ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HỮU GIÁP
PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HỮU GIÁP
PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60. 46. 01. 04
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG
THÁI NGUYÊN - 2014
Xác nhận của khoa
chuyên môn
Xác nhận của cán bộ
hướng dẫn
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 4
1.2 Môđun mở rộng Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein . . . . . . . . 11
2 Xây dựng phức Cousin 14
2.1 Một số tính chất về tập các iđêan nguyên tố . . . . . . . . 14
2.2 Xây dựng phức Cousin cho một môđun . . . . . . . . . . 19

d
n
−→ M
n+1
−→
thỏa mãn tính chất Supp(Coker(d
n−2
)) ⊆ U
n
(M) với mọi n ≥ 0, trong đó
U
n
(M) = {p ∈ Supp(M) | dim
A
p
(M
p
) ≥ n}
(xem Định nghĩa 2.2.1). Tiếp theo Sharp đã sử dụng phức Cousin để đặc trưng
được lớp vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein, đó là các vành quan trọng
của Đại số
Mục đích chính của luận văn là trình bày lại chi tiết các chứng minh của
các kết quả trong bài báo [17] của R. Y. Sharp "The Counsin Complex for a
Module over a Commutative Noetherian Ring, Math. Z. 112 (1969), 340-356"
về phức Cousin và một số áp dụng của nó như đã nêu tóm tắt ở trên. Luận
văn được chia làm 3 chương.
• Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ sở để chứng minh các kết quả
chính của luận văn, bao gồm: tập giá và tập iđêan nguyên tố liên kết của
môđun, khái niệm chiều, độ cao, môđun Ext, môđun Cohen-Macaulay,
vành Gorenstein.

lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học,
Sở LĐTBXH tỉnh Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và khoa Văn
hóa cơ sở Trường Trung cấp nghề Nam Thái Nguyên (Phổ Yên - Thái Nguyên)
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối
cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để
tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014
TÁC GIẢ
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm trình bày một số kiến thức cơ sở cần thiết cho chứng
minh các kết quả của các chương sau. Ta sử dụng các thuật ngữ theo
Atiyah-Macdonald [1], và Matsumura [6]. Ta luôn giả thiết A là một vành
giao hoán Noether có đơn vị và M là một A−môđun.
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản
Kí hiệu 1.1.1. i) Cho N là môđun con của A−môđun con của M và Y
là một tập con của M. Khi đó ta dễ thấy tập hợp
{a ∈ A | ay ∈ N, ∀y ∈ Y }
là một iđêan của A, ta kí hiệu nó là (N : Y )
A
. Đặc biệt, ta còn kí hiệu
(0 : M)
A
bởi ann
A
(M) (hay Ann
A
(M)) và gọi là linh hóa tử của M; hơn
nữa, với mỗi x ∈ M, ta kí hiệu (0 : x)

s
với mọi
m
s
∈ S
−1
M.
Định nghĩa 1.1.2. (Giá của môđun) Cho M là một A−môđun, giá của
môđun M được kí hiệu là Supp(M) hoặc Supp
A
(M), nó là một tập con
của Spec(A) được xác định bởi:
Supp
A
(M) = {p ∈ Spec(A) | M
p
= 0} .
Chú ý rằng M = 0 khi và chỉ khi Supp(M) = ∅.
Hàm tử địa phương hóa S
−1
(−) có một số các tính chất sau đây.
Mệnh đề 1.1.3. Cho S là một tập đóng nhân của A và M là một
A−môđun. Giả sử N và P là các môđun con của M, với P là hữu hạn
sinh. Khi đó các phát biểu sau là đúng.
(i) S
−1
((N : P )
A
) = (S
−1

−1
A
.
Chứng minh. (i) ” ⊆ ”: Lấy a/s ∈ S
−1
((N : P )
A
) với a ∈ (N : P )
A
. Khi
đó aP ⊆ N. Từ đó

a
s

S
−1
P ⊆ S
−1
N. Do vậy
S
−1
((N : P )
A
) ⊆ (S
−1
N : S
−1
P )
S

n
sao cho P = m
1
, . . . , m
n
. Ta có (a/1)(m
i
/1) ∈ S
−1
N với
mọi i. Suy ra tồn tại s
i
∈ S để s
i
(am
i
) ∈ N với mọi i. Đặt s

= s
1
. . . s
n
.
Khi đó s

am
i
∈ N với mọi i, suy ra s

aP ⊆ N. Vì thế a/s = s

(ii) Đặt P = x. Khi đó P hữu hạn sinh, do đó theo i), ta có
S
−1
((N : P )
A
) = (S
−1
N : S
−1
P )
S
−1
A
hay
S
−1
((N : Ax)
A
) = (S
−1
N : S
−1
(Ax))
S
−1
A
.
Ta lại có (N : Ax)
A
= (N : x)

−1
(Ax))
S
−1
A
= (S
−1
(N : x/1)
S
−1
A
,
đó là điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.1.4. Cho S là tập đóng nhân của A và M là A−môđun. Khi
đó ta có
Supp
S
−1
A
(S
−1
M) = {S
−1
p | p ∈ Supp
A
(M), p ∩ S = ∅}.
Chứng minh. ” ⊇ ”: Lấy P ∈ {S
−1
p | p ∈ Supp
A

−1
p
∼
=
M ⊗
A

S
−1
A ⊗
S
−1
A
(S
−1
A)
S
−1
p

∼
=
M ⊗
A

(S
−1
A)
S
−1

p | p ∈ Supp
A
(M), p ∩ S = ∅}.
6
” ⊆ ”: Lấy P ∈ Supp
S
−1
A
(S
−1
M). Suy ra (S
−1
M)
P
= 0 và tồn tại
p ∈ Spec(A) sao cho p ∩ S = ∅, P = S
−1
p. Vì 0 = (S
−1
M)
P
=
(S
−1
M)
S
−1
p
∼
=

−1
A
(S
−1
M) = {S
−1
p | p ∈ Ass
A
(M), p ∩ S = ∅}.
Chứng minh. (⊆). Lấy P ∈ Ass
S
−1
A
(S
−1
M) khi đó tồn tại p ∈ Spec(A)
và tồn tại x/s ∈ S
−1
M sao cho P = S
−1
p, p ∩ S = ∅ và S
−1
p =
Ann
S
−1
A
(x/s).
Tiếp theo ta chứng minh p ∈ Ass
A

a
i
∈ Ann
A
(tx) với mọi i = 1, . . . , n. Vì thế p ⊆ Ann
A
(tx).
Mặt khác, lấy b ∈ Ann
A
(tx) suy ra b(tx) = 0 suy ra (bt/1)(x/s) = 0.
Do đó (bt)/1 ∈ S
−1
p. Suy ra tồn tại a

∈ p, s

∈ S sao cho (bt)/1 = a

/s

.
Từ đó có u ∈ S để b(uts

) = ua

∈ p; suy ra b ∈ p (vì us

t ∈ S mà
S ∩ p = ∅ nên us


A
(x/1) (do đó S
−1
p ∈
Ass
S
−1
A
(S
−1
M)).
Lấy tùy ý a ∈ p và s ∈ S. Khi đó (a/s)(x/1) = (ax)/s = 0/s = 0,
suy ra a/s ∈ Ann
S
−1
A
(x/1). Từ đó suy ra S
−1
p ⊆ Ann
S
−1
A
(x/1).
Mặt khác lấy tùy ý b/s ∈ Ann
S
−1
A
(x/1) suy ra (b/s)(x/1) = 0 khi
đó tồn tại u ∈ S sao cho (bu)x = 0 suy ra bu ∈ p suy ra b ∈ p. Vì thế
Ann

M) = {S
−1
p | p ∈ Ass
A
(M), p ∩ S = ∅}.
Mệnh đề 1.1.7. Cho M là một A−môđun hữu hạn sinh và p ∈ Spec(A).
Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương.
(i) Tồn tại môđun con thực sự N của M sao cho p ∈ Ass
A
(M/N);
(ii) p ∈ Supp(M);
(iii) p ⊇ (0 : M)
A
;
(iv) p chứa một iđêan nguyên tố q nào đó thuộc Ass(M).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Lưu ý rằng Ass(M/N) ⊆ Supp(M/N). Từ giả
thiết (i) kết hợp với dãy khớp
0 → N → M → M/N → 0
ta suy ra p ∈ Supp(M) (vì Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N)).
(ii) ⇒ (iii) Ta có M
p
= 0 nên tồn tại 0 = x ∈ M sao cho sx = 0 với
mọi s ∈ A \ p. Do đó (0 : x)
A
⊆ p. Ta lại có (0 : M)
A
⊆ (0 : x)
A
. Suy ra
(0 : M)

1.1.6).
(iv) ⇒ (i) Giả sử p ⊇ q với q ∈ Ass(M). Khi đó có một môđun con N của
M sao cho có đẳng cấu f : N → A/q. Ta lại có toàn cấu g : A/q → A/p.
Do đó ta có toàn cấu gf : N → A/p. Khi đó A/p
∼
=
N/ Ker(gf). Rõ ràng
{p} = Ass
A
(N/ Ker(gf)) và N/ Ker(gf) là môđun con của M/ Ker(gf).
Do vậy p ∈ Ass
A
(M/ Ker(gf)). Lưu ý rằng Ker(gf) môđun con thực sự
của M (vì Ker(gf) là môđun con thực sự của N mà N ⊆ M).
Định nghĩa 1.1.8. (Đa tạp liên kết) Cho M là A−môđun hữu hạn sinh.
Khi đó tập tất cả các iđêan nguyên tố của A thỏa mãn các điều kiện của
Mệnh đề 1.1.7 được gọi là đa tạp liên kết với M, nó được ký hiệu là
V (ann
A
(M)). Như vậy
V (Ann
A
(M)) = {p ∈ Spec(A) | p ⊃ Ann
A
(M)}.
Đặc biệt, ta có V (ann(A)) = V (0) = Spec(A) là phổ nguyên tố của
vành A, đó là tập tất cả các iđêan nguyên tố của A. Lưu ý rằng nếu M
là A−môđun hữu hạn sinh thì V (ann(M)) = Supp
A
(M).

Lưu ý rằng khi A là vành Noether ta có dim(A) < ∞ (vì mọi
dãy tăng các iđêan đều dừng). Khi M là A−môđun hữu hạn sinh thì
dim(M) = dim Supp
A
(M) bằng cận trên đúng của độ dài của mọi dãy
giảm thực sự p
0
⊃ p
1
⊃ . . . ⊃ p
r
gồm các phần tử của Supp
A
(M).
Định nghĩa 1.1.10. (M−độ cao) Cho p ∈ Supp
A
(M). Khi đó, ta nói
M−độ cao của p, kí hiệu là ht
M
(p), là cận trên đúng của độ dài của
các dãy các iđêan nguyên tố của Supp
A
(M) có điểm chặn trên là p. Nói
cách khác ht
M
(p) = dim
A
p
(M
p

Cách 1: Lấy một giải nội xạ của N, chẳng hạn là
0 → N

−→ E
0
d
0
−→ E
1
d
1
−→ .
Khi đó ta có phức
0 → E
0
d
0
−→ E
1
d
1
−→ .
Tác động hàm tử F = Hom
A
(M, −) vào phức trên ta thu được đối phức
0 → Hom
A
(M, E
0
)

)
∗
= F (d
i
).
Lưu ý rằng, người ta còn có cách khác để xây dựng môđun mở rộng
Ext
i
A
(M, N) như sau: Xét hàm tử F
1
= Hom
A
(−, N) (đó là hàm tử phản
biến, tuyến tính, khớp trái trên phạm trù các A−môđun). Khi đó môđun
dẫn xuất phải thứ i của F
1
đối với M cũng chính là môđun Ext
i
A
(M, N).
Do đó ta có thể tính môđun Ext
i
A
(M, N) như sau:
Cách 2: Lấy một giải xạ ảnh của M

d
1
−→ P

)
∗
−−→ Hom
A
(P
1
, M)
(d
1
)
∗
−−→
Khi đó
Ext
i
A
(M, N) = Ker((d
i
)
∗
)/ Im((d
i−1
)
∗
),
trong đó (d
i
)
∗
= F

1.3 Vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein
Những kiến thức ở mục này được tham khảo từ sách [6].
11
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là A−môđun. Khi đó
a) Một phần tử a ∈ A được gọi là M−chính quy nếu ax = 0 với mọi
0 = x ∈ M (nghĩa là, nếu ax = 0 với x ∈ M thì kéo theo x = 0).
b) Một dãy các phần tử a
1
, . . . , a
n
∈ A được gọi là một M−dãy (hoặc
M−dãy chính quy) nếu nó thỏa mãn các điều kiện:
i) M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0, và
ii) a
i
là phần tử M/(a
1
, . . . , a
i−1
)M−chính quy, với mọi i = 1, . . . , n.
Định nghĩa 1.3.2. Cho M là A−môđun và a
1
, . . . , a
n
là các phần tử
thuộc iđêan I của A. Ta nói a

depth(M).
Định nghĩa 1.3.5. (Môđun Cohen-Macaulay) Cho (A, m) là một vành
địa phương Noether và M là một A−môđun hữu hạn sinh. M được gọi
là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0, hoặc M = 0 và depth(M) =
dim(M). Nếu (A, m) là một A−môđun Cohen-Macaulay thì ta nói A là
vành Cohen-Macaulay.
12
Trong trường hợp A là vành giao hoán (không nhất thiết địa phương),
thì ta nói A là vành Cohen-Macaulay nếu mọi địa phương hóa của A là
vành Cohen-Macaulay.
Định nghĩa 1.3.6. (Chiều nội xạ) Cho A là một vành giao hoán, M
là một A−môđun. Khi đó chiều nội xạ của M (kí hiệu là injd(M) hoặc
injd
A
(M)) là số nguyên không âm n nhỏ nhất sao cho tồn tại một phép
giải nội xạ E
•
của M với E
i
= 0 với mọi i > n. Nếu không có số n như
vậy thì ta nói chiều nội xạ của M là vô hạn (tức là injd(M) = ∞).
Định nghĩa 1.3.7. (Vành Gorenstein) Một vành Noether địa phương
(A, m) được gọi là vành Gorenstein nếu injd
A
(A) < ∞.
Trong trường hợp A là vành giao hoán (không nhất thiết địa phương),
thì ta nói A là vành Gorenstein nếu mọi địa phương hóa của A là vành
Gorenstein.
Chú ý 1.3.8. Theo [6, Định lý 18.1], thì một vành Gorenstein là vành
Cohen-Macaulay.

Thật vậy, rõ ràng ta có U
i
− U
i+1
⊆ U
i
. Hơn nữa, lấy tùy ý
p ∈ U
i
− U
i+1
, khi đó ta có i ≤ ht(p) < i + 1. Suy ra ht(p) = i,
14
nghĩa là p là phần tử tối tiểu của U
i
.
Mệnh đề 2.1.3. Cho U

và U là các tập con của Spec(A) (với U

⊆ U)
sao cho U − U

là đáy đối với U. Giả sử M là một A−môđun có
Supp(M) ⊆ U. Với mỗi p ∈ U − U

, ta kí hiệu g
p
: M → M
p

với U. Như vậy p là phần tử cực tiểu của V (ann(Am)). Từ đó và theo
Mệnh đề 1.1.7 ta thấy p phải thuộc vào tập Ass(Am). Mà rõ ràng rằng
Ass(Am) là tập hợp hữu hạn. Vậy ta có g
p
(m) = 0 với tất cả chỉ trừ một
số hữu hạn các p ∈ Ass(Am) (⊆ U − U

).
Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1.4. Tồn tại một A−đồng cấu môđun ξ xác định như sau
ξ : M −→

p∈U−U

M
p
, m −→

p∈U−U

m
1
trong đó, nếu m ∈ M, thì các thành phần của ξ(m) trong các hạng tử
trực tiếp M
p
là
m
1
.
Chú ý 2.1.5. Giả sử X là một tập con của Spec(A) và N là một

A
(x)  q với mọi x ∈ N).
Mệnh đề 2.1.6. Dùng các ký hiệu ở Mệnh đề 2.1.3 và Hệ quả 2.1.4. Khi
đó các phát biểu sau là đúng.
(i) Supp
A
(Ker ξ) ⊆ U

;
(ii) Nếu p ∈ U − U

và xem M
p
như một A
p
−môđun, thì linh hóa tử
của phần tử khác không bất kì của M
p
đều là iđêan pA
p
−nguyên sơ; và
do đó khi xem M
p
như một A−môđun thì mỗi phần tử khác không của
M
p
bị giết bởi một lũy thừa nào đó của p.
(iii) Supp
A
(Coker ξ) ⊆ U

Ann
A
p
(
m
t
) = Ann
A
p
(
m
1
).
Do đó từ Mệnh đề 1.1.3, ta có
Ann
A
p
(
m
t
) = ((0 : m)
A
)A
p
.
16
Vì đây là một iđêan thực sự của A
p
, nên (0 : m)
A


p∈U−U

M
p
.
Khi đó ta có
Coker ξ = M
0
/ξ(M),
vì thế Coker ξ là một thương của M
0
. Do đó
Supp(Coker ξ) ⊆ Supp(M
0
).
Giả sử q /∈ Supp(M), lúc đó M
q
= 0. Sử dụng các đẳng cấu
N
q
∼
=
N ⊗
A
A
q
với N là A−môđun nào đó, ta thu được đẳng cấu sau
đây
(M

A
q
∼
=
(M ⊗
A
A
q
) ⊗
A
A
p
= (M
q
) ⊗
A
A
p
= 0.
Do đó (M
0
)
q
= 0, suy ra q /∈ Supp(M
0
).
Do đó Supp(M
0
) ⊆ Supp(M), và vì vậy Supp(Coker ξ) ⊆ U. Từ đó
kết hợp với Chú ý 2.1.5, ta chỉ cần chỉ ra rằng với mỗi x ∈ M

i
∈ U − U

) với mọi
17
i = 1, . . . , n và x có các thành phần bằng không trong các hạng tử trực
tiếp khác. Theo phần cuối của (ii), suy ra tồn tại một số nguyên dương
k
i
sao cho p
k
i
i
⊆ (0 :
m
i
t
i
)
A
với mọi i = 1, , n. Bây giờ chỉ cần chỉ ra rằng
(ξ(M) : x)
A
không chứa trong bất kì phần tử p của U − U

. Ta xét hai
trường hợp sau:
a) p /∈ {p
1
, . . . , p

(
m
j
t
j
) = 0 với mọi j = 1, , n. Từ đó
dẫn đến a
N
x = 0, và vì vậy a
N
∈ (ξ(M) : x)
A
− p.
b) p bằng một trong các p
1
, , p
n
, giả sử p = p
1
, khi đó bằng lập luận
tương tự như ý a), tồn tại một phần tử
a ∈

n

j=2
p
j

− p

∈ U − U

(Nếu t
1
a
N
x = ξ(a
N
m
1
), thì
t
1
a
N
∈ (ξ(M) : x) − p
1
,
chứng minh hoàn tất.) Khi đó có một phần tử
b ∈
m

j=2
q
j
− p
1
18
và một số nguyên K > 0 sao cho ξ(b
K

Định nghĩa 2.2.1. Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1 = 0, và M là
một A−môđun. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, ta đặt
U
i
(M) = {p ∈ Supp(M) | ht
M
(p) ≥ i}
trong đó ht
M
(p) = dim
A
p
(M
p
) (là kí hiệu ở 1.1.10). Chú ý rằng
U
0
(M) = Supp(M); U
i+1
(M) ⊆ U
i
(M); và
U
i
(M) − U
i+1
(M) là đáy đối với U
i
(M).
Ta đặt M

- Bước giả thiết quy nạp: Giả sử n ≥ 0 và ta đã xây dựng được một phức
có dạng
M
−2
d
−2
−−→ M
−1
d
−1
−−→ M
0
−→ −→ M
n−2
d
n−2
−−→ M
n−1
trong đó nó có tính chất Supp(Coker(d
n−2
)) ⊆ U
n
(M)).
19
Đặt N = Coker(d
n−2
). Bây giờ ta áp dụng các Mệnh đề 2.1.3, Hệ quả
2.1.4 và Mệnh đề 2.1.6 cho môđun N và các tập con U
n+1
(M) ⊆ U

p
(1)
(ở đây ta sử dụng quy ước nếu cần thiết rằng tổng trực tiếp của một họ
rỗng các A−môđun là môđun không). Theo Mệnh đề 2.1.3 và Hệ quả
2.1.4, ta suy ra rằng có một A−đồng cấu môđun
ξ : N → M
n
, n −→ ξ(n) =

p∈Supp(M)
ht
M
(p)=n
n
1
,
nghĩa là với n ∈ N thì các thành phần của ξ(n) trong hạng tử trực tiếp
N
p
là
n
1
. (Nếu M
n
= 0, dĩ nhiên ta lấy ξ là đồng cấu không). Bây giờ, ta
định nghĩa đồng cấu d
n−1
: M
n−1
−→ M

d
n−1
(d
n−2
(x)) = ξπ(d
n−2
(x)) mà π(d
n−2
(x)) = d
n−2
(x) + Im(d
n−2
) = 0
trong N = Coker(d
n−2
). Do đó ξπ(d
n−2
(x)) = 0 hay d
n−1
d
n−2
(x) = 0).
Hơn nữa Coker(d
n−1
) = Coker(ξ), do đó theo Mệnh đề 2.1.6, ta có
Supp(Coker(d
n−1
)) ⊆ U
n+1
(M).

(2) như trên để ám chỉ một phức Cousin của A−môđun M; thêm nữa,
nó sẽ rất có ích khi ta viết M
−2
= 0, M
−1
= M và d
−2
: M
−2
−→ M
−1
là đồng cấu không, như đã xây dựng ở trên. Với mỗi i ≥ −1, ta sẽ kí
hiệu môđun đối đồng điều thứ i của C
A
(M) bởi H
i
(M); nói cách khác
H
i
(M) = Ker(d
i
)/ Im(d
i−1
).
2.3 Tính chất của phức Cousin cho một môđun
Mục này sẽ trình bày một số tính chất của phức Cousin C
A
(M) của
A−môđun M
C

= 0 thì
M
n+1
=

p∈Supp(M)
ht
M
(p)=n+1
(Coker(d
n−1
))
p
= 0
(bởi vì Coker(d
n−1
) là môđun thương của M
n
). Vì vậy bằng qui nạp ta
suy ra được M
n+r
= 0 với mọi r > 0.
Chú ý 2.3.2. (i) Khi dim
A
(M) = s < ∞ thì hiển nhiên ta có
U
s+1
(M) = {p ∈ Spec(A) | dim
A
p


p∈Supp(M)
ht
M
p=n
N
p
trong đó N = Coker(d
n−2
). Đặc biệt, khi n = 0, ta có
M
0
=

p∈min(M)
M
p
.
Một số tính chất sau đây ta có thể dễ thấy từ định nghĩa phức Cousin,
nhưng vì chúng được dùng nhiều về sau nên vẫn được đưa ra ở đây cho
tiện lợi.
Mệnh đề 2.3.3. Kí hiệu
π : M
n−1
→ Coker(d
n−2
) = M
n−1
/ Im(d
n−2

và p ∈ Supp(M) có
ht
M
(p) = 0 thì d
−1
(m) nhận m/1 làm một thành phần của nó trong
hạng tử trực tiếp M
p
của M
0
.
Mệnh đề 2.3.4. Nếu n ≥ 0 thì Supp(Coker(d
n−2
)) ⊆ U
n
(M). Do đó,
nếu n ≥ 0, y ∈ Coker(d
n−2
) và p ∈ Spec(A) − U
n
(M), thì (0 : y)
A
⊆ p
hay Ann
A
(y)  p.
Chứng minh. Theo định nghĩa phức Cousin ta có Supp(Coker(d
n−2
)) ⊆
U