BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ VĂN QUYỀN

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
, x − y) ≥ 0.
G ⊂ E × E
∗
T : E ⇒ E
∗
•
•
class="bi x1 y2f w2 hb"
X
C ⊆ X x, y ∈ C (x, y) ⊆ C
(x, y) := {z = λx + (1 − λ)y : λ ∈ (0, 1)}
x, y ∈ C λ ∈ (0, 1) λx + (1 − λ)y ∈ C
A ⊆ X A
A A
A
A = {x|x A}
C C = C
A ⊆ X |λ| ≤ 1
λA ⊆ A A = −A A = ∅ 0 ∈ A
A, B ⊆ X α ∈ R A+B, αA
E C E
C C C\E E
C C
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) : (λx + (1 − λ)y ∈ E =⇒ x, y ∈ E).
C C
E = {¯x} ¯x
C C
ext(C) C
L ext(C) = L C
L C

m
dim X = n < ∞ A ⊆ X
x ∈ A x n + 1
A {a
0
, a
1
, , a
m
} ⊆ A m ≤ n
λ
0
, , λ
m
≥ 0
m

i=0
λ
i
= 1 x =
m

i=0
λ
i
a
i
.
X

||.
A B X
f A B
f(a) ≤ f(b) ( f(a) ≥ f(b)), ∀a ∈ A, b ∈ B.
α ∈ R
f(a) ≤ α ≤ f(b), ∀a ∈ A, b ∈ B.
H(f; α) := f
−1
(α) = {x ∈ X : f(x) = α}
A B B B = {x
0
}
H(f; α) A x
0
H(f; α)
A ⊆ X A
H
+
(f; α) := {x ∈ X|f(x) ≥ α}; H
−
(f; α) := {x ∈ X|f(x) ≤ α}.
H(f; α) A B
A ⊆ H
−
(f; α) B ⊆ H
+
(f; α)
f(a) = f(b) = α a ∈ A b ∈ B
H(f; α) A B H(f; α)
A B A B

X
C x
0
A B
A ∪ B = ∅
A B
(C
i
)
1≤i≤m
C
m+1
m+1

i=1
C
i
= ∅.
f
i
, 1 ≤ i ≤ m + 1
f
1
+ f
2
+ + f
m+1
= 0
f
1

X  · 
X X
∗ ∗
X
∗
w
∗
X X
∗
B
X
B
X
∗
A : X → Y
A
∗
x ρ B
ρ
(x)
Ω ⊂ X Ω
Ω Ω Ω ⊂ X ¯x ∈ Ω
U ¯x Ω ∩ clU
Ω ⊂ X ¯x ∈ Ω ε  0
Ω ¯x

N(¯x; Ω) :=

x
∗

| lim inf
x→¯x
f(x) − f(¯x) − x
∗
, x − ¯x
x − ¯x
 0

.
f ¯x
f ¯x
F : X ⇒ Y D(F ) := {x ∈ X :
F (x) = ∅} = ∅ (x, y) ∈ X×Y
F (x, y)

D
∗
F (x, y) : Y
∗
⇒ X
∗

D
∗
F (x, y)(y
∗
) :=

x
∗

0 ∈ Y x ∈ Ω,
∅ x /∈ Ω.
¯x ∈ Ω y
∗
∈ Y
∗

D
∗
∆(¯x; Ω)(y
∗
) =

N(¯x; Ω).
E E
∗
T : E ⇒ E
∗
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ E x
∗
∈ T(x), y
∗
∈ T(y).
T (x)
T D(T ) = {x ∈ E : T (x) = ∅}.
H

R R
ϕ(x) =











0 x < 0
1 x > 0
[0, 1] x = 0.
C
H
U C
U(x) − U(y) ≤ x − y x, y ∈ C I
H T = I −U D(T ) = C.
x, y ∈ C
T (x) − T (y), x − y = x − y − (U(x) − U(y)), x − y
= x − y
2
− U(x) − U(y), x − y
≥ x − y
2
− U(x) − U(y) · x − y ≥ 0.
0 T U

P
x − y, P (x) − P(y) ≤ x − y · P (x) − P (y).
P (x) − P (y) ≤ x − y ∀x, y ∈ H.
E E
∗
. x ∈ E
J(x) = {x
∗
∈ E
∗
: x
∗
, x = x
∗
 · x x
∗
 = x}.
J(x) x D(J) =
E x
∗
∈ J(x) y
∗
∈ J(y).
x
∗
− y
∗
, x − y = x
∗


∗

2
= (x
∗
 + y
∗
)
2
,
G E × E
∗
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0
(x, x
∗
), (y, y
∗
) ∈ G. T : E ⇒ E
∗
G(T ) = {(x, x
∗
) ∈ E × E
∗
: x
∗
∈ T(x)}

E
∗
E
T
−1
(x
∗
) = {x ∈ E : x
∗
∈ T(x)}.
G(T
−1
) = {(x
∗
, x) ∈ E
∗
× E : x
∗
∈ T(x)},
G(T )
T
−1
T
ϕ
ϕ(0) = [0, 1]
ϕ R ϕ(x) =
[ϕ(x
−
), ϕ(x
+

x
∗
= T (x).
T : E ⇒ E
∗
T T
−1
T G(T ) T
T T T
−1
D(T ) R(T )
D(T ) = E R(T ) = E
∗
,
E E
∗
T
C D(T ) = E.
C
E
∗
, φ : C → E
M ⊂ E ×C x
∗
0
∈ C
{(φ(x
∗
0
), x

) ∈ M}. C
(y
1
, y
∗
1
), (y, y
∗
2
), . . . , (y, y
∗
n
) ∈ M C =
n

i=1
{U(y
i
, y
∗
i
)}.
β
1
, β
2
, . . . , β
n
C; β
i

∗
)y
∗
i
, x
∗
∈ K.
K
z
∗
∈ K p(z
∗
) = z
∗
.
0 = p(z
∗
) − z
∗
,

β
j
(z
∗
)(y
j
− φ(z
∗
))

j
(z
∗
)y
∗
i
− z
∗
, y
j
− φ(z
∗
).
α
ij
:= y
∗
i
− z
∗
, y
j
− φ(z
∗
).
α
ij
+ α
ji
= α

α
ij
+ β
j
β
i
α
ji
= β
i
β
j
(
α
ij
+ α
ji
2
) + β
j
β
i
(
α
ij
+ α
ji
2
).
0 =

2
).
β
i
β
j
= 0 i, j.
i, j β
i
β
j
> 0 z
∗
∈ U(y
i
, y
∗
i
)∩ U(y
j
, y
∗
j
),
α
ii
< 0 α
jj
< 0


D(T ).
D(T )
D ⊂ E, D D
D ⊂ D, D ⊂ ( D).
( D) ⊂ D. ( D) D
( D) = D, D
( D) D
( D) = D D = ( D) ( D)
C C ⊂ C
D ⊂ D ⊂ ( D) D ⊂ ( D) = D ⊂ D
{C
n
}
∪ C
n
⊂ ∪ C
n
E
∗