Trang
LỜI CẢM ƠN
Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến
thức tiếp thu được từ quý Thầy Cô của trường và đặc biệt là của quý Thầy Cô Bộ môn
Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệp toàn
khóa. Em xin gởi lời cảm ơn đến các Thầy Cô Bộ môn Toán, đặc biệt em xin gởi lời
cảm ơn sâu sắc nhất đến Cô Phạm Thị Vui. Cô đã tận tình giúp đỡ và động viên để
em có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Và em cũng gởi lời cảm ơn đến gia
đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian qua.
Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều
nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được ý kiến đóng góp
quý báu từ quý Thầy Cô và các bạn.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa.
Cần thơ, tháng 05 năm 2011
Sinh viên thực hiện
Võ Ngọc Ân
1
Trang
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN.........................................................................................................1
MỤC LỤC...............................................................................................................2
A. PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................4
BẢNG KÝ HIỆU..................................................................................................6
B. PHẦN NỘI DUNG............................................................................................8
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................8
1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM..................................................................8
1.1 Nhóm con......................................................................................................8
1.2 Nhóm hữu hạn sinh.......................................................................................8
1.3 Cấp của nhóm - cấp của phần tử...................................................................9
2. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG................................................9

chuyên ngành Sư phạm Toán. Đây là môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng
say mê học và nghiên cứu Toán của sinh viên. Nhưng do thời gian trên lớp có hạn nên
sinh viên không thể tìm hiểu hết các vấn đề có liên quan đến môn học.
Do vậy, được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn cùng với lòng say mê tìm hiểu
về Trường hữu hạn với những tính chất thú vị như: Mỗi trường hữu hạn đều có số
phần tử là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó, tổng của tất cả các phần tử trong
trường hữu hạn bằng 0 ngoại trừ trường
2
F
,... nên em đã quyết định chọn đề tài “Một
số tính chất của trường hữu hạn” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài “Một số tính chất của trường hữu hạn”, em hướng đến mục
đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn
khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học
trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Luận văn nhằm làm rõ một số tính chất của
Trường hữu hạn. Tiếp đến em tìm hiểu một số tính chất của đa thức trên trường hữu
hạn. Thực hiện luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về đại số và
làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là phân
tích, tổng hợp tài liệu để làm rõ nội dung lí thuyết. Sau đó trình bày lại các tính chất
theo một hệ thống.
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
• Nhận đề tài.
• Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài.
• Lập đề cương chi tiết.
• Làm rõ các vấn đề mà đề tài hướng tới hoặc có liên quan đến đề tài.
4
Trang

(mod )a b mº
a đồng dư với b modulo m
( )n
ϕ
số các số nguyên dương không vượt quá n và
nguyên tố cùng nhau với n (hàm Euler)
q
F
trường có q phần tử
*
q
F
nhóm nhân các phần tử khác không của
q
F
( )K a
mở rộng đơn của trường K sinh bởi phần tử a
K F£
K là nhóm con của nhóm F
1 phần tử đơn vị của vành (nhóm)
ord( )a
cấp của phần tử a
1
a
-
(hay
1 a
) nghịch đảo của phần tử a
a
nhóm xyclic sinh bởi phần tử a

7
Trang
B. PHẦN NỘI DUNG
Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM
1.1 Nhóm con
1.1.1 Định nghĩa Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Khi đó H là nhóm
con của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là nhóm.
Khi H là nhóm con của G ta kí hiệu
H G≤

1.1.2 Tính chất
i) Cho H là tập con khác rỗng của nhóm G. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:
•
H G≤
•
1
, :
xy H
x y H
x H
−
∈

∀ ∈

∈

•

1 2
, ,...,
n
X x x x=
thì
X
được viết lại là
1 2
, ,...,
n
x x x
.
1.2.2 Tính chất
i) Cho G là một nhóm và
X G⊂
. Khi đó:
8
Trang
• Nếu
X
= ∅
thì
{ }
X e=
• Nếu
X ≠ ∅
thì
1 2
, ,... , ,
n i

.
• Nếu a có cấp hữu hạn là d thì
{ }
2 1
, , ,...,
d
a e a a a
−
=
.
• Nếu a có cấp hữu hạn là d thì d là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
d
a e=
. Nếu tồn tại n sao cho
n
a e=
khi và chỉ khi
d n
ii) Cho
G
là nhóm,
a G
∈
và
a n=
. Khi đó
( )
,
m
n

A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một
trường.
ii) Trường con
P
của
F
được gọi là trường con nguyên tố nếu thỏa các điều kiện
sau:
•
P
không chứa trường con nào của
F
khác
P
• Mọi trường con của
F
đều chứa
P
Khi
F P=
thì
F
được gọi là trường nguyên tố.
2.2.2 Tính chất
i) Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của trường X. Khi đó các điều
kiện sau là tương đương:
• A là trường con của X
•
, , , ,x y A x y A xy A x A∀ ∈ + ∈ ∈ − ∈
và

2.3.1 Đinh nghĩa
i) Giả sử X và Y là các vành. Ánh xạ
:f X Y→
được gọi là đồng cấu vành nếu
thỏa hai điều kiện sau:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x y f x f y
f xy f x f y
+ = +
=
với mọi
,x y X∈
10
Trang
Nếu
X Y=
thì đồng cấu
:f X Y→
được gọi là tự đồng cấu của X
ii) Cho đồng cấu vành
:f X Y→
. Khi đó:
f
là đơn cấu nếu ánh xạ
f
là đơn ánh
f
là toàn cấu nếu ánh xạ

2.4.2 Tính chất
i) Giả sử X là vành có đơn vị là 1 và có đặc số
0n >
. Khi đó:
• n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
.1 0n =
• Nếu X không có ước của không ( nói riêng X là miền nguyên, X là
trường) thì n là số nguyên tố.
ii) Nếu
arCh X p=
là một số nguyên tố thì:
( )
p
p p
a b a b+ = +

( )
p
p p
a b a b− = −
iii) Cho
F
là một trường và
P
là một trường con nguyên tố của nó. Nếu:
•
F
có đặc số 0 thì P đẳng cấu với Q
• F có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với
p

a
được gọi là hệ
tử cao nhất, phần tử
0
a
được gọi là phần tử tự do, các
( )
0,
i
a i n
=
được gọi là hệ tử,
các
( )
0,
i
i
a x i n
=
được gọi là hạng tử của đa thức.
3.1.2 Tính chất
Cho
( )
f x
và
( )
g x
là hai đa thức khác không, khi đó:
i) Nếu
( ) ( )

thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
{ }
deg degf ,degf x g x x g x+ ≤
iii) Nếu
( ) ( )
0f x g x ≠
thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
deg . deg degf x g x f x g x≤ +
iv) Cho K là trường và
( ) ( )
[ ]
( )
, , 0f x g x K x g x∈ ≠
. Khi đó, tồn tại duy nhất cặp
đa thức
( )
q x
và
( )
[ ]
r x K x∈
sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
.f x g x q x r x= +

với
0
n
a ≠
và
c K
∈
. Phần tử
( )
1
1 1 0
...
n n
n n
f x a c a c a c a
−
−
= + + + +
được gọi là giá trị của
( )
f x
tại c. Nếu
( )
0f c =

thì c được gọi là nghiệm của
( )
f x
. Tìm nghiệm của
( )

và m là số tự nhiên
( )
1m ≥
. c là một nghiệm bội cấp m của
( )
f x
nếu và
chỉ nếu
( )
f x
chia hết cho đa thức
( )
m
x c−
và
( )
f x
không chia hết cho đa thức
( )
1m
x c
+
−
.
Nếu
1m
=
người ta gọi c là nghiệm đơn,
2m
=

x c−
là
( )
f c
.
ii) Nếu
K
là một trường và
c K∈
,
( )
[ ]
f x K x∈
. Khi đó, c là nghiệm của đa thức
( )
f x
khi và chỉ khi
( )
f x
chia hết cho
x c−
.
iii) Các đa thức liên kết với đa thức
( )
[ ]
f x K x∈
là các đa thức có dạng
( )
af x
với

q
F x
p x
là một trường.
Thật vậy:
13
Trang
Lấy
( )
a x ∈
[ ]
( )
( )
q
F x
p x
và
( )
0a x ≠
suy ra
( ) ( )
p x a x
nên
( ) ( )
( )
gcd , 1p x a x =
. Khi đó tồn tại các đa thức
( ) ( )
[ ]
,c x d x F x∈

( )
( )
q
F x
p x
là trường.
vii) Cho
( )
1
1 1 0
...
n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + +
là đa thức bất khả quy trên trường K.
Khi đó tồn tại duy nhất ( sai khác một đẳng cấu) trường E sao cho:
• K là trường con của E
•
( )
f x
có nghiệm
θ
trong E
• Mọi phần tử
E
α
∈

ii) Cho đa thức
2
0 1 2
( ) [ ]
n
n
f x a a x a x a x K x= + + + + ∈L
, ta gọi đa thức sau đây là đạo
hàm của
( )
f x
:
1
1 2
( ) 2 .
n
n
f x a a x na x
−
′
= + + +L
14
Trang
3.3.2 Tính chất Cho trường K và một đa thức
( )
[ ]
0 f x K x≠ ∈
bậc n. Khi đó,
( )
f x

Khi đó,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
' ' '
.
k k k
f x x q x k x q x x x q x kq x
α α α α
− −
 
= − + − = − − +
 
Nếu
1k >
thì
α
là một nghiệm của
( )
'
f x
với bội số ít nhất là
1k −
.
Nếu
1k =
thì
( ) ( ) ( ) ( )
' '
f x x q x q x
α

là trường con của trường
L
thì ta nói
L
là một mở rộng của
K
và ký hiệu
K L<
hay
L K>
ii) Cho
K L<
, khi đó
L
có cấu trúc
K
- không gian
L
. Ta biết rằng mọi không
gian đều có cơ sở ( ta hiểu mỗi cơ sở của
K
- không gian
L
là một cơ sở mở rộng
L

trên
K
). Khi đó số chiều của
K

L K>
và
u L
∈
. Nếu tồn tại đa thức
( )
[ ]
0 f x K x≠ ∈
sao cho
( )
0f u =
thì
u
được gọi là phần tử đại số trên
K
. Nếu không tồn tại đa thức thỏa điều kiện như
vậy thì
u
được gọi là phần tử siêu việt trên
K
ii) Đa thức bất khả quy
( ) [ ]p x K x∈
với hệ tử của bậc cao nhất bằng 1, nhận
α
làm
nghiệm được gọi là đa thức tối tiểu của
α
trên K. Ta ký hiệu
( ) min( , )
α

các điều kiện sau đây xảy ra:
•
( ) ( ) ( )
{ }
/ , erK a r a r K x d r n= ∈ <
trong đó
( )
deg ,n Min K a=
•
{ }
2 1
1, , ,...,
n
a a a
−
là cơ sở của
( )
K a
trên K
•
( )
:K a K n  =
 
ii) Nếu
L K>
- hữu hạn thì
L K>
- đại số
iii) Cho
<K L

Nhưng Q là trường vô hạn nên trường con nguyên tố của
F
là vô hạn.(mâu thuẫn).
Vây đặc số của trường hữu hạn là một số nguyên tố
W
2.Nhóm nhân của trường hữu hạn
Định lí 2.2.1 Cho
q
F
là trường hữu hạn thì với mọi
q
a F
∈
ta đều có
q
a a
=
.
Chứng minh. Với
0a
=
thì ta có
q
a a=
. Với
0a
≠
thì số phần tử của nhóm nhân
*
q

.
W
Định lí 2.2.2 Cho trường hữu hạn
q
F
. Và
K
là trường con của
q
F
thì đa thức
q
x x−

trong
[ ]
K x
có sự phân tích trong
[ ]
q
F x
là
( )
q
a F
x x x a
∈
− = −
∏
và

. Khi đó mỗi đa thức
17
Trang
[ ]
, 1,2,...
i q
x a F x i q− ∈ =
đều là ước của đa thức
q
x x−
, hơn nữa các đa thức
[ ]
, 1,2,...
i q
x a F x i q− ∈ =
nguyên tố cùng nhau nên tích
1 2
( )( )...( )
q
x a x a x a− − −

cũng là ước của
q
x x−
. Do đa thức
1 2
( )( )...( )
q
x a x a x a− − −
có bậc là q nên ta có

1
1
m
m
h p p
αα
= K
, với
2m ≥
,
i
p
nguyên tố khác nhau đôi một,
i
α
∈
N,
mi ,1
∈∀
.
Khi đó,
h
p
h
i
<
và đa thức
1
i
h

. Ta sẽ chứng minh
i
ii
pb
α
=
. Ta có,
1
i
i
p
h
i i
b a
α
= =
và
1
i
b ≠
vì nếu
1
i
b =
thì
1
1
1
i
i

i i i i
b p
β
β α
= ≤ ≤
. Mặt khác,
1
1
i
i i
h
p p
i i
b a
α
−
= ≠
. Vì vậy,
i
ii
pb
α
=
. Đặt
1 2 n
b b b b= K
. Khi đó, do
i
p
, với