1 B
Ộ

GIÁO D
Ụ
C VÀ ĐÀO T
Ạ
O

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
B
Ộ

GIÁO D
Ụ
C VÀ ĐÀO T
Ạ
O

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN PHƯƠNG HÀ
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA
KHÔNG GIAN CAT(

)
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích.
Mã số: 60.46.01
) 12

Chương 2: Điểm bất động của ánh xạ không giãn
và ánh xạ Lipschitz đều trong không gian
( )
CAT


2.1. Định lý W.A.Kirk trong không gian
( )
CAT

15

2.2. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian
( )
CAT

23
Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 33
4
Bảng ký hiệu sử dụng trong luận văn
1.

6.
( )
r C
: Bán kính Chebyshev của tập C.
7.
( )
d C
: Đường kính của tập C.
8.

( )
N X
: Hệ số cấu trúc chuẩn tắc.
9.
( )
X
 
: Môđun lồi đều của không gian Banach X.
10.
0
( )
X

: Đặc trưng lồi của gian Banach X.
11.
( )
X

: Đặc trưng Lifschitz của không gian mêtric X.
12.

).
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng
tôi mở rộng một số kết quả về tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn và
ánh xạ Lipschitz đều sang không gian CAT(

).
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô trong Bộ môn
Lý thuyết hàm, Khoa Toán- Tin, trường ĐHSP Hà Nội. Đặc biệt là TS
Nguyễn Văn Khiêm đã có những hướng dẫn quan trọng và chỉ bảo tận tình tôi
trong quá trình làm và hoàn thiện luận văn.
6

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô phản biện đã đọc
và đã có những đóng góp quý báu cho luận văn hoàn thiện hơn và bảo vệ
được thành công.
Hà nội, tháng 9 năm 2011
Tác giả TRẦN PHƯƠNG HÀ


a b


vào
X
. Khi đó ta gọi ảnh
([a,b])

là một
đường cong trong
X
và

là một biểu diễn tham số của đường cong.
Giả sử
:[ , ] X
a b


là một đường cong trong
X
. Độ dài của đường
cong

được định nghĩa như sau
8 1
1

a x


và
( )
b y



được gọi là đường cong nối từ điểm
x
tới
y
. Khoảng cách nội tại giữa hai
điểm
,
x y X

được xác định như sau

( , ) inf{L :
i
d x y



là đường cong trong
X
nối
x

hay không gian độ dài.
Một đường cong
:[ , ] X
a b


nối hai điểm
,
x y X

được gọi là đường
ngắn nhất nếu
( , ) ( , )
i
L d x y d x y

 
. Một đường trắc địa trong
X
nối từ
điểm
x
tới
y
là một đường cong ngắn nhất
:[ , ] X
a b


nối từ điểm

[ , ]
x y
.
9

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử
( , )
X d
là một không gian mêtric. Khi đó :
(i).
X
được gọi là một không gian trắc địa nếu với 2 điểm bất kỳ
,
x y X


đều có một đường trắc địa trong
X
nối
x
với
y
.
(ii).
X
được gọi là không gian trắc địa duy nhất nếu 2 điểm bất kỳ
,
x y X



 
, không gian mêtric
( , )
X d
là không gian
D

trắc địa
nếu với hai điểm bất kỳ
,
x y X

mà khoảng cách
( , )
d x y D

luôn
có một đường trắc địa trong
X
nối
x
với
y
.

1.2 Tập lồi và bao lồi trắc địa

Giả sử
( , )
X d

Với mỗi tập con
Y
của không gian trắc địa
( , )
X d
, bao lồi (trắc địa )
của
Y
được xây dựng bằng quy nạp như sau: Ký hiệu
1
( )
G Y
là hợp của tất
cả các đoạn thẳng trắc địa có hai đầu mút thuộc
Y
. Với
1,2, ,
n

đặt
1 1
( ): ( ( ))
n n
G Y G G Y


. Bao lồi trắc địa của
Y
là tập


vecto
n

được trang bị tích vô hướng :

1
,
n
i i
i
x y x y




trong đó
1 2
( , , , )
n
n
x x x x 

và
1 2
( , , , )
n
n
y y y y 

. Tích vô hướng

n


:1
{ : 1}
n n
E
S x x

  

.
11

Với hai điểm ,
n
x y S

không đối tâm có duy nhất một mặt phẳng (2-
phẳng) đi qua ba điểm
0, , (0
x y
là điểm gốc). Giao của mặt phẳng này với
mặt cầu
n
S
là một đường tròn lớn đi qua hai điểm

1
1
cos ( , ) ,
n
S i i
i
d x y x y x y


 


1 2 1
( , , , ) ,
n
n
x x x x S

  
1 2 1
( , , , ) .
n
n
y y y y S

   Hơn nữa
S
d
là một
mêtric trên

nối
x
với
y
.
(ii) Trong không gian
( , )
n
S
S d
, mọi hình cầu có bán kính nhỏ hơn
2


đều là tập lồi trắc địa.
(iii) Trong không gian
( , )
n
S
S d
, bất kỳ tam giác cầu (có các cạnh là
các đường trắc địa) ABC đều thỏa mãn luật cosine
cos cos cos sin sin cos
c a b a b C
 
,
12

trong đó
( , ), ( , ), ( , )

n n j j
j
x y x y x y
 

  


Trong đó
1
1 2 1
( , , , )
n
n
x x x x


 

và
1
1 2 1
( , , , )
n
n
y y y y


 


  .
Ta kiểm tra được
H
d
là một mêtric trên
n
H
. Không gian Mêtric


,
n
H
H d
được gọi là không gian Hyperbolic thực n - chiều. Trong không
gian


,
n
H
H d
, bất kỳ hai điểm ,
n
x y H
 đều được nối nhau bởi một
đường trắc địa duy nhất có dạng
( ) (cosh ) (sinh) ,
t t x u


(iii) Trong không gian


,
n
H
H d
, bất kỳ tam giác trắc địa ABC đều
thỏa mãn luật cosine hyperbolic:
cosh cosh cosh sinh sinh cos
c a b a b C
 
,

trong đó
( , ), ( , ), ( , )
H H H
a d B C b d C A c d A B
  
là độ dài các cạnh và
C
là góc tại đỉnh
C
của tam giác ABC.
1.3.3. Không gian
n
M


Định nghĩa 1.3.1. Với

S
được trang
bị khoảng cách
1
( , ) ( , ),
S
d x y d x y



,
n
x y S

.
(iii) Nếu
0


thì không gian
0
n
M
chính là không gian
n
H
trang
bị khoảng cách
1
( , ) ( , ),

lồi trắc địa. Nếu
0


thì các hình cầu trong
n
M

với các bán kính nhỏ
hơn
2


đều là tập lồi trắc địa. 1.4 Không gian CAT(

)
1.4.1. Tam giác so sánh
Với



ta ký hiệu
D

là đường kính của không gian mô hình
2
M

x x

2 3
[ , ],
x x

3 1
[ , ],
x x
tương ứng là các đoạn thẳng trắc địa trong nối
1
x
với
2
x
,
2
x
với
3
x
,
3
x
với
1
x
. Khi đó tam giác với 3 đỉnh
1
x

x x x x x x
P L L L D

    

15

thì tồn tại (duy nhất sai khác một phép đẳng cự) một tam giác
1 2 3
( , , )
x x x

 trong không gian
2
M

có các đỉnh là
1 2 3
, ,
x x x
và các cạnh là
các đoạn thẳng trắc địa
1 2
[ , ],
x x
2 3
[ , ],
x x
3 1
[ , ]



, 1,2,3
i j
 
.
Do tính chất trắc địa nên mỗi cạnh của tam giác
1 2 3
( , , )
x x x


đều đẳng cự
với cạnh tương ứng của tam giác
1 2 3
( , , )
x x x

 . Do đó, với mỗi điểm
z

thuộc cạnh
[ , ]
i j
x x
của tam giác
1 2 3
( , , )
x x x


( , , )
x x x

 được gọi là so sánh của tam giác
1 2 3
( , , )
x x x

.
Định nghĩa 1.4.1. Tam giác
1 2 3
( , , )
x x x

được gọi là thỏa mãn bất đẳng
thức
( )
CAT


(hay

- mỏng) nếu với hai điểm bất kỳ
1 2 1 2 3
, ( , , )
z z x x x


và
1 2 1 2 3

- trắc địa và tất cả các tam giác trong X với chu vi
nhỏ hơn 2
D

đều thỏa mãn bất đẳng thức
( ).
CAT


Khi
0


thì các không gian
(0)
CAT
được đặc trưng bởi bất đẳng thức
đường trung tuyến.
Bổ đề 1.4.1. Giả sử
( , )
X d
là một không gian mêtric trắc địa. Khi đó X
có độ cong
0

nếu và chỉ nếu X là không gian trắc địa duy nhất và đồng
thời với bất kỳ 3 điểm
1 2 3
, ,
x x x X
17
Chương 2
Điểm bất động của ánh xạ không
giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong
không gian
( )

CAT

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả gần đây về
điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong không
gian
( )
CAT

.
2.1 Định lý W.A.Kirk trong không gian
( )
CAT

.
Ký hiệu
( )
d C
trong định nghĩa trên là đường kính của tập C và được xác
định bởi



( ) sup : ,
d C x y x y C
  
.
Để đo mức độ chuẩn tắc của không gian Banach, W.Bynum [5] đã đưa
ra hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach.
Giả sử
C
là một tập con lồi, đóng, bị chặn (khác rỗng) của không gian
Banach
X
. Với
z X

ta ký hiệu :

( ) sup
z
x C
r C x z


.
Định nghĩa 2.1.1. Hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach
X

là
số

( )
N X
được xác định như sau


( )
( ) sup ,
( )
r C
N X
d C
 

 
 

19

trong đó supremum lấy theo tất cả các tập
C
là tập con lồi, đóng, bị chặn
của
X



(ii)
{x} x X,

  

(iii) Họ  ổn định với phép giao tùy ý, tức là nếu

 
thì
C
C





.
Khi  là một cấu trúc lồi trên
X
thì bao lồi (hay  - bao ) của một tập
con trong
A
trong
X
xác định như sau




cả các tập lồi trắc địa của
X
. Trong các không gian
CAT( )

ta luôn xét
cấu trúc lồi  là cấu trúc lồi trắc địa.
Nếu
( , )
X d
là một không gian
CAT( )

thì mọi hình cầu đóng với bán
kính
2


D
r đều là tập lồi trắc địa. Do đó, nếu
X
là một không gian
CAT( )


bị chặn với bán kính ( )
2
D
r X


là tập con lồi, đóng, bị chặn
của
X
với đường kính
( ) 0
d C

.
Để thiết lập đánh giá chặn trên cho cấu trúc chuẩn tắc

( )
N X
cho các
không gian
( )
CAT

ta cần đến kết quả sau đây của U.Lang và
V.Schroeder.
Định lý 2.1.1. (Lang-Schroeder [15], [16]). Giả sử
X
là một không gian
( )
CAT


đầy đủ và
C
là một tập con lồi, đóng của
X

( )
d r

xác định bởi

1
1
2 r 0
2
d r 2r 0
1
2 r 0
2

 


 



 






 


neáu
neáu
neáu
arcsin sin( . )
( )
sinh sinh( . )

Từ kết quả của Lang và Schroeder ta suy ra
Định lý 2.1.2. Giả sử
X
là một không gian
( )
CAT

đầy đủ, bị chặn với
bán kính ( ): 0,
2

 


 




 
D
r X R . Khi đó, với cấu trúc lồi trắc địa,
X

( , . )
X
. Khi đó, nếu
:
T C C

là một ánh xạ không giãn, tức là

,
Tx Ty x y x y C
    
.
22

thì
T
có điểm bất động trong
C
tức là tồn tại một điểm
0
x C

sao cho

0 0
.
Tx x

Để mở rộng định lý W.A.Kirk sang không gian
( )

1
Ø.

Chứng minh .


1
n
n
C

là dãy giảm, các tập con, lồi, đóng, khác rỗng của
C
thì
0 1
n
d(C ) , n
  
và theo định lý U.Lang - V.Schroeder
1 1
n
n n n
n
r( C )
d(C ) r r( C ), n ,
d( C )
      

Đặt



1
n
n
C

là dãy giảm


1
n
n
A( C )


là dãy giảm
23

Đặt
0
n n
C C

ta xây dựng dãy


1
1
n
n

n n
d( C ) k.d(C )


Thật vậy giả sử
q p n
  

mà
0 0
p q
x A(C ),y A( C )
 
do


0
1
n
n
C

là dãy giảm
0
p
y A(C )
 

0 0 0
x p p n

 
 
 

với
1 0i i i
n p n
d( C ) k.d( C ) k .d( C )

  

0
i
n
d(C )
 
khi
i ,
 
với mỗi
1
n


24

Chọn dãy đường chéo


1

C C .

 
  
 Định lý 2.1.5. Giả sử
X
là một khơng gian
( )
CAT

đầy đủ và
C
là một
tập đóng, lồi, trắc địa trong
X
với bán kính
( )
2
D
r C


. Khi đó, nếu
:
T C C

là một ánh xạ khơng giãn thì

vì
C .

 

Đưa vào trong

quan hệ
" "

như sau:
Với
1 2 1 2 1 2
K ,K , K K K K .
   


Ta sẽ chứng minh họ
( , )


thỏa mãn giả thiết của bổ đề Zorn.
25

Giả sử


K : I



hiển nhiên
K K I


  


Họ


K : I



có cận trên trong

. Áp dụng Bổ đề Zorn, họ
( , )



có 1 phần tử tối đại. Gọi
0
K
là phần tử tối đại của
( , )


thì
0



0 0 0 0
T conv(T(K )) T( K ) conv(T(K )) K
  

0
conv(T(K ))

cũng là tập lồi, đóng chứa trong
0
K
và bất biến dưới
T
.
Do tính cực tiểu của
0
K
0 0
conv(T( K )) K .
 

Bước 3: Xét
0 0
T :K K


Gọi
0
u K