MỤC LỤC
Bảng ký hiệu sử dụng trong luận văn
1.
L
δ
: Độ dài đường cong
δ
.
2.
S
d
: Khoảng cách trong không gian
n
S
.
3.
H
d
: Khoảng cách trong không gian Hyperbolic.
4.
d
κ
: Khoảng cách trong không gian
( )CAT
κ
.
5.
( )
x
r C
: Bán kính Chebyshev của C đối với điểm x.

LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây không gian CAT(
κ
) đã thu hút được chú ý
của nhiều nhà toán học vì chúng có những vai trò quan trọng trong các khía
cạnh khác nhau của hình học và những ứng dụng của chúng. Một trong những
ứng dụng là vào lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ
Lipschitz đều trong không gian này.
Luận văn với đề tài ”Một số tính chất hình học của không gian CAT(
κ
) và ứng dụng” nhằm mục đích là nghiên cứu tính chất hình học của không
gian mêtric với độ cong bị chặn trên CAT(
κ
) và ứng dụng trong lý thuyết
điểm bất động. Luận văn có hai chương:
Chương 1 là giới thiệu về không gian CAT(
κ
).
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi
mở rộng một số kết quả về tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn và
ánh xạ Lipschitz đều sang không gian CAT(
κ
).
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô trong Bộ môn
Lý thuyết hàm, Khoa Toán - Tin, trường ĐHSP Hà Nội. Đặc biệt là TS
Nguyễn Văn Khiêm đã có những hướng dẫn quan trọng và chỉ bảo tận tình tôi
trong quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Trong quá trình hoàn thiện luận
văn chắc chắn không tránh được khỏi những thiếu sót, rất mong sự góp ý của
thầy, cô và các bạn.
Hà nội, tháng 9 năm 2011.

là một biểu diễn tham số của đường cong.
Giả sử
:[ , ] Xa b
σ
→
là một đường cong trong
X
. Độ dài của đường
cong
σ
được định nghĩa như sau
1
1
sup ( ( ), ( ))
n
k k
k
L d t t
σ
σ σ
−
=
=
∑
Trong đó sup lấy theo tất cả các phân hoạch
0 1

n
a t t t b
= < < < =

nối
x
với
}.y
4
Dễ thấy
i
d
cũng là một mêtric trên
X

và
( , ) ( , )
i
d x y d x y
≥

,x y X∀ ∈
.
Nếu
i
d d
≡
trên
X
thì ta nói rằng
( , )X d

là một không gian mêtric nội tại,
hay không gian độ dài.

( ( ), ( ))d t s t s
σ σ υ
= −

, [ , ]t s a b
∀ ∈
,
trong đó
υ
là một hằng số và gọi là tốc độ của đường cong
σ
.
Mỗi đường trắc địa nối hai điểm
x
,
y
còn được gọi là một đoạn thẳng
trắc địa có các điểm đầu mút là
x
và
y
, ký hiệu đoạn thẳng trắc địa này là
[ , ]x y
.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử
( , )X d

là một không gian mêtric. Khi đó :
(i).
X

của
p
sao cho với 2 điểm bất kỳ
,x y U
∈
đều có một đường trắc địa trong
X
nối
x
với
y
.
5
(iv). Với
(0, ]D
∈ ∞
, không gian mêtric
( , )X d
là không gian
D
−
trắc địa
nếu với hai điểm bất kỳ
,x y X∈
mà khoảng cách
( , )d x y D
<
luôn
có một đường trắc địa trong
X

với
y
và đoạn thẳng trắc
địa này nằm hoàn toàn trong
C
.
Với mỗi tập con
Y
của không gian trắc địa
( , )X d
, bao lồi (trắc địa)
của
Y
được xây dựng bằng quy nạp như sau: Ký hiệu
1
( )G Y
là hợp của tất
cả các đoạn thẳng trắc địa có hai đầu mút thuộc
Y
. Với
1,2, ,n
=
đặt
1 1
( ) : ( ( ))
n n
G Y G G Y
+
=
. Bao lồi trắc địa của

n
R
được trang bị tích vô hướng :
1
,
n
i i
i
x y x y
=
=
∑
trong đó
1 2
n
n
x ( x ,x , ,x )
= ∈
¡
và
1 2
( , , , )
n
n
y y y y
= ∈
¡
. Tích vô hướng
này sinh ra chuẩn Euclid tương ứng:
1

:
1
{ : 1}
n n
E
S x x
+
= ∈ =E
.
Với hai điểm
,
n
x y S
∈
không đối tâm có duy nhất một mặt phẳng (2-
phẳng) đi qua ba điểm
0, , (0x y
là điểm gốc). Giao của mặt phẳng này với
mặt cầu
n
S
là một đường tròn lớn đi qua hai điểm
,x y
. Hai điểm
,x y
chia
đường tròn đó thành hai cung tròn cùng có đầu mút là hai điểm
,x y
. Độ
dài của cung nhỏ trong hai cung đó gọi là khoảng cách cầu giữa hai điểm

n
x x x x S
+
∀ = ∈

1 2 1
( , , , ) .
n
n
y y y y S
+
∀ = ∈
Hơn nữa
S
d
là một
mêtric trên
n
S
. Trong không gian mêtric
( , )
n
S
S d
các đường trắc địa là
các cung tròn nằm trên các đường tròn lớn.
Mệnh đề 1.3.1.
(i) Không gian mêtric
( , )
n

π
đều là tập lồi trắc địa.
(iii) Trong không gian
( , )
n
S
S d
, bất kỳ tam giác cầu (có các cạnh là
các đường trắc địa) ABC đều thỏa mãn luật cosine
cosc cosacosb sin a sinbcosC
= −
,
trong đó
( , ), ( , ), ( , )
S S S
a d B C b d C A c d A B
= = =
là độ dài các
cạnh và
C
là góc tại đỉnh
C
của tam giác ABC.
1.3.2. Không gian
n
H
Ký hiệu
,1n
H
là không gian véc tơ

n
y ( y ,y , ,y )
+
+
= ∈
¡
. Ký hiệu
{ }
1
1 2 1 1
1 1
n n,
n n
H x ( x ,x , ,x ) H : x | x ,x
+ +
= = ∈ = − ≥
.
Trên
n
H
ta trang bị khoảng cách hyperbolic
H
d
xác định bởi
( )
H
cosh d ( x, y ) x| y ,
= −

( , ) 0, ,

trắc địa duy nhất có dạng
( t ) (cosht )x (sinht )u,
σ
= +
trong đó
u
là vectơ đơn vị theo hướng
| .y x y x
+
Mệnh đề 1.3.2.
(i) Không gian hyperbolic
( )
,
n
H
H d
là không gian mêtric trắc
địa duy nhất.
(ii) Trong không gian
( )
,
n
H
H d
, mọi hình cầu đều là tập lồi (trắc
địa).
(iii) Trong không gian
( )
,
n

như sau:
(i) Nếu
0
κ
=
thì không gian
0
n
M
chính là không gian Euclid
n
E
.
(ii) Nếu
0
κ
>
thì không gian
n
k
M
chính là mặt cầu
n
S
được trang
bị khoảng cách
1
( , ) ( , ),
S
d x y d x y


,
n
x y H
∈
.
Tổng hợp Mệnh đề 1.3.1 và Mệnh đề 1.3.2 ta nhận được
Mệnh đề 1.3.3.
n
M
κ
là một không gian mêtric trắc địa. Nếu
0
κ
≤
thì
n
M
κ
là không gian trắc địa duy nhất và mọi hình cầu trong
n
M
κ
đều là tập
lồi trắc địa. Nếu
0
κ
>
thì các hình cầu trong
n

κ κ
π κ κ
κ

>

= =

∞ ≤


neáu
neáu
Giả sử X là một không gian trắc địa và
1 2 3
, , .x x x X
∈
Ký hiệu
1 2
[ , ],x x

2 3
[ , ],x x

3 1
[ , ],x x
tương ứng là các đoạn thẳng trắc địa trong nối
1
x
với

được gọi là một tam giác trong X , ký hiệu là
1 2 3
( , , ).x x x
∆
Nếu chu vi của tam giác
1 2 3
( , , )x x x
∆
là
1 2 2 3 3 1
[ , ] [ , ] [ , ]
( ) 2
x x x x x x
P L L L D
κ
∆ = + + <
thì tồn tại (duy nhất sai khác một phép đẳng cự) một tam giác
1 2 3
( , , )x x x
κ
∆
trong không gian
2
M
κ
có các đỉnh là
1 2 3
, ,x x x
và các cạnh là
các đoạn thẳng trắc địa

thỏa mãn tính chất
[ , ] [ , ]
i j i j
x x x x
L L
=

, 1,2,3i j
∀ =
.
11
Do tính chất trắc địa nên mỗi cạnh của tam giác
1 2 3
( , , )x x x
∆

đều đẳng cự
với cạnh tương ứng của tam giác
1 2 3
( , , )x x x
κ
∆
. Do đó, với mỗi điểm
z

thuộc cạnh
[ , ]
i j
x x
của tam giác

tam giác và tam giác
1 2 3
( , , )x x x
κ
∆
được gọi là tam giác so sánh của tam giác
1 2 3
( , , )x x x
∆
.
Định nghĩa 1.4.1. Tam giác
1 2 3
( , , )x x x
∆
được gọi là thỏa mãn bất đẳng
thức
( )CAT
κ

(hay
κ
- mỏng) nếu với hai điểm bất kỳ
1 2 1 2 3
, ( , , )z z x x x
∈∆

và
1 2 1 2 3
, ( , , )z z x x x
∈∆

thì các không gian
(0)CAT
được đặc trưng bởi bất đẳng thức
đường trung tuyến.
12
Bổ đề 1.4.1. Giả sử
( , )X d
là một không gian mêtric trắc địa. Khi đó X
có độ cong nhỏ hơn hoặc bằng
0
nếu và chỉ nếu X là không gian trắc địa
duy nhất và đồng thời với bất kỳ 3 điểm
1 2 3
, ,x x x X
∈
, m là trung điểm của
1 2
,x x
(tức là :
1 2 1 2
1
( , ) ( , ) ( , )
2
d m x d m x d x x= =
) ta có bất đẳng thức :
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
2 2 4

Định nghĩa 2.1.1. Một tập con lồi, bị chặn
C
của không gian Banach
( )
,X
×

với đường kính
( ) 0d C
>
được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu
tồn tại một điểm
z C
∈
sao cho
sup ( )
x C
z x d C
∈
− <
.
Ký hiệu
( )d C
trong định nghĩa trên là đường kính của tập C và được xác
định bởi
{ }
( ) sup : ,d C x y x y C
= − ∈
.
Để đo mức độ chuẩn tắc của không gian Banach, W.Bynum [5] đã đưa

thỏa mãn
( ) ( )=
z
r C r C
được gọi là một tâm Chebyshev
của
C
.
Định nghĩa 2.1.2. Hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach
X

là
số
µ
( )N X
được xác định như sau
15
µ
( )
( ) sup ,
( )
r C
N X
d C
 
=
 
 
trong đó supremum lấy theo tất cả các tập
C

∈
L
{x} x X"Î ÎL
và họ  ổn định với phép giao tùy ý, tức
là nếu
ÌF L
thì
C
C
Î
Î
I
F
L
.
Khi  là một cấu trúc lồi trên
X
thì bao lồi (hay  - bao) của một tập con
trong
A
trong
X
xác định như sau
{ }
convA C:C ,C A= ÎÉ
I
L
.
Một tập
A XÌ

thì mọi hình cầu đóng với bán
kính
2
k
<
D
r
đều là tập lồi trắc địa. Do đó, nếu
X
là một không gian
CAT( )
k

bị chặn với bán kính
( )
2
D
r X
k
<
thì cấu trúc lồi trắc địa trên
X

chứa cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng trong
X
.
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử
( , )X d
là một không gian mêtric với cấu trúc
lồi . Hệ số cấu trúc chuẩn tắc

k

ta cần đến kết quả sau đây của U.Lang và
V.Schroeder.
17
nh lý 2.1.1. (Lang-Schroeder [15], [16]). Gi s
X
l mt khụng gian
( )CAT
k

y v
C
l mt tp con li, úng ca
X
vi bỏn kớnh
Chebyshev
( ): 0,
2
D
r C r
k
ổ ử
ữ
ỗ
= ẻ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

k k
k
k
k k
k
-
ỡ
ổ ử
ù
ữ
ù
ỗ
>
ữ
ù ỗ
ữ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
ù
ổ ử
ù

= ẻ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
D
r X R
. Khi ú, vi cu trỳc li trc a,
X
cú cu
trỳc chun tc u v
à
( ) sup : (0, ] 1.
( )
r
N X r R
d r
k
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
<Ê ẻ
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
2.1.2. M rng nh lý W.A.Kirk trong khụng gian
( )CAT
k

k
đầy đủ và
C
là một tập con lồi
(trắc địa), đóng trong không gian với bán kính
( )
2
D
r C
k
<
. Khi đó, nếu
{ }
n
C
là một dãy giảm các tập con, lồi, đóng, khác rỗng của
C
thì
n
n
C
³
¹ Æ
1
I
.
Chứng minh .
{ }
1
n

ì ü
ï ï
ï ï
= " <³
í ý
ï ï
ï ï
î þ
Chọn
µ
1N( C ) k< <

Đặt
{ }
n n x n n
A( C ) x C :r ( C ) k.d( C )= Σ
Theo giả thiết
{ }
1
n
n
C
³
là dãy giảm vậy
{ }
1
n
n
A(C )
³

C
³
dãy giảm các bao lồi khác rỗng vì
{ }
µ
0 0 0 0
n x n n n
r( C ) r ( C ): x C N(C ).d(C ) k.d( C ),inf= <Σ
nên
0 0
0 n n
x C A(C ).$ Î I
Ta sẽ chứng minh
1 0
n n
d(C ) k.d( C )<
thực tế ta chỉ cần chứng minh
( )
(
)
( )
0 0
. .
i n
i n
d A C k d C
≥
≤U
Lấy
( )

Vy
( )
0 0 0
n i n
i n
supd x,y k.d(C ) d A(C ) k.d(C ).

ổ ử
ữ
ỗ
Ê Ê
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
U
Tip tc quỏ trỡnh trờn ta c h thng dóy gim nh sau
0 0 0
1 2
1 1 1
1 2
n
n
C C C
C C C

ẫ ẫ
ẩ ẩ
ẫ ẫ

0
n
n
d C
+
đ
khi
n Ơđ
Do
X
l khụng gian y nờn theo nguyờn lý Cantor
1
1 1
n
n n
n n
C C .
+

ạ ặị ạ ặ
I I
21
Định lý 2.1.5. Giả sử
X
là một khơng gian
( )CAT
k
đầy đủ và
C
là một

.Ì Ì= K C : K là tập con lồi, đóng, khác rỗng : T(K) KF
Khi đó họ
¹ ỈF
vì
C .Ỵ .F

Đưa vào trong
F
quan hệ
" "£
như sau:
Với
1 2 1 2 1 2
K ,K , K K K K .Ỵ £ Û ÉF
Ta sẽ chứng minh họ
( , )£F
thỏa mãn giả thiết của bổ đề Zorn.
Giả sử
{ }
K : I
a
a
Ỵ
là 1 tập con sắp thứ tự tồn phần của
F
. Áp dụng kết
quả của Bổ đề 2.1.4 ta có
I
K K
a

có cận trên trong
F
. Áp dụng Bổ đề Zorn, họ
( , )£F
có 1 phần tử tối đại. Gọi
0
K
là phần tử tối đại của
( , )£F
thì
0
K

là tập con lồi, đóng, khác rỗng cực tiểu của C theo quan hệ bao hàm.
Bước 2

: Chứng minh khẳng định: Nếu
0
K
là tập lồi, đóng, cực tiểu của C
thỏa mãn
0 0
T( K ) KÌ
thì
0 0
conv(T( K )) K .=
Thật vậy ta có do
0 0
T( K ) KÌ
và

Gọi
0
u KÎ
là tâm Chebyshev của
0
K
Với
0
x KÎ
ta có:
u
Tx Tu x u r (C ) r- - =£ £
nên
0
Tx B(Tu,r ) x K ,"Î Î
Vì vậy
23
0
T( K ) B(Tu,r )Ì
do
B(Tu,r )
là tập lồi, đóng
Do đó ta có
0
conv(T( K )) B(Tu,r )Ì
Theo bước 2 ta có
0 0
conv(T( K )) K=
0
K B(Tu,r )Ì

đều là các ánh xạ L – Lipschitz, tức là
0( , ) . ( , ) , , .
n n
d T x T y L d x y x y C n≤ ∀ ∈ ∀ ≥
Định nghĩa 2.2.2. Môđun lồi đều của không gian Banach
X

là hàm số
X
: [ , ] [ , ],
d
®0 2 0 1
được xác định như sau:
24
X
x y
( ) inf : x,y X, x , y , x y
d e e
ỡ ỹ
ù ù
+
ù ù
= - -ẻÊÊ
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
1 1 1
2
c trng li ca khụng gian Banach

2
. Do ú nu c trng li
(X)
e
<
0
1
thỡ phng trỡnh
X
g d
g
ổ ử
ổ ử
ữ
ữỗ
ỗ
ữ
- =
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ố ứ

. Khi ú, nu
:T C Cđ
l mt ỏnh x
L Lipschitz-
u vi hng s
Lipschitz L (X)
g
<
0
thỡ T cú im bt ng trong
C
.
2.2.1. c trng Lipschitz ca khụng gian
( )CAT
k
25