1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN MẠNH TIẾN

MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH CHÍNH V À ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Nghệ An – 12.2011


2

Mục lục
Trang
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Sự phân tích nhóm aben hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . .

4


38


3

Mở đầu
Mỗi nhóm aben có cấu trúc tự nhiên là một ¢ – môđun. Mặt khác vành
số nguyên ¢ là một vành chính. Vì vậy lý thuyết môđun trên vành chính có
thể áp dụng cho các nhóm aben. Tuy nhiên, do những đặc tính của vành cơ sở
¢ , ta có thể thu được những mô tả sâu sắc hơn cho lớp các môđun trên nó.

Cũng có thể nói khái niệm môđun là một mở rộng của khái niệm nhóm aben
và khái niệm không gian véctơ.
Dựa vào các tài liệu tham khảo, Luận văn trình bày một số kết quả về
phân tích nhóm aben hữu hạn sinh và một số kết quả về cấu trúc các môđun
trên vành chính. Lý thuyết về phân tích nhóm aben hữu hạn sinh có thể được
trình bày như một hệ quả của lý thuyết môđun trên vành chính. Tuy nhiên,
trong luận văn này, chúng tôi trình bày các kết quả về nhóm aben trước.
Chúng ta sẽ thấy rằng những kỹ thuật của nó có thể soi sáng cho những kỹ
thuật của lý thuyết môđun trên vành chính. Lý thuyết môđun trên vành chính
kế thừa được nhiều thành quả của lý thuyết nhóm aben. Các kết quả về
môđun trên vành chính trình bày trong luận văn được nhìn nhận từ các kết
quả về nhóm aben đã trình bày trước đó. Từ các kết quả về môđun trên vành
chính, chúng ta có thể nhận lại được các kết quả về nhóm aben hữu hạn sinh.
Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày lại
một số kết quả về nhóm aben hữu hạn sinh và một số kết quả về môđun trên
vành chính để từ đó thấy được lý thuyết nhóm aben hữu hạn sinh có thể được
trình bày độc lập nhưng cũng có thể được suy ra từ lý thuyết môđun trên vành
chính.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia


5

Chương 1. Sự phân tích nhóm aben hữu hạn sinh
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về cấu trúc
nhóm aben hữu hạn sinh, tức là lớp nhóm aben với một hệ sinh hữu hạn. Kết
quả chính là có thể biểu diễn mỗi nhóm aben hữu hạn sinh một cách duy nhất
dưới dạng tổng trực tiếp của những nhóm xyclic không phân tích được.

1.1. Sự phân tích các nhóm xyclic
1.1.1. Định nghĩa. Một nhóm aben X được gọi là không phân tích được nếu
X không thể biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm
thường.
1.1.2. Mệnh đề. Nhóm cộng ¢ các số nguyên là không phân tích được.
Chứng minh. Giả sử có biểu diễn ¢ = X ⊕ Y với X, Y là những nhóm con
không tầm thường của ¢ . Khi đó tìm được các phần tử khác không a ∈ X và
b ∈ Y . Vì X, Y là những nhóm con của ¢ , nên ab ∈ X ∩ Y . Nhưng điều này
trái với điều kiện X ∩ Y = { 0} . Vậy ¢ là nhóm không phân tích được.



1.1.3. Mệnh đề. Nếu p là một số nguyên tố và m là một số nguyên dương,
thì nhóm cộng ¢ pm các số nguyên môđun pm là không phân tích được.
Chứng minh. Giả sử ¢ pm = X ⊕ Y là một phân tích của ¢ pm thành tổng
trực tiếp của những nhóm con không tầm thường. Khi đó tồn tại hai số
nguyên dương s, t nhỏ hơn m sao cho X , Y là những nhóm xyclic được sinh
s t
theo thứ tự bởi p , p . Bây giờ tùy theo s ≤ t hay s > t mà ta sẽ có X ⊇ Y hay
X ⊂ Y . Và như vậy thì điều kiện X ∩ Y = { 0} không thể xảy ra, mâu thuẫn. 


p r−1
1
1
r−1
r−1
1.1.6. Nhận xét. Ta biết rằng, chỉ có hai loại nhóm xyclic là nhóm xyclic cấp
vô hạn (mọi nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số
nguyên ¢ ) và nhóm xyclic cấp hữu hạn (mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp m đều
đẳng cấu với nhóm cộng ¢ m các số nguyên môđun m). Từ những kết quả trên
ta suy ra rằng chỉ có hai loại nhóm xyclic khác 0 không phân tích được là
nhóm nhóm xyclic vô hạn và nhóm xyclic nguyên sơ. Mọi nhóm nhóm xyclic
hữu hạn khác 0 đều phân tích được thành tổng trực tiếp của những nhóm
xyclic nguyên sơ.
1.2. Môđun tự do và nhóm aben tự do
1.2.1. Định nghĩa. (i) Cho M là một R − môđun. Một tập { xi } i∈I , xi ∈ M
được gọi là một hệ sinh của M nếu với mọi phần tử x ∈ M đều là tổ hợp
tuyến tính trên R của hệ { xi } i∈I , nghĩa là với mọi x ∈ M thì
x = ∑ ai xi , a ∈ R, J ⊆ I , J < ∞ .
i
i∈J

(ii) Nếu M có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M được gọi là
môđun hữu hạn sinh.
1.2.2. Định nghĩa. Tập con S của một R − môđun M được gọi là một tập


7

độc lập tuyến tính, nếu từ mỗi đẳng thức r1 x1 + L + rn xn = 0 với x1 , K , xn ∈ S
đôi một khác nhau, ta rút ra r1 = L = rn = 0 . Nếu trái lại thì S được gọi là một

hai cơ sở bất kì của một không gian vectơ có cùng lực lượng nên để chứng

{ }

minh Định lý, ta chỉ cần chứng tỏ rằng xi i∈I là một cơ sở của R/m-không

{ }

gian vectơ M/mM. Rõ ràng xi i∈I là một hệ sinh của M/mM, ta còn phải
chứng minh nó độc lập tuyến tính. Giả sử có đẳng thức ∑i∈I ai xi = 0 với
ai ∈ R bằng 0 với tất cả, trừ ra một số hữu hạn i ∈ I . Khi đó ∑i∈I ai xi ∈ mM ,
vì vậy tìm được các bi ∈ m, bằng 0 với hầu hết i ∈ I

sao cho

∑ ax = ∑ bx
i∈I i i i∈I i i .

{ }

Do xi i∈I là một cơ sở của M, điều đó dẫn đến ai = bi , tức là ai = 0 với

{ }

mọi i ∈ I . Vậy họ xi i∈I độc lập tuyến tính, và chứng minh của Định lý
được hoàn thành.



Chú ý rằng kết quả trên có thể không đúng nếu R là vành không giao

÷


}

Ngược lại, giả sử M có một cơ sở là S = si i ∈ I , khi đó do S là hệ sinh độc
lập tuyến tính của M, mỗi phần tử x ∈ M biểu diễn được duy nhất dưới dạng
x = a s + ... + a s

i i
1 1

in in với

ai ∈ R, si ∈ S, j = 1,..., n
j
j

khi

đó

dẫn

đến

M = ⊕i∈I Rs . Bây giờ ta nhận thấy rằng với mỗi i ∈ I , toàn cấu R-môđun
i

µi : R → Rsi


}

{

}

tại một cơ sở S = u1,...., un của F và một cơ sở T = v1,....., vm của G sao
cho vi = tiui với i = 1,..., m trong đó t1,....., tm là những số nguyên dương thỏa
mãn ti chia hết ti+1 với mọi i = 1,..., m − 1 .
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n . Với n = 0 , định lý đúng
một cách hiển nhiên. Giả sử n > 0 và định lý được chứng minh khi n được
thay bằng n − 1 . Ta loại trừ trường hợp tầm thường G = 0 và coi G ≠ 0 .

{

}

Giả sử V = y1,..., yn là cơ sở của F . Khi đó mỗi phần tử g ∈ G điều
biểu diễn được duy nhất dưới dạng g = k1 ( g ) y1 + .... + kn ( g ) yn với
ki ( g ) ∈ ¢, i = 1,..., n . Và gọi k ( g ) là số nguyên dương nhỏ nhất trong tất cả các

{

}

số nguyên dương của tập k1 ( g ) ,...., kn ( g ) . Với mỗi cơ sở V của F , ta đặt
k ( V ) = min { k ( g ) g ∈ G} . Gọi ℑ là tập hợp tất cả các cơ sở của G và gọi
t = min { k ( C ) / C ∈ℑ} . Khi đó tồn tại v1 ∈ G và một cơ sở U sao cho t1 là
1


11

{

}

U ' = u , x ,..., xn là một cơ sở của F mà theo cơ sở đó ta có
1 2
v = t u + r x + ... + rn xn . Vì 0 ≤ r < t ( i = 2,...., n ) , nên từ cách xác định t
1 11 2 2
1
i 1
ta suy ra ri = 0 với mọi i = 2,...., n . Vậy v1 = t1u1 .
Bây giờ gọi H là nhóm con của F sinh bởi các phần tử x2 ,..., xn . Rõ
ràng H là nhóm aben tự do hạng n − 1 . Đặt K = H ∩ G . Theo giả thiết quy
nạp, K là một nhóm aben tự do hạng r ( K ) ≤ n − 1 . Giả sử r ( K ) = m − 1 . Vẫn

{

}

theo giả thiết quy nạp, tồn tại một cơ sở u2 ,...., un của H và một cơ sở

{ v2 ,...., vm }

của K sao cho vi = tiui ( i = 2,..., m ) , trong đó t2 ,...., tm là những

số nguyên dương và ti chia hết ti+1 với mọi i = 2,....., m − 1 .
Gọi J là nhóm con xyclic của F sinh bởi v1 và I là nhóm con xyclic

}

{

}

Dễ thấy S = u1,..., un là một cơ sở của F và T = v1,...., vm là cơ sở
của G. Để hoàn thành chứng minh của định lý, ta còn phải chỉ ra rằng t1 chia
hết t2 . Giả sử t2 = t1q0 + r0 , 0 ≤ r0 < t1 . Xét phần tử u '1 = u1 − q0u2 . Khi đó

{ u '1, u2 ,..., un} cũng là một cơ sở của

F, và đối với cơ sở này, phần tử

( )

v − v ∈ G có biểu diễn v − v = −t u ' + r u . Vì 0 ≤ r0 < t1 , nên theo cách
2 1
2 1
1 1 0 2
chọn của t1 ta rút ra r0 = 0 , tức là t1 chia hết t2 .



1.3. Sự phân tích của nhóm aben hữu hạn sinh
1.3.1. Mệnh đề. Mọi nhóm aben hữu hạn sinh đều phân tích được thành tổng
trực tiếp của các nhóm con xyclic.
Chứng minh. Giả sử nhóm aben B có tập sinh gồm n phần tử. Khi đó B đẳng
cấu với nhóm thương Fn / A của nhóm aben tự do hạng n. Trong đó các nhóm



đều thuộc

A . Từ đó suy ra rằng nếu phần tử

t e + t e + ... + tne n + A bằng 0 trong Fn / A thì mỗi hạng tử tiei + A đều
11 2 2
bằng 0 trong đó ta có Fn / A ≅ ⊕ ei + A .



1.3.2. Mệnh đề. Mọi nhóm aben sinh bởi n phần tử đều đẳng cấu với tổng
trực tiếp của n nhóm xyclic có cấp lần lượt là t1,...., tn , trong đó
1 ≤ t ≤ .... ≤ tn ≤ ∞ và ti chia hết t
t
1
i+1 với mọi i mà i+1 hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử X là một nhóm aben sinh bởi n phần tử. Khi đó tồn tại
một nhóm aben tự do F hạng n và một nhóm con G của F sao cho X đẳng
cấu với nhóm thương F / G . Bởi Định lí 1.2.11, G là một nhóm aben tự do

{

}

hạng r ( G ) = m ≤ n , đồng thời tồn tại một cơ sở S = u1,..., un của F và một

{

}


phần tử của G , ta ký hiệu ο ( a ) là bậc của a . Giả sử S = a1,..., an ∈Ω . Ta có

( ) ( )

thể đánh số lại để lúc nào cũng có ο a1 ≤ ο a2 ≤ ... ≤ ο ( an ) .
Ta xây dựng trên Ω một quan hệ thứ tự toàn phần “ ≤ ” theo kiểu từ

{

điển như sau: Cho X = b1,..., bn

}

là một phần tử khác của Ω với

( ) ( )

ο b1 ≤ ο b2 ≤ ... ≤ ο ( bn ) . Ta nói S ≤ X khi và chỉ khi tồn tại một số tự nhiên

( ) ( )

(

) (

) ( ) ( )

i với 1 ≤ i ≤ n , sao cho ο a1 = ο b1 ,....,ο ai−1 = ο bi−1 ,ο ai = ο b i .
Bây giờ, giả sử hệ sinh S đã chọn ở trên là phần tử cực tiểu trong tập hợp

G = a ,..., a , b j ,..., bn , trong đó b j = k j a j + k j +1a j+1 + ... + knan .
1
j −1
Thật vậy, nếu k = 1 thì kết luận trên là hiển nhiên. Với k > 1 , phải có ít
nhất hai số trong những số nguyên tố cùng nhau k j ,..., kn là khác không,
chẳng hạn bằng cách đánh số lại ta có thể cho k j và k j+1 cùng khác không.
Từ đó ta suy ra k j + k j +1 < k j hoặc k j − k j +1 < k j .
Giả sử k j + k j +1 < k j , từ đây kéo theo k j + k j +1 + k j +1 + ... + kn < k
. Vậy, áp dụng giả thiết quy nạp theo hệ số nguyên tố cùng nhau

{ k j + k j+1,k j+1,..., kn}

đối

{ a1,..., a j−1, a j , a j+1 − a j , a j+2,..., an}
{

}

S ' = a ,..., a , b j ,..., bn của G , mà
1
j −1

với

hệ

sinh

mới





n
tiểu của S . Vậy ta phải có G = ⊕ ai .
i=1



Giả sử X là một nhóm aben hữu hạn sinh. Khi đó nhóm con xoắn τ ( X ) của X
là nhóm con gồm tất cả những phần tử có cấp hữu hạn của X. Nếu
X = X1 ⊕ ... ⊕ Xn

(*)

là một phân tích của X thành tổng trực tiếp của những nhóm xyclic không
phân tích được thì dễ thấy rằng τ ( X ) chính là tổng trực tiếp của các hạng tử
nguyên sơ, còn nhóm thương X/τ ( X ) là tổng trực tiếp của những hạng tử
xyclic cấp vô hạn trong phân tích đó. Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau.
1.3.4. Hệ quả. Nếu X là một nhóm aben hữu hạn sinh thì
(i) X = τ ( X ) ⊕ F , trong đó F là một nhóm con aben tự do của X .
(ii) X là một nhóm aben tự do nếu và chỉ nếu τ ( X ) = 0 .
Bây giờ ta xét nhóm aben hữu hạn sinh X và (*) là một phân tích của X
thành tổng trực tiếp các nhóm xyclic không phân tích được. Các kết quả tiếp
theo sẽ chứng tỏ rằng phân tích dạng này của X là duy nhất sai khác một đẳng
cấu.
Với mỗi số nguyên tố p, kí hiệu Cp(X) là tập tất cả các phần tử của X có
cấp là một lũy thừa của p và gọi là thành phần p-nguyên sơ của X. Dễ thấy


p − nguyên sơ C p ( X ) của X một cách đẳng cấu lên thành phần p − nguyên
sơ C p ( X ) của Y . Do vậy, ta có thể coi X và Y là những nhóm p − nguyên


18

sơ, tức là X = C p ( X ) và Y = C p ( Y ) . Khi đó cấp của các nhóm Xi và Y j là

β
α
những lũy thừa của p, giả sử Xi = p i và Y = p j . Theo định nghĩa của
j
phân tích tiêu chuẩn, ta có α1 ≥ ... ≥ α n ≥ 1; β1 ≥ ... ≥ β m ≥ 1 . Ta chứng minh
rằng m = n và αi = βi với mọi i = 1,..., n .
Kí hiệu N p ( X ) và N p ( Y ) lần lượt là các nhóm con của X và Y sinh bởi các
phần tử có cấp p . Khi đó N p ( X ) có cấp pn và N p ( Y ) có cấp pm . Vì

(

)

h N p ( X ) = N p ( Y ) , nên ta phải có pn = pm , hay n = m .
Bây giờ giả sử tồn tại k ∈{ 1,...., n} sao cho α k ≠ βk . Giả thiết thêm rằng k là
số nhỏ nhất có tính chất đó, tức là αi = βi với mọi i < k . Và không làm mất

α
α
tính tổng quát ta có thể giả sử α k < βk . Gọi C = p k X và D = p k Y tương

α



19

1.3.7. Định nghĩa. Cho một nhóm aben hữu hạn sinh X . Khi đó cấp của các
hạng tử xyclic nguyên sơ trong phân tích tiêu chuẩn của X được gọi là các
bất biến nguyên sơ của X .
Như vậy, hai nhóm aben hữu hạn sinh có cùng hạng và cùng bất biến
nguyên sơ thì đẳng cấu.
1.3.8. Bổ đề. Giả sử G và H là hai nhóm hữu hạn có cấp là a và b theo thứ
tự. Khi đó G ⊕ H là một nhóm xyclic nếu và chỉ nếu G và H là các nhóm
xyclic và a, b nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh. Vì G và H là hai nhóm hữu hạn có cấp là a và b nên tổng trực
tiếp của hai nhóm xyclic được xem như là tích trực tiếp của G và H .
Giả sử G = x có cấp là a và H = y có cấp là b với ( a, b ) = 1 . Ta sẽ
chứng minh rằng G × H là nhóm xyclic sinh bởi phần tử ( x, y ) . Vì G có a
phần tử và H có b phần tử nên G × H có ab phần tử hay cấp của G × H bằng

)
) (
k
k k
k
Nếu ( x, y ) = ( eG , eH ) thì ( x , y ) = ( eG , eH ) ⇒ x = eG và y k = eH .

ab . Ta có: ( x, y )

ab

(

x k , yl

)

là

(

bội

chung

) (

nhỏ

= x kM , ylM = eG , eH

)

nhất

của

a

và

⇒ M chia hết cho cấp của x k , yl hay


nguyên

{

sơ

của

X

với

}

αi1 ≥ ... ≥ αil ≥ 1, i = 1,...., k . Đặt N ( X ) = l = max l / 1 ≤ i ≤ k , và với mỗi i
i
i
có

li < l

ta bổ sung thêm

αil = ... = αil = 0 . Bây giờ giả sử
i+1

τ ( X ) = Y1 ⊕ ... ⊕ Ym là một phân tích tùy ý của τ ( X ) , trong đó các Yi là các
nhóm xyclic cấp ri chia hết r i+1 với i = 1,...., m − 1 . Ta cần chỉ ra rằng
m = N ( X ) = l và có các đẳng thức sau


k
τ ( X ) là một nhóm xyclic cấp t1 , nên bởi Bổ đề 1.3.8 trên thì

τ ( X ) ≠ U1 ⊕ ... ⊕ Ud ,
trong đó d > 1 còn các Ui là các nhóm con xyclic cấp hi > 1 và hi chia hết
h
i+1 với i = 1,..., d − 1 . Do đó trong trường hợp này τ ( X ) là thành phần duy
nhất trong phân tích, chứ không có một phân tích nào khác nhiều hơn một
thành phần, thỏa mãn tiêu chí đặt ra trong định lý. Như vậy m = 1 = N ( X ) và
kết quả đúng với N ( X ) = 1 . Giả sử kết quả đúng cho nhóm aben Y có
N ( X ) = l − 1 , ta cần chứng minh nó đúng cho cả nhóm aben X có N ( X ) = l .
Nhận xét rằng nếu τ ( X ) = Y1 ⊕ ... ⊕ Ym , trong đó các Yi là các nhóm xyclic
cấp ri và ri chia hết ri+1 với mọi i = 1,..., m − 1 , thì rõ ràng rm là số mũ của

τ ( X ) (tức là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cấp của mọi phần tử của
τ ( X ) ).

Do

đó

ta

rút

ra

ngay

α

...
...
α
α
r = p 1m ... p km
l 1
k
Như vậy là

α
α
rm = p 11... p k1,
1
k
α
α
r
= p 12 ... p k 2 ,
m−1 1
k
.. ...
...
α
α
r = p 1m ... p km
l 1
k
Quy nạp đã hoàn thành. Từ kết quả vừa chứng minh ta rút ra rằng
n = l = N ( X ) và




23

Chương 2.

Môđun trên vành chính


24

Trong chương này chúng tôi trình bày về môđun trên vành chính. Các
kết quả trong chương này được nhìn nhận từ các kết quả về nhóm aben đã
trình bày ở Chương 1. Mặt khác từ các kết quả ở chương này, chúng ta có thể
suy ra các kết quả tương ứng ở Chương 1 như những hệ quả.

2.1. Môđun tự do trên vành chính
Với một môđun tự do trên vành R bất kỳ thì môđun con của nó chưa hẳn
đã là môđun tự do. Chẳng hạn, xét vành R = ¢ 6 thì R là một ¢ 6 − môđun tự
do. Gọi M là ¢ 6 − môđun sinh bởi phần tử 2 thì M là môđun con của R
nhưng M không phải là môđun tự do vì không có cơ sở do mọi x ∈ M thì
x = n.2 nên 3.x = n.3.2 = 0 .
Tuy nhiên nếu R là một vành chính thì ta có kết quả sau.
2.1.1. Định lý. Cho R là một vành chính, khi đó mọi môđun con của một R −
môđun tự do là một R − môđun tự do.
Chứng minh. Giả sử F là một môđun tự do trên vành chính R . Khi đó tồn tại
tập chỉ số I sao cho F ≅ R ( I ) .
Theo Nguyên lý Zermelo, ta có thể trang bị cho I một thứ tự tốt. Bởi vậy,
ta luôn coi F = R ( I ) với I là tập sắp thứ tự tốt. Giả sử M là một môđun con
khác môđun con 0 của F và { ei } i∈I là cơ sở tự nhiên của F . Ký hiệu Fi là

Theo giả thiết quy nạp x − α bi ∈ Span { b j } j ≤k ⊂ Span { b j }

(

Span { b j }

j ≤i

)

(

suy ra Span { b j }

j ≤i

) =M

i

j ≤i

) . Dẫn đến

x∈

với mọi i ∈ I . Tiếp theo ta chứng

minh họ { bi } i∈I sinh ra M . Dễ thấy mỗi phần tử y ∈ M đều có thể viết ở
dạng y = α1ei1 + α 2ei2 + L + α neim với i1 < i2 < L < im . Do vậy y ∈ Fim và vì thế