1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Trong thế kỷ hai mươi, lý thuyết môđun đã đạt được nhiều thành tựu
rực rỡ. Cấu trúc của nhiều lớp môđun đã được thiết lập và được áp dụng vào
các lĩnh vực khác của toán học hiện đại.
Do nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, vào những năm giữa thế kỷ hai
mươi, lý thuyết nửa vành và lý thuyết nửa môđun trên nửa vành ra đời và đã thu
hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Dựa trên những thành
tựu đạt được về lý thuyết môđun, nhiều kết quả về môđun đã được chuyển sang
nửa môđun với những sự thay đổi thích hợp và khá tinh tế.
Hiện nay sinh viên chuyên ngành sư phạm toán trường Đại học Hùng
Vương mới chỉ có điều kiện tiếp xúc với lý thuyết môđun, chưa có điều kiện
tiếp xúc với lý thuyết nửa môđun. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một
số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị và
nhằm cung cấp cho các bạn đọc một tài liệu về lý thuyết nửa môđun để các
bạn có thể nghiên cứu sâu hơn, chúng tôi chọn đề tài
“Một số tính chất cơ
bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị” cho khóa luận tốt
nghiệp đại học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Hệ thống, phân tích, làm rõ và mở rộng một số tính chất cơ bản của nửa
môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống kiến thức về cấu trúc và tính chất đại số của vành, từ đó hệ
thống, nghiên cứu các tính chất đại số của nửa vành.
Hệ thống và chứng minh một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên
nửa vành giao hoán có đơn vị.

2

2.5. Nửa môđun tự do
2.6. Nửa môđun xạ ảnh
2.7. Nửa môđun nội xạ

4
CHƯƠNG 1.

,
+ = +
( )
z x y zx zy
.
iv)
= = ∀ ∈
0 0 0
,
x x x R
.
R
là nửa vành giao hoán có đơn vị nếu phép nhân giao hoán và có
phần tử trung lập. Phần tử trung lập đó gọi là phần tử đơn vị của
R
và thường
được kí hiệu là
1
.
Ví dụ 1.1.2.
1) Tập hợp
ℕ
các số tự nhiên cùng với phép cộng và phép nhân thông
thường là một nửa vành giao hoán có đơn vị.
2) Tập hợp các ma trận vuông cấp
n
,
>
1
n

là một nửa vành giao hoán có đơn vị.
Định lý 1.1.3.
Cho
R
là nửa vành giao hoán có đơn vị. Với mọi
∈
, , , , :
a b c d e R

i)
+ = + =
0 0
.
a a a

ii)
=
1
.
a a

iii)
(
)
(
)
   
+ + = + +
   
.

R
sao cho
+ =
0
a b
.
Mệnh đề 1.1.5.
Nghịch đảo cộng của một phần tử của nửa vành có đơn vị
R
là duy
nhất.
Chứng minh.
Trong nửa vành có đơn vị
R
, giả sử
b
là một nghịch đảo cộng của
a
.
Nếu tồn tại
'
b
cũng là nghịch đảo cộng của
a
thì ta có:
+ = = +
0
'
a b a b
.

( )
V R
với
− =
0 0
.
ii)
( )
V R
là một vị nhóm con của vị nhóm cộng
+
( , )
R
.
iii)
R
là một vành khi và chỉ khi
=
( )
V R R
.
iv)
R
không có tổng không khi và chỉ khi
=
{0}
( ) .
V R

Định nghĩa 1.1.7.

vì
+
⊂
( ) ( )
V R K R
.
iii)
+
( )
K R
là một vị nhóm con của vị nhóm cộng
+
( , )
R
.
Nửa vành có đơn vị
R
được gọi là giản ước được nếu
+
=
( )
K R R
.
Ví dụ 1.1.9.
1) Nửa vành có đơn vị
R
mà không là một vành, là giản ước được. Vì
vậy ta có thể có
+
= =

'
r
được gọi là nghịch đảo của
r
trong
R
, kí hiệu:
−
1
r
.
7
Mệnh đề 1.1.11.
Nghịch đảo của một phần tử (nếu có) là duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử
'
r
là nghịch đảo của
r
. Nếu
''
r
cũng là nghịch đảo của
r
thì
ta có:
= =
1
' ''

.
Mệnh đề 1.1.13.
Cho nửa vành
≠
{0}
R
. Kí hiệu
( )
U R
là tập tất cả các phần tử khả
nghịch của
R
. Khi đó:
≠ ∅

) ( )
i U R
.
≠

) ( )
ii U R R
.
Chứng minh.
i)
= ⇒ ∈ ⇒ ≠ ∅
1 1 1 1
. ( ) ( ) .
U R U R


R
không phải là nửa vành có tổng không. Khi đó tồn tại một
phần tử khác không
a
của
R
có một nghịch đảo cộng là
−
a
.
8
Nếu
≠ ∈
0
c R
thì
− − −
+ − = + − = =
1 1 1
0 0
( ) ( ( ))
c ca a ca a a ca
và vì
vậy
c
cũng có một nghịch đảo cộng. Vậy
+
( , )
R
là một nhóm, nên

R
nếu
A
cùng với hai phép toán cảm sinh trên
A

là một nửa vành.
Định lý 1.2.2.
Giả sử
A
là một bộ phận khác rỗng của một nửa vành
R
. Các điều
kiện sau đây là tương đương:
i)
A
là một nửa vành con của
R
.
ii) Với mọi
∈
,
x y A
,
+ ∈
x y A
,
∈
xy A
và

0 0
a
với mọi
∈
a A
.

⇒
) )
ii i
Các phép toán cảm sinh trên
A
cũng có tính chất kết hợp và
phân phối. Do đó
A
thỏa mãn 4 điều kiện của một nửa vành. Suy ra
A
là
một nửa vành con của
R
.
□

Ví dụ 1.2.3.
1) Bộ phận
{0}
chỉ gồm có phần tử không và bộ phận
R
là hai nửa
vành con của

là giao
của chúng. Ta có
≠ ∅
A
vì phần tử trung lập
0
của
R
thuộc
α
A
với mọi
α
∈
I
, do đó
∈
0
A
.
Với
∈
, ,
x y z A
ta có
α
α
∈ ∀ ∈
, , ,
x y z A I

iv)
= =
0 0 0
x x
.
Suy ra
A
thỏa mãn các điều kiện của một nửa vành con. Vậy
A
là một
nửa vành con.
□

Giả sử
U
là một bộ phận của một nửa vành
R
. Thế thì
U
chứa trong
ít nhất một vành con của
R
, cụ thể
R
. Theo định lý 1.2.4, giao của tất cả các
nửa vành con của
R
chứa
U
là một nửa vành con của

Một nửa vành con
I
của một nửa vành
R
được gọi là iđêan của
R

nếu và chỉ nếu
I
vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của
R
.
Từ định nghĩa ta có kết quả sau
Định lý 1.3.2.
10
Một bộ phận
I
khác rỗng của một nửa vành là một iđêan của
R
nếu
và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
i)
+ ∈ ∀ ∈

, ,
x y I x y I
.
ii)
∈
xa I

là một nửa vành. Một tập hợp con
I
khác rỗng của
R
được
gọi là một iđêan có tính trừ nếu
I
thỏa mãn các điều kiện sau:
i)
I
là một iđêan.
ii) Nếu
∈ + ∈

,
a I a b I
thì
∈
.
b I

Một iđêan
I
của
R
được gọi là thực sự nếu
≠
I R
.
Định lý 1.3.5.

; nếu
=
1 2
{ }
, , ,
n
U a a a
thì
U
gọi là iđêan sinh bởi các phần tử
1 2
, , ,
n
a a a
. Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính.

11
Định lý 1.3.6.
Giả sử
R
là một nửa vành giao hoán có đơn vị và
∈
1 2
, , ,
n
a a a R
.

= + + +
1 1 2 2

n n
b y a y a y a
là hai
phần tử tùy ý thuộc
I
và
x
là một phần tử tùy ý thuộc
X
. Ta có:
+ = + + + + + + +
+ + + + + + +
= + + + + + + ∈
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
= (

( ) ( )
) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
n n n n
n n n n
n n n
a b x a x a x a y a y a y a
x a y a x a y a x a y a
x y a x y a x y a I


Do mọi iđêan
I
chứa
1 2
, , ,
n
a a a
thì cũng chứa
1 1 2 2
, , ,
n n
x a x a x a

với
∈
1 2
, , ,
n
x x x X
nên
I
chứa
+ + +
1 1 2 2

n n
x a x a x a
.
Kết luận

I R

Định nghĩa 1.3.8.
Giả sử
R
là một nửa vành. Một quan hệ tương đương
~
trên
R
được
gọi là quan hệ tương đẳng nếu nó bảo toàn các phép toán trên
R
, tức là:
12

⇒
+ +
~ ~ , ~ , ~ .
x y a x a y ax ay xa ya

Định lý 1.3.9.
Giả sử
R
là một nửa vành. Với mỗi một iđêan
I
bất kì, tồn tại một
quan hệ tương đẳng
~
trên
R

:
+ = + ⇒
~ .
x a x a x x

• Tính đối xứng: với mọi
∈ ∈
, , , :
x y R a b I⇔ + = + ⇔ + = +
⇒
~ ~
x y x a y b y b x a y x

• Tính bắc cầu: với mọi
∈ ∈
, , , , , , :
x y z R a b c d I⇔ + = +
⇔ + = +
~
~
x y x a y b
y z y c z d

⇒ + + = + + = + +

ua ub I
do đó
~
ux uy
.
Tương tự
~
xu yu
.
Vậy
~
là một quan hệ tương đẳng.
Nếu
0
là phần tử trung lập của
+
( , )
R
thì với mỗi
∈
x R
,
⇔ ∃ ∈ + =
0
~ , : .
x a b I x a b

Nếu
I
là một iđêan có tính trừ thì điều này tương đương

của
I
trong
R
.
Ta trang bị cho
/
R I
hai phép toán xác định bởi:

+ = +
=
. .
x y x y
x y xy

Định lý 1.3.10.
Nếu
I
là một iđêan của nửa vành
R
, thì:
i) Lớp
xy
chỉ phụ thuộc vào các lớp
x
và
y
mà không phụ thuộc vào
sự lựa chọn của các phần tử


' ~ ' ; ,
y y y c y d c d I

Suy ra
+ + + = + + +
' ' ' '
x y x c ay ac xy xd by bd
.
Do
I
là một iđêan nên từ
∈
, , ,
a b c d I
ta có

∈
' , ', , , ,
x c ay ac xd by bd I
.
Từ đó suy ra
' ' ~
x y xy
.
ii) Hai phép toán xác định trên
/
R I
thỏa mãn 4 tiên đề của định nghĩa
1.1.1. do đó

R S
f

iii)
+ = +
( ') ( ) ( ')
f r r f r f r
và
=
( ') ( ) ( ')
f rr f r f r
với
∀ ∈
, '
r r R
.
Nếu
=
R S
thì đồng cấu
f
gọi là một tự đồng cấu của
R
.
Một đồng cấu mà là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì tương ứng
được gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
Ví dụ 1.4.2.
1) Giả sử
A
là nửa vành con của nửa vành

R
đến nửa vành thương
/
R I
.
Đồng cấu này còn là toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
Định lý 1.4.3.
Giả sử

, ,
R S T
là những nửa vành,
→
:
f R S
và
→
:
g S T
là
những đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích
→
:
gf R T
cũng là một đồng cấu.
Chứng minh.
Ta có:
i)
= = =
0 0 0 0

là một đồng cấu.
□

Định lý 1.4.4.
Giả sử
→
:
f R S
là một đồng cấu từ nửa vành
R
đến nửa vành
S
,
A
là một nửa vành con của
R
và
B
là một iđêan của
S
. Khi đó:
i)
( )
f A
là một nửa vành con của
S
.
ii)
−1
( )


− − − −
+ = + ∈
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
f x f y f x y f B
.
Với mọi
− −
∈
1 1
( ) ( )
f x f B
và mọi
∈
r R
ta có:

− − −
= ∈
1 1 1
( ) ( ) ( )
rf x f rx f B
.
Vậy
−1
( )
f B
là một iđêan của
R

Với mọi
∈
( ), ( ) Im
f x f y f
ta có
+ = + ∈
( ) ( ) ( ) Im
f x f y f x y f
và
= ∈
( ) ( ) ( ) Im
f x f y f xy f
. Do đó
Im
f
là một nửa vành con của
S
.

16
•

Ker
f
là một iđêan của
R
:
Với mọi
∈
Ker

af x f ax
suy ra
∈
Ker
ax f
.
Vậy
Ker
f
là một iđêan của
R
.
□

Định lý 1.4.6.
Giả sử
→
:
f R S
là một đồng cấu từ nửa vành
R
đến nửa vành
S
.
Thế thì
f
là một toàn cấu nếu và chỉ nếu
=
Im .
f S

Cho
R
là một nửa vành có đơn vị và
M
là một vị nhóm giao hoán
với phần tử trung lập
0
M
, cùng với một ánh xạ
µ
× →
:
R M M
tạo nên
một phép toán nhân ngoài được xác định bởi:
µ
=
( , )
rm r m
với mọi
∈ ∈
,
r R m M
. Với phép cộng vốn có trong
M
và phép nhân ngoài đã được
xác định, thì
M
được gọi là một
R

0 0 0
M M M
r r
.
Chú ý 2.1.2.
Nếu tiên đề iii) được thay bởi
=
( ') '( )
rr m r rm
thì
M
được gọi là
R
– nửa môđun phải. Và ta thấy ngay nếu nửa vành
R
giao hoán thì hai khái
niệm nửa môđun trái và nửa môđun phải là như nhau. Trong toàn bộ phần
sau, ta chỉ xét các lớp nửa môđun trái, và để thuận tiện ta sẽ dùng từ nửa
môđun thay cho nửa môđun trái.
Ví dụ 2.1.3.
1) Cho
=
R
ℕ
là nửa vành các số tự nhiên,
A
là một vị nhóm giao
hoán. Khi đó ánh xạ
ϕ
× →

( , )
r s rs
֏

tiên đề trên. Do đó
R
là một nửa môđun trên chính nó.
Định nghĩa 2.1.4.
Nếu
m
là một phần tử của
R
– nửa môđun
M
thì một phần tử
∈
'
m M

thỏa mãn
+ =
0
'
M
m m
là một nghịch đảo cộng của
m
.
Mệnh đề 2.1.5.
Nghịch đảo cộng của

Vậy nghịch đảo cộng của
m
là duy nhất.
□

Ký hiệu tập tất cả các phần tử có nghịch đảo cộng của
M
là:

{
}
= ∈ ∃ ∈ + =
0
( ) ' : '
M
V M m M m M m m
.
Nhận xét 2.1.6.
i) Vì
∈
0
M
M
nên
≠ ∅
( )
V M
.

M

R
– nửa môđun con của
M
, nếu bản thân
N
cùng với hai phép toán
19
trong
M
thu hẹp vào
N
, là một
R
– nửa môđun. Khi
N
là một nửa môđun
con của
M
, thì ta nói rằng
M
là một nửa môđun mở rộng của
N
.
Ví dụ 2.1.8.
1) Mỗi
R
– nửa môđun
M
luôn chứa hai nửa môđun con tầm thường
là môđun con không

giao hoán có đơn vị
≠
1 0
đều là
một nửa môđun con của
M
, khi xem
M
như một nửa môđun trên chính nó.
4) Nếu
A
là một tập con khác rỗng của một
R
– nửa môđun
M
và
nếu
K

∈
iđêan(
R
) thì tập hợp các tổng hữu hạn dạng
+ + ∈
1 1
(
k k i
r m r m r K
và
∈

. Nếu
(
)
=
I M M
thì
M

được gọi là lũy đẳng cộng tính.
Định nghĩa 2.1.10.
Tập con
N
của
R
– nửa môđun
M
là được gọi trừ được nếu
+ ∈
'
m m N
và
∈
m N
kéo theo
∈
'
m N
với mọi
∈
, '

M
là một
R
– nửa môđun con
của
M
nếu và chỉ nếu
∈
0
M
M
và
+ ∈
ax by N
với mọi
∈
,
x y N
và
∈
,
a b R
.
Chứng minh.
Điều kiện cần là hiển nhiên. Bây giờ ta đi chứng minh điều kiện đủ. Vì
+ = +
1 1
. .
x y x y
với mọi

trở thành một
R
– nửa môđun.
□

Chú ý 2.1.13.
Nếu
N
là một nửa môđun con của
R
– nửa môđun
M
và nếu
∈
m M
thì
= ∈ ∈
{ } { }
: |
N m a R am N
là một iđêan trái của
R
.
Nói chung, nếu
A
là một tập con khác rỗng của
M
thì chúng ta sẽ đặt

(

R
.
Mệnh đề 2.1.14.
Nếu
N
và
'
N
là các nửa môđun của một
R
– nửa môđun
M
và nếu

,
A B
là các tập con khác rỗng của
M
thì :
i)
⊆
A B
kéo theo
(
)
(
)
⊆
: :
N B N A

Chứng minh.
i) Với
⊆
A B
ta có:
= ∩ ∈
∩ ∈ ∈ ∈
{
= {
( : ) ( : ) | }
( | , }
N A N m m A
a R am N m A

= ∩ ∈
∩ ∈ ∈ ∈
∩ ∈ ∈ ∈ ∩ ∈ ∈ ∈
{
= {
= { {
( : ) ( : ) | }
( | , }
( | , } ( | , \ }
N B N m m B
a R am N m B
a R am N m A a R an N n B A
Do đó
(
)
(

)
⇔ ∈ ∩
A
: ' : .
r N A N

iii) Nếu
(
)
(
)
∈ ∩
: :
r N A N B
thì
(
)
+ ∈ ∀ ∈ ∈

' , '
r m m N m A m B

Suy ra
(
)
∈ +
: .
r N A B

Vậy

là một
S
– nửa môđun thì nó cũng là một
R
– nửa môđun với phép nhân vô
hướng được xác định bởi
(
)
=
rm f r m
với mọi
∈
r R
và mọi
∈
m M
.
Nói riêng, nếu
M
là một
S
– nửa môđun thì
M
là
R
– nửa môđun
đối với mỗi nửa vành con
R
của
S

2) Nếu
M
là một
R
– nửa môđun và
A
là một tập hợp khác rỗng thì
A
M
là một
R
– nửa môđun với phép cộng và phép nhân vô hướng được
định nghĩa theo phần tử: nếu
∈
,
A
f g M
và
∈
r R
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
+ = +

R
là một nửa vành bất khả đối nguyên,
M
là một
R
– môđun
và
∞
là một phần tử không nằm trong
M
thì có thể định nghĩa
R
– nửa
môđun
∞
{ }
M
đối với tập hợp
∪ ∞
{ }
M
mà trên nó các phép toán cộng và
nhân vô hướng từ
M
được mở rộng bằng cách đặt
+ ∞ = ∞ + = ∞
' '
m m

với mọi

∈
}
m M
là một iđêan của
R
.
Hơn nữa, nếu
I
là một iđêan tùy ý của
R
được chứa trong
0
( , )
M
thì
M
là
R
I
– nửa môđun với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi

=
( )
r
I
m rm
với mọi
∈
r R
và

. Khi đó
~
là một quan hệ tương đẳng trên
M
.
Kí hiệu lớp tương đẳng của
m
là
+
m N
và tập tất cả các lớp tương
đẳng đó là
/
M N
.
/
M N
cùng với phép toán hai ngôi
⊕
xác định bởi:
+ ⊕ + = + +
( ) ( ' ) '
m N m N m m N

trở thành một nửa nhóm cộng giao hoán với phần tử đơn vị
+
0
M
N
.

: ( / ) /
f R M N M N

cho bởi
+ = +
( , )
f r m N rm N
.
Khi đó
f
là một ánh xạ và nó trở thành một phép nhân ngoài các phần
tử của
R
với các phần tử của
/
M N
.
/
M N
cùng với hai phép toán xác định như trên được gọi là một nửa
môđun thương của
M
trên
N
.
Ví dụ 2.1.18.
Đối với iđêan
m
ℕ
của nửa vành số tự nhiên

~
t
là quan hệ xác định bởi
~ '
t
m m
nếu và
chỉ nếu
=
'
m m
.
Quan hệ phổ dụng
~
u
là quan hệ xác định bởi
~ '
u
m m
với mọi
∈
, ' .
m m M

Kí hiệu tất cả các quan hệ
R
– tương đẳng trên
M
bởi
−

N
là một họ tùy ý các nửa
môđun con của một
R
– nửa môđun
M
. Khi đó kí hiệu
α
α
∈
∑
I
N
là tập
gồm tất cả các tổng hữu hạn các phần tử của
α α
∈
I
N
∪
:

α δ γ δ δ γ γ
α
δ γ
∈
= + + ∈ ∈ ∈
∑
{
| , , ; , , }

M
. Khi đó ta có:
i)
α α
∈
I
N
∩
và
α
α
∈
∑
I
N
là các
R
– nửa môđun con của
M
.
25
ii) Nếu họ
α α
∈
{ }
I
N
lồng nhau (tức là với
α β
∈

∩
và
α
α
∈
∈
∑
0
M
I
N
.
Bây giờ giả sử
∈
,
a b R
và
α α
∈
∈
,
I
x y N
∩
. Khi đó
α
∈
,
x y N
và

N
∩
là một
R
– nửa môđun con của
M
.
Tiếp tục giả sử
∈
,
a b R
và
α
α
∈
∈
∑
,
I
x y N
. Dễ thấy rằng tồn tại tập
con
J
hữu hạn của
I
để:
α
α
∈
=


α α α α α α
α α α α α
∈ ∈ ∈ ∈ ∈
+ = + = + = ∈
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( )
J J J J J
ax by a x b y ax by z N
.
Do đó
α
α
∈
∑
I
N
là một
R
– nửa môđun con của
M
.
ii) Giả sử
α α
∈
∈
,
I
x y N
∪

N
∪
là một
R
– nửa môđun con của
M
.
□

2.2.2. Nửa môđun con sinh bởi một tập hợp