Bộ giáo dục và đào tạo Viện kHoa học&công nghệ Việt nam
Viện toán học
Nguyễn Thị Dung
Về cấu trúc của một số lớp
môđun Artin
trên vành giao hoán
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62.46.05.01
Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học
Hà Nội 2006
Công trình đ-ợc hoàn thành tại Viện Toán học thuộc Viện Khoa học và Công
nghệ Việt Nam.
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Tự C-ờng
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án sẽ đ-ợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Nhà n-ớc họp tại Viện
Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Vào hồi giờ ngày tháng năm 2006
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Th- viện Quốc gia.
- Th- viện Viên Toán học.
Các công trình liên quan đến luận án
1. N. T. Dung and L. T. Nhan (2004), "On generalized co-Cohen-Macaulay and co-
Buchsbaum modules over Commutative rings", Vietnam J. Math., 32(1), pp. 113-
118.
2. N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan (2005), "On generalized co-Cohen-
Macaulay and co-Buchsbaum modules", accepted for publication in Algebra
Colloquium.
3. N. T. Dung (2005), "On sequentially co-Cohen-Macaulay modules", accepted for
publication in Algebra Colloquium.

Cohen-Macaulay để cho ta những lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn
có nhiều tính chất t-ơng tự lớp môđun Cohen-Macaulay. Tr-ớc tiên phải
kể đến lớp môđun Buchsbaum và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng do
các nhà toán học W. Vogel và J. Str
ă
uckrad, Nguyễn Tự C-ờng, P. Schenzel
và Ngô Việt Trung phát hiện vào những năm 1970, liên quan tới giả thuyết
của D. A. Buchsbaum đ-ợc phát biểu lại nh- sau: I(x; M) là hằng số với
mọi hệ tham số x của M.
Lý thuyết môđun Buchsbaum ra đời từ câu trả lời phủ định cho giả thuyết
trên và lý thuyết môđun Cohen-Macaulay suy rộng xuất hiện từ việc nghiên
cứu lớp môđun thoả mãn tính chất sup
x
I(x; M) < 1; trong đó cận trên
lấy trên tập tất cả các hệ tham số x của M. Ngày nay, cấu trúc của ba
lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đã trở
thành quen biết nhờ hàng loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán
học trên thế giới và Việt Nam.
Một trong những h-ớng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay
là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên đ-ợc đ-a ra bởi R. P. Stanley
2
cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó đ-ợc P. Schenzel, Nguyễn
Tự C-ờng và Lê Thanh Nhàn định nghĩa cho tr-ờng hợp vành địa ph-ơng.
Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sự lớp các môđun
Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã đ-ợc nhiều nhà toán học nghiên
cứu thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa ph-ơng hóa, đối đồng điều
địa ph-ơng, bội, và hiện nay, lớp môđun này vẫn đang đ-ợc quan tâm
nghiên cứu.
Tóm lại, trong phạm trù các môđun Noether, cùng với lớp môđun
Cohen-Macaulay, các lớp môđun Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng,

ngẫu với một số kết quả đã biết trong phạm trù các môđun Noether, nh-ng
việc chứng minh chúng đòi hỏi phải có sự thận trọng nhất định và mang
tính đặc thù của môđun Artin.
Các công cụ chính đ-ợc sử dụng để nghiên cứu trong luận án, ngoài
ph-ơng pháp nghiên cứu môđun Artin của R. Y. Sharp, còn có lý thuyết
biểu diễn thứ cấp giới thiệu bởi I. G. Macdonald, chiều Noether nghiên cứu
bởi R. N. Roberts, D. Kirby. Đặc biệt, các kết quả gần đây của Nguyễn
Tự C-ờng, Lê Thanh Nhàn về hệ tham số, số bội cho môđun Artin, chiều
Noether của môđun đối đồng điều địa ph-ơng và lý thuyết đồng điều địa
ph-ơng của Nguyễn Tự C-ờng, Trần Tuấn Nam là những công cụ đ-ợc dùng
nhiều trong luận án.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án đ-ợc chia làm 4 ch-ơng.
Để tiện theo dõi, chúng tôi dành Ch-ơng 1 để tóm tắt lại những kết quả
chung nhất về môđun Artin đ-ợc sử dụng trong các ch-ơng tiếp theo.
Ch-ơng 2, đ-ợc viết dựa theo các công trình [1] và [2], dành để nghiên
cứu hai lớp môđun Artin trên vành giao hoán, địa ph-ơng, Noether đ-ợc gọi
là môđun đối Buchsbaum và môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng. Hai lớp
môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng có nhiều
tính chất t-ơng tự nh- những tính chất của môđun Buchsbaum và môđun
Cohen-Macaulay suy rộng. Cụ thể, chúng tôi đ-a ra một số đặc tr-ng và
tính chất của hai lớp môđun này qua đối dãy yếu, hệ tham số đối chuẩn tắc
và đồng điều địa ph-ơng (Định lý 2.2.5 và Định lý 2.3.5). Ngoài ra, việc
nghiên cứu hai lớp môđun đối Buchsbaum và đối Cohen-Macaulay suy rộng
trong tr-ờng hợp vành không nhất thiết địa ph-ơng cũng đ-ợc xét đến trong
4
ch-ơng này.
Ch-ơng 3 nghiên cứu một mở rộng khác của lớp môđun đối Cohen-
Macaulay đ-ợc gọi là môđun đối Cohen-Macaulay dãy. Lớp môđun này
chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng có nhiều tính chất
đẹp đẽ. Nội dung ch-ơng này đ-ợc viết dựa theo [3], trong đó đ-a ra các

có tính chất Ann
R
M=pM = p; với mọi iđêan nguyên tố p chứa Ann
R
M.
5
Rõ ràng rằng, khi vành R là đầy đủ thì với mỗi R-môđun Artin A, theo đối
ngẫu Matlis, ta có
Ann(0 :
A
p) = p; 8p 2 V (Ann A): (Ô)
Tuy nhiên tính chất trên nhìn chung lại không đúng cho mọi môđun Artin A
trên vành giao hoán bất kỳ, và lớp môđun Artin thỏa mãn tính chất (*) lại liên
quan tới một số câu hỏi về chiều Noether và đối địa ph-ơng hóa, chứng tỏ
tính chất này là quan trọng đối với việc nghiên cứu môđun Artin. Mục đích
của ch-ơng này là nghiên cứu điều kiện để môđun đối đồng điều địa ph-ơng
cấp cao nhất H
d
m
(M) thỏa mãn tính chất (*) và một số ứng dụng của nó.
Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mặc dù N-dim H
d
m
(M) = dim R= Ann
R
H
d
m
(M)
nh-ng nhìn chung H

Nguyễn Tự C-ờng và Lê Thanh Nhàn.
Tiết 4 dành để trình bày lại các kết quả về mô đun đồng điều địa ph-ơng
đ-ợc nghiên cứu bởi Nguyễn Tự C-ờng, Trần Tuấn Nam.
Cuối cùng, dãy đối chính quy, độ rộng và mô đun đối Cohen-Macaulay
đ-ợc giới thiệu ở tiết 5, theo A. Ooshi, Z. Tang, H. Zakeri, Nguyễn Tự
C-ờng, Lê Thanh Nhàn, Trần Tuấn Nam, I. H. Denizler, R. Y. Sharp.
7
Ch-ơng 2. Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và đối
Buchsbaum
Cho (R; m) là vành địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại duy nhất
m và A là R-môđun Artin với chiều Noether N-dim A = d: Mục đích của
ch-ơng này là nghiên cứu hai lớp môđun chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-
Macaulay đ-ợc gọi là môđun đối Buchsbaum và môđun đối Cohen-Macaulay
suy rộng và mở rộng nghiên cứu chúng trên vành giao hoán không nhất thiết
địa ph-ơng.
2.1 Đồng điều địa ph-ơng và đối dãy yếu
Tiết này dành để nghiên cứu một số tính chất của môđun Artin mà các
môđun đồng điều địa ph-ơng của chúng có độ dài hữu hạn, sau đó đ-a ra
khái niệm đối dãy yếu và nghiên cứu mối liên hệ của chúng với các môđun
đồng điều địa ph-ơng.
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử `
R
(H
m
i
(A)) < 1 với mọi i < d. Cho (x
1
; : : : ; x
r
)

(A)
của một R-môđun Artin A có độ dài hữu hạn, với mọi i < d, thì A là không
trộn lẫn tới thành phần m-thứ cấp, tức là tập Att
R
A chỉ bao gồm các iđêan
nguyên tố gắn kết mà thành phần thứ cấp t-ơng ứng có chiều 0 hoặc chiều
bằng d.
Chúng tôi cũng chặn trên đ-ợc hiệu số giữa độ dài và số bội của A thông
qua độ dài của các môđun đồng điều địa ph-ơng nh- sau.
Bổ đề 2.1.5. Giả sử A là R-môđun Artin sao cho `
R
(H
m
i
(A)) < 1; với
8
mọi i < d. Với mọi hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A ta có
`
R
(0 :
A
xR) Ă e(x; A) 6
dĂ1
X
i=0
à

; : : : ; x
iĂ1
)R)
với mọi i = 1; : : : ; r: ở đây ta hiểu x
1
A ả qA khi i = 1: Một dãy các
phần tử (x
1
; : : : ; x
r
) đ-ợc gọi là đối dãy yếu nếu nó là m-đối dãy yếu.
Nh- chúng ta đã biết, lớp môđun có đối đồng điều địa ph-ơng độ dài
hữu hạn có thể đ-ợc đặc tr-ng bằng dãy yếu (xem J. Str
ă
uckrad, W. Vogel).
T-ơng ứng với kết quả này là định lý sau, cho ta mối liên hệ giữa q-đối dãy
yếu với môđun đồng điều địa ph-ơng.
Định lý 2.1.8. Cho q là một iđêan m-nguyên sơ của R: Khi đó các mệnh
đề sau đây là t-ơng đ-ơng:
(i) qH
m
i
(A) = 0 với mọi i 6 d Ă 1:
(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A chứa trong q
2
sao

Bổ đề sau đây cho thấy I(x; A) là hàm tăng.
Bổ đề 2.2.2. Với mỗi hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A và các bộ d-số
nguyên không âm n = (n
1
; : : : ; n
d
); m = (m
1
; : : : ; m
d
) sao cho n
i
á m
i
;
với mọi i = 1; : : : ; d; ta có
I(x(n); A) á I(x(m); A):
Khái niệm hệ tham số chuẩn tắc đ-ợc đ-a ra bởi Ngô Việt Trung, là một
trong những công cụ để nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng
và môđun Buchsbaum. D-ới đây chúng tôi giới thiệu khái niệm đối ngẫu
cho môđun Artin.
Định nghĩa 2.2.3. Một hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A đ-ợc gọi là đối

Trung). Định lý sau đây là kết quả chính của tiết này, cũng cho ta đặc tr-ng
của môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng qua đối dãy yếu, hệ tham số đối
chuẩn tắc và đặc biệt là qua đồng điều địa ph-ơng.
Định lý 2.2.5. Các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng.
(ii) `
R
(H
m
i
(A)) < 1 với mọi i 6 d Ă 1:
(iii) Tồn tại một hệ tham số của A là đối chuẩn tắc.
(iv) Tồn tại một hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A và một iđêan
m-nguyên sơ q sao cho (x
n
1
; : : : ; x
n
d
) là q-đối dãy yếu, với mọi n > 0:
(v) Tồn tại một iđêan m-nguyên sơ q sao cho mỗi hệ tham số x của A
là q-đối dãy yếu.
(vi) Tồn tại số nguyên s và một hệ tham số x của A sao cho
I(x
n
1

(M) là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng.
11
(iii) A là R-môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu A là
b
R-môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng.
2.3 Môđun đối Buchsbaum
Mục đích của tiết này là nghiên cứu lớp môđun đối Buchsbaum chứa thực
sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay, nh-ng lại nằm thực sự trong lớp môđun
đối Cohen-Macaulay suy rộng và trình bày một số tính chất cơ bản của lớp
môđun này.
Định nghĩa 2.3.1. A đ-ợc gọi là môđun đối Buchsbaum nếu I(x; A) là
hằng số (không phụ thuộc vào x), với mọi hệ tham số x của A:
Kết quả sau đây là tính chất của môđun đối Buchsbaum qua đồng điều
địa ph-ơng.
Mệnh đề 2.3.3. Nếu A là môđun đối Buchsbaum thì mH
m
i
(A) = 0, với mọi
i < d:
Rõ ràng mọi môđun đối Buchsbaum đều là môđun đối Cohen-Macaulay
suy rộng, nh-ng điều ng-ợc lại ch-a chắc đúng. Từ Mệnh đề 2.3.3, ta có
thể chỉ ra ví dụ để chứng tỏ lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng chứa
thực sự lớp môđun đối Buchsbaum.
Ví dụ 2.3.4. Cho k là một tr-ờng, S = k[x
1
; : : : ; x
d
] là vành đa thức và
R = k[[x
1

(ii) Mọi hệ tham số của A là đối dãy yếu.
(iii) Mọi hệ tham số của A là đối chuẩn tắc.
T-ơng tự nh- Hệ quả 2.2.7 trong tiết 1, hệ quả sau cũng giúp cho ta có
thể xây dựng dễ dàng nhiều ví dụ về môđun đối Buchsbaum.
Hệ quả 2.3.7 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, các mệnh đề sau
là đúng.
(i) Nếu M là môđun Buchsbaum thì đối ngẫu Matlis D(M) =
Hom(M; E) của M là môđun đối Buchsbaum.
(ii) Nếu M là môđun Buchsbaum với dim M = d thì H
d
m
(M) là môđun
đối Buchsbaum.
(iii) A là R-môđun đối Buchsbaum nếu và chỉ nếu A là
b
R-môđun đối
Buchsbaum.
2.4 Tr-ờng hợp vành không địa ph-ơng
Mục đích của tiết này là quan tâm đến tính đối Cohen-Macaulay suy
rộng và đối Buchsbaum của một môđun Artin A trên vành giao hoán, Noether
(không nhất thiết địa ph-ơng).
Tr-ớc hết, chúng tôi mở rộng các khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay
suy rộng và đối Buchsbaum lên vành giao hoán tuỳ ý nh- sau.
Định nghĩa 2.4.1. Cho A 6= 0 là R-môđun Artin trên vành giao hoán,
Noether R: Ta nói rằng A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng (t-ơng
ứng đối Buchsbaum) nếu A
m
là R
m
-môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng

m:
Chú ý rằng khi (R; m) là vành địa ph-ơng thì J
A
= m: Với mỗi hệ tham số
x 2 J
A
, đặt
I(x; A) = `
R
(0 :
A
xR) Ă e(x; A) và I(A) = sup
x
I(x; A);
trong đó cận trên lấy trên tất cả các hệ tham số x của A trong J
A
: Khi đó,
rất tự nhiên xuất hiện câu hỏi sau:
Liệu rằng tính đối Cohen-Macaulay suy rộng của A có t-ơng đ-ơng với
tính hữu hạn của I(A) và tính đối Buchsbaum của A có t-ơng đ-ơng với
tính hằng số của hàm I(x; A); với mọi hệ tham số x của A hay không?
Đáng tiếc rằng câu trả lời lại là phủ định. Mệnh đề sau cho ta những lớp
môđun Artin thỏa mãn câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên.
Mệnh đề 2.4.2. Các mệnh đề sau là đúng.
(i) I(A) < 1 nếu và chỉ nếu A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng
và N-dim A
j
= 0 hoặc N-dim A
j
= d, với mọi j 6 r: Đặc biệt, I(A) = 0

dùng để nghiên cứu môđun Artin thông qua hệ tham số, số bội, đồng điều
địa ph-ơng, . Trong ch-ơng này, một cách tự nhiên, chúng tôi cũng dùng
chiều Noether để xây dựng khái niệm lọc chiều cho môđun Artin nh- sau.
Định nghĩa 3.2.1. Lọc chiều của R-môđun Artin A là lọc
0 = A
0
ẵ A
1
ẵ : : : ẵ A
tĂ1
ẵ A
t
= A
các môđun con của A, trong đó A
i+1
là môđun con nhỏ nhất của A thoả
mãn N-dim A=A
i+1
< N-dim A=A
i
với mọi i = 0; : : : ; t Ă 1.
Bổ đề 3.2.2. Lọc chiều của A luôn tồn tại và duy nhất.
Trong ch-ơng này, để thuận tiện và ngắn gọn, chúng tôi sử dụng các ký
hiệu sau.
Ký hiệu 3.2.3. A : 0 = A
0
ẵ A
1
ẵ : : : ẵ A
tĂ1

;j
-thứ cấp,
N-dim A
d
k
;j
= d
k
, với k = 1; : : : ; h, j = 1; : : : ; n
k
và 0 6 d
1
< : : : <
d
h
= d:
Tiếp theo, chúng tôi sẽ tính cụ thể các môđun con A
i
trong lọc chiều A
theo biểu diễn thứ cấp của A xem nh-
b
R-môđun.
Định lý 3.2.4. Với các ký hiệu nh- trong 3.2.3, ta có h = t và
A
i
=
h
X
k=hĂi+1
Ă

2
= H
1
m
(R) â H
2
m
(R) và A = R=m â H
1
m
(R) â H
2
m
(R): Khi đó ta có
(i) A = (R=m) + A
2
là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của R-môđun A;
trong đó R=m là m-thứ cấp, A
2
là 0-thứ cấp. Do đó, Att
R
A = fm; 0g:
(ii) 0 = A
0
ẵ A
1
ẵ A
2
ẵ A
3

iĂ1
là
môđun đối Cohen-Macaulay, với mọi i = 1; : : : ; t và
N-dim A=B
tĂ1
< N-dim A=B
tĂ2
< : : : < N-dim A=B
0
= d:
(ii) A đ-ợc gọi là môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu A có lọc đối
Cohen-Macaulay.
Chúng ta có một số ví dụ về lọc đối Cohen-Macaulay và môđun đối
Cohen-Macaulay dãy nh- sau.
Ví dụ 3.3.2. (i) Mọi môđun đối Cohen-Macaulay đều là môđun đối Cohen-
Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay là 0 = A
0
ẵ A
1
= A:
(ii) Cho A = R=m â H
1
m
(R) â H
2
m
(R) là môđun Artin đ-ợc xây dựng
nh- trong Ví dụ 3.2.6. Khi đó A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc
đối Cohen-Macaulay là
0 = A

b
R-môđun hữu hạn sinh, trong đó E = E(R=m)
là bao nội xạ của R=m: Bổ đề sau đây đ-ợc xem nh- là kết quả mấu chốt
để thu đ-ợc đặc tr-ng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Bổ đề 3.4.1. A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu đối
ngẫu Matlis D(A) của A là
b
R-môđun Cohen-Macaulay dãy.
Định lý sau là đặc tr-ng đồng điều địa ph-ơng của môđun đối Cohen-
Macaulay dãy. Chú ý rằng giả thiết của định lý không yêu cầu vành có phức
đối ngẫu nh- trong định lý đặc tr-ng đối đồng điều địa ph-ơng của môđun
Cohen-Macaulay dãy.
Định lý 3.4.3. Các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
(ii) Với mọi j = 0; 1; : : : ; d; môđun H
m
j
(A) hoặc bằng 0 hoặc là
b
R-
môđun Cohen-Macaulay chiều j:
(iii) Với mọi j = 0; 1; : : : ; d Ă 1; môđun H
m
j
(A) hoặc bằng 0 hoặc là
b
R-môđun Cohen-Macaulay chiều j :
Kết quả tiếp theo là đ-a ra điều kiện cho phần tử tham số x để đặc tr-ng
đ-ợc tính đối Cohen-Macaulay dãy khi chia cho phần tử tham số.
Định lý 3.4.5. Cho x 2 m. Giả sử rằng x =2 p với mọi p 2 Att A n fmg:

] là môđun các
đa thức ng-ợc lấy hệ số trên A. Kết quả sau cho ta mối liên hệ về tính đối
18
Cohen-Macaulay dãy giữa K và A.
Định lý 3.4.6. A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi K là
S-môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Hệ quả trực tiếp của các Định lý 3.4.3 và Định lý 3.4.5 là kết quả sau
đây cho môđun Cohen-Macaulay dãy.
Hệ quả 3.4.7. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d: Giả sử
rằng vành R có phức đối ngẫu. Cho x 2 m là một phần tử sao cho x =2 p,
với mọi p 2 Ass M n fmg: Khi đó M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu
và chỉ nếu hai điều kiện sau đ-ợc thoả mãn.
(a) x =2 p với mọi p 2
S
i=1;::: ;d
Att
R
H
i
m
(M):
(b) M=xM là môđun Cohen-Macaulay dãy.
Chú ý 3.4.8. (i) Ta đã biết rằng nếu x là một phần tử chính quy của M
thì M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M=xM cũng là môđun
Cohen-Macaulay. P. Schenzel đã chứng minh một kết quả t-ơng tự cho
môđun Cohen-Macaulay dãy trong Định lý 4.7 nh- sau.
Cho x là phần tử M-chính quy. M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi
và chỉ khi M=xM cũng là môđun Cohen-Macaulay dãy.
Tuy nhiên, điều kiện đủ trong định lý trên là không đúng. Ví dụ, cho
R = k[[x; y]] là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức hai biến trên tr-ờng k:

(M) là những thông tin rất
quan trọng cho phép ta biết đ-ợc rõ hơn cấu trúc của môđun M. Chẳng hạn,
Att
R
H
d
m
(M) = fp 2 Ass
R
(M) : dim R=p = dg; N-dim H
d
m
(M) = d;
nếu M là môđun Cohen-Macaulay (t-ơng ứng Cohen-Macaulay suy rộng,
Buchsbaum) thì H
d
m
(M) là môđun đối Cohen-Macaulay (t-ơng ứng đối
Cohen-Macaulay suy rộng, đối Buchsbaum),
Nhắc lại rằng đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, theo Bổ đề
Nakayama, ta luôn có tính chất Ann
R
M=pM = p; với mọi iđêan nguyên tố
p chứa Ann
R
M. Rõ ràng rằng, khi vành R là đầy đủ thì với mỗi R-môđun
Artin A, theo đối ngẫu Matlis, ta có
Ann
R
(0 :

V (p) đ-ợc gọi
là giá không trộn lẫn của M và đ-ợc ký hiệu bởi Usupp M:
Kết quả đầu tiên về giá không trộn lẫn là bổ đề sau.
Bổ đề 4.2.2. Cho p 2 Supp M: Khi đó p 2 Usupp M nếu và chỉ nếu
p ả Ann
R
H
d
m
(M): Nói cách khác, Usupp M = V (Ann
R
H
d
m
(M)):
Đối với mỗi môđun hữu hạn sinh M, có những mối liên hệ mật thiết giữa
tập iđêan nguyên tố liên kết của M và của đầy đủ m-adic
c
M; giữa tập giá
của M và giá của
c
M. Chẳng hạn,
Ass
R
M = f
b
p \ R :
b
p 2 Ass
b

bao hàm thức
Usupp
R
M ả f
b
p \ R :
b
p 2 Usupp
b
R
c
Mg:
Mặt khác, vì Att
R
H
d
m
(M) = Ass
R
M=U
M
(0) và rad(Ann
R
H
d
m
(M)) =
rad(Ann
R
M=U

b
p 2 Usupp
b
R
c
Mg:
(iii) Với mọi dãy các phần tử x = (x
1
; : : : ; x
d
) trong m, x là hệ tham
số của H
d
m
(M) nếu và chỉ nếu x là hệ tham số của M=U
M
(0):
4.3 Tính chất (*) của H
d
m
(M) và tính catenary của giá không trộn lẫn
của M
Ta nói rằng Supp M là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố
p; q 2 Supp M sao cho p ẵ q; thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên
tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài. Rõ ràng rằng Supp M
là catenary nếu và chỉ nếu R= Ann
R
M là catenary. Do đó, trong tr-ờng hợp
M là đẳng chiều, nghĩa là dim R=p = d, với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu
p 2 Ass M, Supp M là catenary nếu và chỉ nếu dim R=p+dim M

Hệ quả sau đây, đ-ợc suy ra ngay từ Định lý 4.3.3, cho ta đặc tr-ng về
tính catenary của các miền địa ph-ơng Noether qua tính chất (*).
22
Hệ quả 4.3.4. Giả sử (R; m) là miền địa ph-ơng Noether chiều d: Khi đó
R là catenary nếu và chỉ nếu H
d
m
(R) thoả mãn tính chất (*).
Để chứng minh Định lý 4.3.3, chúng ta cần các bổ đề sau đây.
Bổ đề 4.3.1. Giả sử rằng R là vành địa ph-ơng đầy đủ với tô pô m-adic và
M là R-môđun hữu hạn sinh sao cho dim R=p = d, với mọi p 2 Ass M:
Khi đó, với mỗi phần hệ tham số (x
1
; : : : ; x
r
) của M và mỗi iđêan nguyên
tố liên kết tối thiểu p của M=(x
1
; : : : ; x
r
)M; ta có dim R=p = d Ă r:
Bổ đề 4.3.2. Cho p 2 V (Ann
R
H
d
m
(M)) sao cho dim M
p
+ dim R=p = d:
Khi đó Ann