là đầy đủ theo tôpô m-adic của R và M.
Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, ký hiệu nCM(M), là tập các
iđêan nguyên tố p sao cho M
p
không Cohen-Macaulay. Quỹ tích không
Cohen-Macaulay đã được R. Hartshorne [28] đề cập đến vào năm 1966.
Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương, R. Hartshorne [28]
đã chỉ ra rằng quỹ tích này là tập đóng theo tôpô Zariski. Tính đóng của
quỹ tích không Cohen-Macaulay cũng được chỉ ra bởi P. Schenzel [53].
Chú ý rằng khi quỹ tích không Cohen-Macaulay là tập đóng thì chiều
của nó được định nghĩa. Một số kết quả về chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với kiểu đa thức và chiều của các
môđun đối đồng điều địa phương đã được chứng minh bởi N. T. Cường
[10], [11].
Cho đến nay việc nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay chỉ
tập trung vào tính đóng hoặc tính toán chiều của nó mà chưa quan tâm
đến vấn đề mô tả quỹ tích này. Một số quỹ tích khác của môđun hữu
hạn sinh liên quan đến tính Cohen-Macaulay còn chưa được nghiên cứu.
Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích không

(Psupp
i
R
(M) ∩ Psupp
j
R
(M)). Hơn
nữa, nếu R là catenary và M đẳng chiều thì
nCM(M) =
d−1

i=0
Psupp
i
R
(M).
Tiếp theo, chúng tôi xét mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-
Macaulay với các môđun đối đồng điều địa phương và tính không trộn
lẫn của các vành R/p với p ∈ Supp
R
(M). Theo M. Nagata [36], môđun
M được gọi là không trộn lẫn nếu dim(

R/

p) = d với mọi

p ∈ Ass

R

Cohen-Macaulay thì nCM(M) = T (M). Trong trường hợp này, nCM(M)
là tập con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski.
(ii) Nếu nCM(M) = T(M) thì vành R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng
và R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ min Ass
R
M.
Năm 1980, M. Nagata [37] đã đưa ra câu hỏi: Giả sử (R, m) là
miền nguyên địa phương Noether không trộn lẫn. Cho p ∈ Spec(R).
Khi đó R/p có là vành không trộn lẫn? Năm 1983, M. Brodmann và
C. Rotthaus [4] đã xây dựng một miền nguyên địa phương, Noether
(R, m) có chiều 3 thỏa mãn điều kiện

R là miền nguyên và tồn tại p ∈
Spec(R), dim(R/p) = 2 và

R/p

R có iđêan nguyên tố nhúng. Ví dụ này là
câu trả lời phủ định cho câu hỏi của M. Nagata. Với kết quả sau, chúng
tôi đưa ra một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn của vành R/p với
p ∈ Supp
R
(M) trong mối quan hệ với quỹ tích không Cohen-Macaulay
và điều kiện Serre của M. Nhắc lại rằng, cho r > 0 là một số nguyên.
Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện Serre (S
r
) nếu
depth(M

m
(M) và
kiểu đa thức p(M) của M. Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng
quát,
dim(R/a(M))  p(M)  dim nCM(M).
Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta có đẳng
thức p(M) = dim(R/a(M)) và nếu thêm điều kiện M đẳng chiều thì
p(M) = dim nCM(M). Điều này chứng tỏ khi p(M) càng lớn thì tính
chất của M càng xa hơn tính Cohen-Macaulay. Trong luận án này, chúng
tôi mở rộng các kết quả trên cho trường hợp vành R là catenary phổ
dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và xét trong trường hợp
môđun M bất kì, không nhất thiết đẳng chiều.
Định lý 2.3.4. Ký hiệu U
M
(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều
bé hơn d. Khi đó
dim(R/a(M)) ≥ p(M) ≥ max

dim nCM(M), dim U
M
(0)

.
Các đẳng thức xảy ra với mọi môđun M khi và chỉ khi R là catenary phổ
dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay.
Kết quả thứ hai của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng và xét tính đóng của nó. Như chúng ta đã biết, môđun
Cohen-Macaulay suy rộng là mở rộng của môđun Cohen-Macaulay và
cấu trúc của nó được nghiên cứu bởi các nhà toán học N. T. Cường,
N. V. Trung, P. Schenzel, J. St¨uckrad, W. Vogel và nhiều tác giả khác

i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
)

= ∞}.
Chúng tôi nghiên cứu giá suy rộng trong mối quan hệ với giả giá,
tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương,
dịch chuyển qua đầy đủ m-adic và qua địa phương hóa. Sử dụng giá suy
rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng như
sau:
Định lý 3.2.2. nGCM(M) =

1i<jd
(Lsupp
i
R
(M) ∩ Lsupp
j
R
(M)). Hơn
nữa, nếu M là đẳng chiều và R là catenary thì
nGCM(M) =

1i<d
Lsupp
i
R

⊂ . . . ⊂ M
k
= M
của M được gọi là lọc chiều của M nếu M
i
là môđun con lớn nhất của
M
i+1
có chiều bé hơn dim M
i
, với mọi i = 0, . . . , k − 1. Chú ý rằng
lọc chiều của một môđun luôn tồn tại và xác định duy nhất. Chúng
tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (quỹ tích không Cohen-
Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương trong lọc chiều
của M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề 3.2.12). Chúng tôi chỉ ra rằng, với một
số điều kiện về chiều của các iđêan nguyên tố liên kết của M, quỹ tích giả
Cohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) của M chính
là phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M/U
M
(0) (phần bù
của quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M/U
M
(0)), với U
M
(0)
là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Trong trường hợp tổng
quát, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa quỹ tích giả Cohen-Macaulay
16
(quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) với phần bù của hợp của các

.
Đặc biệt, nếu d  3 thì pCM(M) là mở theo tôpô Zariski.
(ii) Giả sử H
0
m
(M) = M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M là lọc chiều của M.
Đặt dim M
i
= d
i
với mọi i = 1, . . . , t. Khi đó
nPCM(M) ⊆
t

i=1
nCM(M
i
/M
i−1
) =

i=1, ,t
r=1, ,d
i

(i) Cho d  3. Nếu dim R/p = d hoặc dim R/p  3 với mọi p ∈ Ass
R
M
thì
nPGCM(M) = nGCM(M/U
M
(0)) =

1i<d
Lsupp
i
R
(M/U
M
(0)).
Đặc biệt, nếu d  4 thì pGCM(M) là ổn định với phép tổng quát hóa.
(ii) Giả sử H
0
m
(M) = M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M là lọc chiều của M.
Đặt d
i
= dim M
i

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án
được chia làm 4 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở như
biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, tính catenary của vành, môđun đối
đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy
rộng.
18
Chương 2 trình bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay dựa theo
bài báo [20] và một phần bài báo [39]. Mục 2.1 mô tả quỹ tích không
Cohen-Macaulay qua các tập giả giá và đưa ra một số kết quả về tính
đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay (Định lý 2.1.5). Mục 2.2 đưa
ra mối quan hệ của quỹ tích không Cohen-Macaulay với tính catenary
của vành R/ Ann
R
M, điều kiện Serre của M và tính không trộn lẫn của
các vành địa phương R/p với các iđêan nguyên tố p ∈ Supp
R
(M) (Định
lý 2.2.1, Định lý 2.2.3). Mục 2.3 đưa ra mối quan hệ giữa chiều của quỹ
tích không Cohen-Macaulay, kiểu đa thức và chiều của các môđun đối
đồng địa phương (Định lý 2.3.4).
Chương 3 trình bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
dựa theo bài báo [39]. Mục 3.1 giới thiệu giá suy rộng và nghiên cứu
một số tính chất của giá suy rộng trong mối quan hệ với tập giả giá, tập
iđêan nguyên tố gắn kết, chuyển dịch giá suy rộng qua đầy đủ m-adic
và qua địa phương hóa. Mục 3.2 là phần chính của chương, miêu tả quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng qua giá suy rộng (Định lý 3.2.2).
Chúng tôi cũng đưa ra đặc trưng tính đóng của giá suy rộng và quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng (Mệnh đề 3.2.4). Cuối chương, chúng
tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (tương ứng không Cohen-
Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-Macaulay (tương ứng

các iđêan nguyên tố q = p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
= p sao cho p
i
= p
i+1
, với
mọi i = 0, . . . , n − 1, được gọi là một dãy các iđêan nguyên tố bão hòa
giữa p và q nếu với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1 không tồn tại iđêan nguyên tố
q nào thỏa mãn p
i
⊂ q ⊂ p
i+1
và p
i
= q = p
i+1
. Khi đó n được gọi là
độ dài của dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q. Ta nói vành R là
catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một
dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p và mọi dãy iđêan nguyên tố
21
bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài.
Chú ý rằng nếu R là vành địa phương Noether thì dim R < ∞.
Do đó với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy
iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p. Trong trường hợp này vành R là

Hơn nữa, năm 1977, S. McAdam và R. J. Ratliff đã mở rộng kết
quả trên cho các vành địa phương đẳng chiều. Nhắc lại rằng vành R
được gọi là đẳng chiều nếu dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố
tối thiểu p của R.
Định lý 1.1.4. (Xem [35]) Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng
chiều. Khi đó R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của
R ta có ht p + dim R/p = dim R.
Một loại đặc biệt của vành catenary là vành catenary phổ dụng
được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1.5. (Xem [33]) Vành R được gọi là vành catenary phổ
dụng nếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary.
Giả sử S là R-đại số hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại a
1
, . . . , a
t
∈ S
sao cho S = R[a
1
, . . . , a
t
]. Do đó S đẳng cấu với một vành thương của
vành đa thức R[x
1
, . . . , x
t
]. Vì vành thương của vành catenary là vành
catenary nên vành R là catenary phổ dụng khi và chỉ khi mọi vành đa
thức hữu hạn biến trên R là catenary.
Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng. Trước
hết, chúng ta nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn và vành trộn

(ii) R
p
là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R).
(iii) Nếu I là iđêan của R thì R/I là đẳng chiều khi và chỉ khi R/I là
tựa không trộn lẫn.
Kết quả sau cho chúng ta điều kiện để một vành là catenary phổ
dụng.
Định lý 1.1.8. [33, Định lý 31.7] Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là catenary phổ dụng.
(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary.
(iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R).
Chú ý rằng mọi vành có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 2 là catenary.
Nếu dim R ≤ 1 thì dim R[x] ≤ 2, do đó R[x] là catenary. Vì vậy, nếu
dim R ≤ 1 thì R là catenary phổ dụng.
1.2 Môđun đối đồng điều địa phương
Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi
A. Grothendieck vào những năm 1960 (xem [26]), sau đó được quan tâm
nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán trên thế giới như R. Hartshorne, M.
Brodmann, J. Rotman, C. Huneke Lý thuyết đối đồng điều địa phương
đã có những ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học. Ngày
24
nay nó trở thành công cụ không thể thiếu trong Đại số giao hoán, Hình
học Giải tích, Hình học Đại số Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại định
nghĩa và một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa
phương như tính chất độc lập với vành cơ sở, tính Artin, tính triệt tiêu
và không triệt tiêu Trước tiên, chúng tôi giới thiệu khái niệm hàm tử
I-xoắn.
Định nghĩa 1.2.1. (Xem [4, Định nghĩa 1.1.1]) Cho I là iđêan của R.
Với mỗi R-môđun N, đặt Γ
I

(−) là một hàm tử hiệp biến, khớp trái và nó được gọi là hàm tử
I-xoắn.
Từ đó ta có định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương như sau.
Định nghĩa 1.2.2. (Xem [4, Định nghĩa 1.2.1]) Với mỗi số nguyên i ≥ 0,
hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ
I
(−) được gọi là hàm tử đối đồng điều
địa phương thứ i đối với I và được kí hiệu là H
i
I
(−). Kết quả của tác
động H
i
I
(−) vào R-môđun N được kí hiệu là H
i
I
(N) và được gọi là môđun
đối đồng điều địa phương thứ i của N với giá I.
Sau đây là một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều
địa phương thường được dùng trong các chứng minh về sau của luận
án. Định lý sau đây chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương không
phụ thuộc vào vành cơ sở (xem [4, Định lý 4.2.1]). Chú ý rằng, nếu
f : R → R

là một đồng cấu vành và N

là R

-môđun thì N