BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN THỊ THU HIỀN
QUY TẮC TỔNG MỜ KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02
Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN
BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn đề
tài và tận tình hướng dẫn tôi để tôi có thể hoàn thành Luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các Thầy, Cô dạy cao
học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
Luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 07 năm 201Ậ Tác giả
Trần Thị Thu Hiền
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu,
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã
ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng”
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 201Ậ Tác giả
Trần Thị Thu Hiền
Mục lục
Một số kiến thức chuẩn bị
Nón pháp và dưới vi phân
Dưới vi phân Fréchet
Nón pháp Fréchet
✓
Anh xạ đa trị
Hàm Lipschitz
Hàm lồi
Chương 2.
32
Quy tắc tổng mờ không địa phương
2.1
.
3
2
Quy tắc tổng mờ địa phương
Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng
Nguyên lý cực trị
Kết luận
Tài liệu tham khảo
4
6
5
1
2.
3.
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình đại học, chúng ta đã được biết về vai trò của đạo hàm, vi
cực trị của Mordukhovich.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về quy tắc tổng mờ không địa phương của Borwein, Treiman, Zhu.
ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương của Ioffe, bất đẳng thức
giá trị trung bình đa hướng của Clarke, Ledyaev và nguyên lý cực trị của
Mordukhovich.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về dưới vi phân.
6
- Tìm hiểu quy tắc tổng mờ không địa phương.
- ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương, bất đẳng thức giá trị
trung bình đa hướng và nguyên lý cực trị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Dưới vi phân và ứng dụng.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tổng quan về các kết quả tổng quát, chi tiết hóa các chứng minh nếu
có thể, lấy ví dụ cụ thể để minh họa.
6. Dự kiến đóng góp
Các đóng góp của luận văn là trình bày hệ thống kiến thức
về dưới vi phân và quy tắc tổng mờ không địa phương; cách
sử dụng quy tắc đó trong nghiên cứu các tính chất của hàm
số.
7
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số kiến thức của Giải tích hàm
1.1.1. Không gian Banach và không gian đối ngẫu
Mục này trình bày những khái niệm, tính chất về không gian Banach và
không gian liên hợp. Cho X là một không gian vectơ thực.
Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được kí hiệu
là X với chuẩn ỊỊ.||X hoặc ỊỊ.||.
Một số ví dụ về không gian Banach.
Ví dụ 1.5. Không gian X := M là không gian Banach trên trường số thực với
chuẩn ||m|| = |w| , Vm G 1.
Ví dụ 1.6. Không gian l
2
bao gồm tất cả các dãy số X = (xn) sao cho
- .
^I 12 ?
chuôi Fn| hội tụ với chuấn là không gian
0
Ví dụ 1.7. Không gian C[a,b] gồm những hàm liên tục (giá trị thực hoặc phức)
trên một đoạn [a,b] với chuẩn 11/11 = max|/(:r)| là không
[a,6]
gian Banach.
Định nghĩa 1.8 (Xem ỊỊỊ|,trang 61). Cho X là một không gian định chuẩn với
chuẩn II. II. Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục X* : X —> R gọi là một phiếm hàm
tuyến tính liên tục xác định trên X.
Nếu X* là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và X £ X thì giá trị của
X* tại X được kí hiệu là {x*,x}.
Dễ dàng chứng minh được rằng, tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên X với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với một
số thực lập thành một không gian vectơ (tuyến tính) thực. Ta gọi không gian này
là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X và kí hiệu là X*.
Định lý 1.9 (Xem ỊỊỊI). Không gian X* với chuẩn xác định bởi
l(z*,z)l
F * = sup I I INI
là một không gian Banach.
, (1.2)
trong đó X i
€ X ,
i = 1, k
và £ > 0.
Định nghĩa 1.16 (Xem [1J). Tập A c X đóng (bị chặn, compact) theo tôpô yếu
trong X được gọi là tập đóng (tương ứng, bị chặn, compact) yếu. Tập A đóng
(bị chặn, compact) theo tôpô yếu * trong X* được gọi là tập đóng (tương ứng,
bị chặn, compact) yếu *.
1.1.2. Hàm khả vi trên không gian Banach
Mục này trình bày những khái niệm: Đạo hàm theo phương, đạo hàm
Gâteaux, đạo hàm Fréchet. Các kiến thức trình bày trong phần này được lấy từ
các tài liệu [2J. Cho X, Y là những không gian Banach thực. Giả sử rằng F : X
—> Y là một ánh xạ với miền xác định D(F) = X.
Định nghĩa 1.17 (Xem [2]. Định nghĩa 1.5). Cho d € X và X € X. Nếu giới hạn
(1.3)
tồn tại thì F được gọi là có đạo hàm theo hướng d tại X, kí hiệu là
F'(x,d).
Định nghĩa 1.18 (Xem [2]. Định nghĩa 1.6). Cho X € X là
một điểm cố định. Ánh xạ F : X —>• Y được gọi là khả vi
Gâteaux tại X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục A
: X —>■ Y thỏa mãn
với mỗi h € X, trong đó t —>■ 0 trong M.
Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại X và giá trị của nó
tại h được kí hiệu là A(h) = d F ( x , h ) .
Từ định nghĩa trên, đạo hàm Gâteaux là một ánh xạ từ X
và với mỗi X
ẽ X
cố định,
d f ( x , h
) là một hàm tuyến tính của h £ X .
F(x + th) — F(x) t
- A { h )
=0
(1.4
li
m
Nhận xét 1.19. Nếu đạo hàm Gâteaux tồn tại thì nó là duy nhất.
Định nghĩa 1.20 (Xem [2]. Định nghĩa 1.8). Cho X là một điểm cố định trong
không gian Banach X .
Một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X Y được gọi là đạo
hàm Fréchet của ánh xạ F : X —»■ Y tại X nếu
F{x + h) - F ( x ) = A h + r { h
)
trong đó lim = 0) hay tương đương
ị ị F ( x + h ) - F ( x ) - A h \ \
WHO ||ft||
Đạo hàm Préchet tại X
Ta nói
rằng Q
là n ó n
trong Y
nếu: t c e Q
với mọi с
e Q , t > 0 .
Nón Q được gọi là nón lồi nếu Q là tập lồi.
Nón Q được gọi là nón đóng nếu Q là tập đóng. Kí hiệu: Ỉ(Q) = Q n ( - Q ) .
Nếu Q
là nón lồi thì l ( Q
) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong
Q
và nó được gọi là phần trong tuyến tính của nón Q .
Định nghĩa 1.25 (Xem [5], trang 9-10). Cho X
, Y
là hai tập hợp bất kì. Cho F
:
X
nào đó, ta
có F ( x
) là tập rỗng. Ta thường kí hiệu ánh xạ đa trị là F
: X
^ Y.
Nếu với mỗi X
G X
tập F ( x
) chỉ gồm đúng một phần tử của Y
,
thì ta nói Flà ánh xạ đơn trị từ X
vào Y
.
Khi đó ta kí hiệu:
F
được định nghĩa
epiF
=
{(ж, y )
G X
X Y : y
e F ( x
) + Q , x G
domF} .
Ánh xạ ngược F
-1
: Y
=4 X
của ánh xạ đa trị F
: X
=4 Y
được xác
định bởi công thức
Định nghĩa 1.30 (Xem [3J. Định nghĩa 2.1). Trên đồthị hàm /, kí hiệu
là epi/, được định nghĩa như sau
epi/ = {(a;, r) £ A xM : f(x) < r} .
Miền hữu hiệu của hàm /, kí hiệu là dom/, được định nghĩa như sau
dom/ = {x e A : f(x) < +00} .
Hàm / được gọi là proper(hàm chính thường), nếu dom/ ^ 0 và /(x) > —00, G A.
Định nghĩa 1.31 (Xem [3J. Định nghĩa 2.2). Hàm / được gọi là lồi trên A nếu epi/
là tập lồi trong X x l , Hàm / được gọi là lõm trên A nếu —/là hàm lồi trên Ả.
Nhận xét 1.32. Nếu / là lồi thì dom/ lồi.
Định lý 1.33 (Xem [Ị3Ị|. Định lý 2.1). Giả sử D là tập lồi trong không
gian X, hàm / : D —»• (—00, +00]. Khi đó, / lồi trên D khi và chỉ khi
/ ( X x + (1 - A) y ) < Af ( x ) + (1 - A) f ( y ) , VA e [0,1]; Vx, y G A .
Định nghĩa 1.34 (Xem [Sị|. Định nghĩa 2.6). Hàm / : Ẩ - ^ l U {i00} được gọi là
đóng nếu epi/ đóng trong I x R ,
Định nghĩa 1.35 (Xem [3J. Định nghĩa 2.9). Bao đóng của hàm f, kí hiệu là / hay
elf được xác định như sau
epi/ = epi/.
Bao lồi và bao lồi đóng của hàm /, kí hiệu là co/ và Cõ/ (hay c/(co/)), được xác
định tương ứng như sau
epi(co/) = co(epi/)
epi(cõf) = cõ(epi/)
Nhận xét 1.36. Hàm / đóng <=>■/ = /.
Định nghĩa 1.37 (Xem [1J). Một không gian tôpô X gọi là không gian lồi địa
phương nếu trong X có một cơ sở lân cận gồm toàn tập lồi.
Cho X là không gian lồi địa phương, / :^4—^MU{±oo}.
Định nghĩa 1.38 (Xem [3J. Định nghĩa 2.11). (i) Hàm / được gọi là nửa liên tục
dưới (ỉsc) tại X & X (f(x) < oo) nếu với mọi £ > 0, tồn tại lân cận u của X sao cho
f ( x ) - £ < f ( y ) , { Vy G U ) .
(ii)Hàm / được gọi là nửa liên tục dưới (Isc), nếu / nửa liên tục dưới tại mọi X e X.
(iii) Hàm / được gọi là nửa liên tục trên (usc) tại X £ X (f(x) < oo) nếu với mọi £
Mục này trình bày những kiến thức cơ bản của dưới vi phân Fréchet, những
phép tính sơ cấp, nón pháp và đạo hàm theo hướng, nón pháp và dưới vi phân,
đối đạo hàm.
1.2.1. Định nghĩa và những tính chất cơ bản
Định nghĩa 1.42 (Xem [7J, trang 3326). Cho X là không gian Banach thực và / là
một hàm từ X vào tập số thực mở rộng M = Mu {+oo}, hữu hạn tại X. Tập
D
F
f (
X
)
= L' 6 X* : lim inf/(«) -/(*)- (*•.»-*) > oỊ (1.6)
L u^x I\u — Ж II J
được gọi là dưới vi phân Fréchet của f tại X. Mỗi phần tử của tập D p f ( x
) là
dưới gradient Fréchet của f tại X.
Nếu D p f ( x
) Ỷ 0 chúng ta nói rằng / là dưới khả vi Fréchet tại X.
Nhận xét 1.43. Dễ thấy rằng, tập D p f ( x ) là tập lồi và đóng. Thật vậy, lấy X *, y *
£ D p f ( x) , với t e [0; 1], Vw e X . Ta có
' inf
t
(
/W
-
in f/(
U
)-/(»)-<*•,»- «) ^ 0
«-►a; ||w — xỊ|
Suy ra D p f ( x
) là tập đóng.
Định lý 1.44 (Xem [ZỊ.Proposition 1.1). Nếu f : X —>• M là hàm khả vi
Fréchet tại X với đạo hàm Vf { x ) , t h ì
D p f ( x
) = {v/(:c)}.
Chứng minh. Do / khả vi Préchet tại X ta có
f{x + h) = f{x) + (v/(z), h} + r(h):
trong đó r(h) —>■ 0 khi \\h\\ —> 0. Từ đây suy ra
f(x + h)~ f{x) = (V/(x), h) + r { h ) .
Đặt u = X + h
ta có
f ( u
) - f ( x
) = (V/(x), M - x) + r ( u - x ) .
Mà X *
G D z , f ( x
) <=>• lim > 0. Do vây, với Ve >
(1.7)
Chứng minh. Do / là hàm lồi nên với mọi Л G (о, 1], với mọi x,u & X ta có
/(Ли + (1 - Л)аг) < Лf ( u )
+ (1 - Л) f ( x )
О
/(Au + (1 - А)ж) > Л( f ( u )
- f ( x
)) + f ( x )
« /(«) - /(*) >
Л
Do vế trái độc lập với Л, cho Л — >
0. Khi đó 3 x *
G X * :
/(Au + (1 - А)ж) - f ( x ) = f ( X ( u - x ) - x ) - f ( x ) > ( x * ,
и
- x ) .
Suy ra
f ( u ) - f ( x
) > ( x * , u - X
).
nhau là hoàn toàn tự nhiên đối với giải tích không trơn: các tính chất khả vi của
một hàm từ phía dưới và từ phía trên có thể khác nhau về bản chất.
Trong trường hợp không khả vi, ít nhất một trong các tập D p f ( x
) và tập
D p f ( x
) phải là tập rỗng.
Định lý 1.48 (Xem [ĩ]. Proposition 1.3). Cả hai tập D p f ( x
) trong (1.6)
và D p f ( x
) trong (1.8) đồng thời không rỗng khi và chỉ khi / là hàm khả vi
Fréchet tại X . Trong trường hợp này, ta có D p f ( x
) = D p f ( x
) = { V f ( x ) } .
Trường hợp tổng quát, hệ thức sau đây đúng: D p ( — f ) ( x
) = - D ị f { x ) .
Chứng minh. Nếu cả hai tập đó đều đồng thời khác rỗng thì từ (1.6) và
(1.8), ta có với mọi £ > 0 tồn tại ố > 0 sao cho
f ( u ) — f ( x
) — Vf ( x ) ( u
— x )
h
Chứng tỏ
D -
F
( - f ) ( x ) = - D
+
F
f ( x ) .
Vậy định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.49. Cả hai tập D p f ( x
) trong (1.6) và D p f ( x
) trong (1.8) có thể đồng
thời rỗng. Lấy / : M —»• M sao cho f ( u
) = usỉn(-) với u Ỷ 0 và /(0) = 0. Khi
đó
D-Fm = Dỉf(
0 ) = 0 -
t
1.
Từ (L8) ta có
i:~ Дм) - /(°) - (M) / n
<=> — <0 (vô nghĩa) .
Suy ra
£>+/( 0) = 0.
Ví dụ 1.50. Các hàm khả vi Gâteaux có thể không dưới khả vi Fréchet. Cho /
: R
2
Ш được định nghĩa f i x
I , x
2
)
= 4 ^% nếu (x ị , x
2) 7^ (O5O)
•ÏJ 2^ 2
và f ( x I , x
2
) =
0 nếu ( x i , x
2
ЛЩМ = u —
=
ì ^ 0
IIMH0 h fti™ 0 2hị\Jh\ + 2
nên D p f (
0) = 0.
Định lý 1.51 (Xem [9J). Nếu f : X —¥ M là hàm khả vi Gâteaux và dưới khả vi
Fréchet tại X cùng với đạo hàm (Gâteaux) V f ( x ) , t h ì
D
F
Ỉ ( X ) = {V/M}.
Định lý 1.52 (Xem [s|). C h o f : X —>
R. K h i đó , X *
G f ( x
) k h i v à c h ỉ
k h i t ồ n t ạ i m ộ t h à m s ố
g
: X — >
M s a o c h o
( i)
g ( u
) =
D p ( c ỉ f ) ( x
) trong đó elf là bao đóng nửa liên tục dưới của f.
Định lý 1.56 (Xem f9j). Cho f là hàm thuần nhất dương.
(ỉ) Nếu /(0) = 0, thì D p f ( 0) = {ж* G X* : f ( u ) > (x*,u), Vií £ X}.
( ii) Nếu f hữu hạn tại X, thì Dp f(Xx) = Dp f(x) với mộ t số X > 0.
Các định lý dưới đây trình bày một số kết quả các phép tính sơ cấp đối với
dưới vi phân Fréchet. Các kết quả này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Định lý 1.57 (Xem PJ). Nếu f : X —»■ Ш đạt giá trị cực tiểu tại X, thì
0 <E D ~ f ( x ) .
Định lý 1.58 (Xem [9]). Cho ĩ : X —»■ R. Khi đó,
Copyright: Tài liệu đại học ©