✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

❇⑩❖ ❈⑩❖ ❚✃◆● ❑➌❚
✣➋ ❚⑨■ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❱⑨ ❈➷◆● ◆●❍➏ ❈❻P ✣❸■ ❍➴❈

❈❍➓ ❙➮ ❑❍❷ ❚✃◆● ❚❘❖◆● P❍❸▼ ❚❘Ò
▼➷✣❯◆ ❆❘❚■◆ ❚❘➊◆ ❱⑨◆❍ ●■❆❖ ❍❖⑩◆
▼➣ sè✿ ✣❍✷✵✶✺✲❚◆✵✻✲✵✷

❈❤õ ♥❤✐➺♠ ✤➲ t➔✐✿ ❚❤❙✳ ◆❈❙✳ ❚r➛♥ ✣ù❝ ❉ô♥❣

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ✸✴✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

❇⑩❖ ❈⑩❖ ❚✃◆● ❑➌❚
✣➋ ❚⑨■ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❱⑨ ❈➷◆● ◆●❍➏ ❈❻P ✣❸■ ❍➴❈

❈❍➓ ❙➮ ❑❍❷ ❚✃◆● ❚❘❖◆● P❍❸▼ ❚❘Ò
▼➷✣❯◆ ❆❘❚■◆ ❚❘➊◆ ❱⑨◆❍ ●■❆❖ ❍❖⑩◆
▼➣ sè✿ ✣❍✷✵✶✺✲❚◆✵✻✲✵✷

❳→❝ ♥❤➟♥ ❝õ❛ tê ❝❤ù❝ ❝❤õ tr➻

❈❤õ ♥❤✐➺♠ ✤➲ t➔✐

✭❦þ✱ ❤å t➯♥✱ ✤â♥❣ ❞➜✉✮


ở ố ủ



ồ ữ ú ù ữợ ự

ồ
ỹ ữớ
ổ t
ồ ữ P
ủ t ự t r ộ



▼ö❝ ❧ö❝
❚❤æ♥❣ t✐♥ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

✐✐✐

■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥ r❡s❡❛r❝❤ r❡s✉❧ts

✈✐✐

▼ð ✤➛✉

✶

❈❤❛♣t❡r ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷✳✷

❚➼♥❤ ❝❤➜t ❧➯♥✲①✉è♥❣ ✈➔ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

❈❤❛♣t❡r ✸✳ ❱➲ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ✈➔ ❝❤➾ sè ❦❤↔ tê♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ✹✶
✸✳✶

❈❤➾ sè ❦❤↔ q✉②

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

✸✳✷

❈❤➾ sè ❦❤↔ tê♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✹

❑➳t ❧✉➟♥

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥

✲ ❚❤í✐ ❣✐❛♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥✿

✵✾✴✷✵✶✺ ✲ ✵✾✴✷✵✶✼✳

✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉✿
✲ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛
✤♦ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛

♥➔♦ ✤â ❝õ❛

M

✈➔

✈î✐ ♠ö❝ ✤➼❝❤

M ✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦✐➸✉ ✤❛

t❤ù❝ ❞➣② t❤æ♥❣ q✉❛ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ ✈➔ ✤➛② ✤õ
①✉è♥❣✑ ❝õ❛ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❣✐ú❛

M

M/xM

m✲❛❞✐❝✱
✈î✐


✲ ❑✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤÷ñ❝ ●❙ ◆❣✉②➵♥ ❚ü ❈÷í♥❣ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ♥➠♠
✶✾✾✷ ✤➸ ✤♦ t➼♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥✳ ❚r♦♥❣ ✤â✱ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ✤÷ñ❝
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤æ♥❣ q✉❛ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛✱ ✤➛② ✤õ

m✲❛❞✐❝✳

❚r♦♥❣ ✤➲ t➔✐ ♥➔②✱

❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ♠ët ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠î✐ ❧➔ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ✤➸ ✤♦ t➼♥❤
❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦✐➸✉
✤❛ t❤ù❝ ❞➣② t❤æ♥❣ q✉❛ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ ✈➔ ✤➛② ✤õ
①✉è♥❣✑ ❝õ❛ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❣✐ú❛

M✳

♥➔♦ ✤â ❝õ❛

M

✈➔

▼➦t ❦❤→❝✱ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t

M/xM
R

m✲❛❞✐❝✱

✈î✐


❧➔ ♠ët

R✲♠æ✤✉♥

❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤↕t ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔✿

•

❳➙② ❞ü♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥

•

◆➳✉

R

r❛ ❦❤✐

❧➔ ❝❛t❡♥❛r② t❤➻

R

M ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ sp(M )✳

sp(M ) ≥ dim(nSCM(M ))✳

❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔②

❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣ ✈➔ ♠å✐ t❤î ❤➻♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛


❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②


✈
❞➣②✳
✭✐✐✮ ◆➳✉

dim(R/p) ≤ sp(M )

• sp(M ) ≤ sp(M )✳

●✐↔ sû
❑❤✐ ✤â

sp(Mp ) ≤ sp(M ) − dim(R/p)✳
R/p

❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐

♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t

•

t❤➻

p

❝õ❛

❧➔ ✉♥♠✐①❡❞ ✈î✐ ♠å✐ ✐✤➯❛♥

sp(M )

t❤æ♥❣ q✉❛ ♠æ✤✉♥ ❦❤✉②➳t t❤✐➳✉ ❝õ❛

M✳

♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✕▼❛❝❛✉❧❛②✳

•

✣÷❛ r❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ❝❤➾ sè ❦❤↔ tê♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔②✳

✺✳ ❙↔♥ ♣❤➞♠✿

✺✳✶✳ ❙↔♥ ♣❤➞♠ ❦❤♦❛ ❤å❝✿
✲ ❳✉➜t ❜↔♥ ✶ ❜➔✐ ❜→♦ t❤✉ë❝ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❙❈■✳

•

▲❡ ❚❤❛♥❤ ◆❤❛♥✱ ❚r❛♥ ❉✉❝ ❉✉♥❣✱ ❚r❛♥ ❉♦ ▼✐♥❤ ❈❤❛✉ ✭✷✵✶✻✮✱ ✧❆
♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ♥♦♥✲s❡q✉❡♥t✐❛❧ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②♥❡ss ♦❢ ❢✐♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞
♠♦❞✉❧❡s✧✱

❏✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✹✻✽✱ ♣♣✳ ✷✼✺✲✷✾✺✳

✲ ❳✉➜t ❜↔♥ ✶ ❜➔✐ ❜→♦ tr♦♥❣ ♥÷î❝✳

•


◆❣➔② ✳✳✳ t❤→♥❣ ✳✳✳ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚ê ❝❤ù❝ ❝❤õ tr➻

❦þ✱ ❤å ✈➔ t➯♥✱ ✤â♥❣ ❞➜✉ ✮

✭

❈❤õ ♥❤✐➺♠ ✤➲ t➔✐

❑þ✱ ❤å ✈➔ t➯♥ ✮

✭

❚❤❙✳ ◆❈❙✳ ❚r➛♥ ✣ù❝ ❉ô♥❣


✈✐✐

■◆❋❖❘▼❆❚■❖◆ ❖◆ ❘❊❙❊❆❘❈❍ ❘❊❙❯▲❚❙
✶✳ ●❡♥❡r❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✿
✲ Pr♦❥❡❝t t✐t❧❡✿

❚❤❡ s✉♠ ✕ ✐rr❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ✐♥❞❡① ♦❢ ❆rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s

♦♥ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ r✐♥❣
✲ ❈♦❞❡ ♥✉♠❜❡r✿
✲ ❈♦♦r❞✐♥❛t♦r✿

✣❍✷✵✶✺✕❚◆✵✻✕✵✷


❝♦♠♣❧❡t✐♦♥✳ ❲❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ❛♥ ❛s❝❡♥t ✕ ❞❡✲

s❝❡♥t ♣r♦♣❡rt② ♦❢ s❡q✉❡♥t✐❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t②♣❡ ❜❡t✇❡❡♥
❝❡rt❛✐♥ ♣❛r❛♠❡t❡r

M

❛♥❞

M/xM

❢♦r

x ♦❢ M ✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✇❤❡♥ R ✐s ❛ q✉♦t✐❡♥t ♦❢ ❛ ●♦r❡♥st❡✐♥

❧♦❝❛❧ r✐♥❣✱ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡

sp(M )

✐♥ t❡r♠ ♦❢ t❤❡ ❞❡❢✐❝✐❡♥❝② ♠♦❞✉❧❡ ♦❢

M✳

✲ Pr♦✈❡ r❡s✉❧t ❛❜♦✉t t❤❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞❡① ♦❢ r❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r
✐❞❡❛❧s ♦❢ ❈♦❤❡♥ ✕ ▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s✳
✲ ❲❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉♠ ✕ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧✐t② ✐♥❞❡① ♦❢ ❆rt✐♥✐❛♥
♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✇❡ st✉❞② s♦♠❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♥♦t✐♦♥✳
✲ ❉❡✈❡❧♦♣ ❛❜✐❧✐t② r❡s❡❛r❝❤ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛♥❞ ❛r✐t❤♠❡t✐❝ t❡❛❝❤❡rs ♦❢ ❚❤❛✐
◆❣✉②❡♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❙❝✐❡♥❝❡s❀ ❛tt❡♥❞ ❡❢❢✐❝✐❡♥t❧② ✉♣ t♦ ❝♦♦r❞✐♥❛t♦r✬s t❤❡s✐s❀
❡①t❡♥❞ s❝✐❡♥t✐❢✐❝ ❝♦♦♣❡r❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❚❤❛✐ ◆❣✉②❡♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② ❛♥❞ ♦t❤❡rs❀

R

❛♥❞

M/xM

❢♦r

x

✐s ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r ❡❧❡♠❡♥t ♦❢

M✳

❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r

✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ●♦r❡♥st❡✐♥ r✐♥❣✱ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ s❡q✉❡♥t✐❛❧ ♣♦❧②♥♦✲

♠✐❛❧ t②♣❡ ♦❢

M

✐♥ t❡r♠ ♦❢ t❤❡ ❞❡❢✐❝✐❡♥❝② ♠♦❞✉❧❡ ♦❢

M✳

✲ ❚❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞❡① ♦❢ r❡❞✉❝✐❜✐❧✐t② ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r ✐❞❡❛❧s ♦❢
❈♦❤❡♥✕▼❛❝❛✉❧❛② r✐♥❣ ❤❛s ❜❡❡♥ ♣r♦✈❡❞ ❜② ◆✳●✳ ◆♦rt❤❝♦tt✳ ■♥ t❤✐s t♦♣✐❝✱
✇❡ ❡①t❡♥❞ t❤✐s r❡s✉❧t t♦ t❤❡ ♠♦❞✉❧❡✳
✲ ❚❤❡r❡ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♠❛♥② st✉❞✐❡s ♦❢ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝✐❛♥s ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ✇♦r❧❞ ♦♥

R

✐s ❝❛t❡♥❛r② t❤❡♥

tr✉❡ ✇❤❡♥

R

sp(M ) ≥ dim(nSCM(M ))✳

❚❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s

✐s ✉♥✐✈❡rs❛❧❧② ❝❛t❡♥❛r② ❛♥❞ ❛❧❧ ❢♦r♠❛❧ ❢✐❜❡rs ♦❢

R

❛r❡

❈♦❤❡♥✕▼❛❝❛✉❧❛②✳

•

▲❡t

p ∈ Supp M

✭✐✮ ■❢

❛♥❞



R

♦❢

M✳

sp(M ) > 0 ❛♥❞ x ∈ m ❜❡ ❛ str✐❝t f ✕❡❧❡♠❡♥t ♦❢ Di−1 /Di

i ≤ t✳

tr✉❡ ✇❤❡♥

p

❚❤❡♥

sp(M/xM ) ≤ sp(M ) − 1✳

❚❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s

✐s ✉♥✐✈❡rs❛❧❧② ❝❛t❡♥❛r② ❛♥❞ ❛❧❧ ❢♦r♠❛❧ ❢✐❜❡rs ♦❢

R

❛r❡

❈♦❤❡♥✕▼❛❝❛✉❧❛②✳

•


❏✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✹✻✽✱ ♣♣✳ ✷✼✺✲✷✾✺✳

✲ ❖♥❡ ♣❛♣❡r ✐♥ ❱✐❡t♥❛♠✳

•

❚r❛♥ ❉✉❝ ❉✉♥❣ ✭✷✵✶✺✮✱ ✧❖♥ t❤❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞❡① ♦❢ r❡❞✉❝✐❜✐❧✐t②
❢♦r ♣❛r❛♠❡t❡r ✐❞❡❛❧s ♦❢ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ♠♦❞✉❧❡s✑✱

❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❙❝✐❡♥❝❡

❛♥❞ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ❚❤❛✐ ◆❣✉②❡♥ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ✶✹✼✭✵✷✮✱ ♣♣✳ ✶✾✾✕✷✵✷✳
✺✳✷✳ ❚r❛✐♥✐♥❣ r❡s✉❧ts✿
✲ ✵✶ ✉♥❞❡r❣r❛❞✉❛t❡ t❤❡s✐s✳


①
•

◆❣✉②❡♥ ❇❛ ▲♦♥❣ ✭✷✵✶✼✮✱

❙♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ s❡♠✐❣r♦✉♣ r✐♥❣s✱ ❯♥❞❡r✲

❣r❛❞✉❛t❡ t❤❡s✐s✱ ❚❤❛✐ ◆❣✉②❡♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❙❝✐❡♥❝✐❡s✳

✻✳ ❚r❛♥s❢❡r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s✱ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s✱ ✐♠♣❛❝ts ❛♥❞
❜❡♥❡❢✐ts ♦❢ r❡s❡r❛❝❤ r❡s✉❧ts✿
✲ ❙❝✐❡♥t✐❢✐❝ ❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ r❡s❡❛r❝❤ ❛rt✐❝❧❡s ♦❢ t❤❡ t♦♣✐❝ ♣✉❜❧✐s❤❡❞ ✐♥ ❞♦♠❡st✐❝
❛♥❞ ❢♦r❡✐❣♥ ♠❛❣❛③✐♥❡s✳


R✲♠æ✤✉♥

❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❝❤✐➲✉

M✱

❧➔ ♠ët ❤➺ t❤❛♠ sè ❝õ❛

M

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

x

❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐

(M/xM ) ≥ e(x; M )✱

(•) ❧➔ ❤➔♠ ✤ë ❞➔✐ ✈➔ e(x; M ) ❧➔ sè ❜ë✐ ❝õ❛ M

◆➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ✭❤♦➦❝ tç♥ t↕✐✮ ❤➺ t❤❛♠ sè

t❤➻

❧✉æ♥ ❝â

d✳

s❛♦ ❝❤♦

x✱

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣✳ ▼ët ❤÷î♥❣ ♠ð rë♥❣ ❦❤→❝ ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❝ò♥❣ ❧ó❝ ❜ð✐ ❘✳ ❙t❛♥❧❡② ❬✷✼❪
❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✈➔ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❬✷✻❪ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
❈❤♦

Di

Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D1 ⊂ D0 = M

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❧î♥ ♥❤➜t ❝õ❛

M

❧➔ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛

❝â ❝❤✐➲✉ ♥❤ä ❤ì♥

✶

M✱

dim Di−1

tù❝ ❧➔

✈î✐ ♠å✐


❝õ❛

M✳

▼❛❝❛✉❧❛② ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
♥➳✉

−1

◆➳✉ t❛ q✉② ÷î❝ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❦❤æ♥❣ ❧➔

p(M ) ≤ 0✳

p(M ) = −1

✈➔

M

t❤➻

M

❧➔ ❈♦❤❡♥✲

❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣

❚ê♥❣ q✉→t✱ t❤❡♦ ❬✺❪✱



N

❝õ❛

M

❣å✐ ❧➔

M✳

❜➜t ❦❤↔ q✉② ♥➳✉ ♥â ❦❤æ♥❣

t❤➸ ✈✐➳t t❤➔♥❤ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ❝❤ù❛ ♥â✳ ▼ët ♣❤➙♥ t➼❝❤
❜➜t ❦❤↔ q✉② ❝õ❛

N

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤✉ ❣å♥ ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ❜ä ✤÷ñ❝ ❜➜t

❝ù t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ♥➔♦ tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤â✳ ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t r➡♥❣ ♠å✐
♠æ✤✉♥ ❝♦♥

N

❝õ❛

M

✤➲✉ ❝â ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❜➜t ❦❤↔ q✉② t❤✉ ❣å♥ ✈➔ sè ♠æ✤✉♥

❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ N ✳ ❱î✐ ✐✤➯❛♥

(x1 , . . . , xd )✱

❧➔ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥

irM (qM )✳ ❉♦ q ❧➔ ✐✤➯❛♥ t❤❛♠ sè ❝õ❛ M

❑❤✐ ✤â ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛ ✐✤➯❛♥ t❤❛♠ sè
✤➳ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥

M/qM

t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤➾ sè

♥➯♥

q

qM

✈➔ ❦þ ❤✐➺✉

M/qM

❝â ✤ë ❞➔✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳

M

❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛

◆➳✉ ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤↕♠ trò ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ♥❣÷í✐ t❛ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥
❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✈➔ ❧➼ t❤✉②➳t ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì ❝õ❛ ◆♦❡t❤❡r✲
▲❛s❦❡r✱ t❤➻ tr♦♥❣ ♣❤↕♠ trò ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✱ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➜t ❦❤↔ tê♥❣ ✈➔
❧➼ t❤✉②➳t ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛ ■✳●✳ ▼❛❝❞♦♥❛❧❞ ❬✶✼❪ ❝ô♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ t÷ì♥❣
tü ♥❤÷ ✈➟②✳ ❱➻ ✈➟② ✈✐➺❝ ①➙② ❞ü♥❣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♠ët ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤è✐ ♥❣➝✉
✈î✐ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❧➔ r➜t þ ♥❣❤➽❛✳ ❚❤❡♦ ❬✶✼❪✱ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥
❧➔

B

❝õ❛

A ✤÷ñ❝ ❣å✐

❜➜t ❦❤↔ tê♥❣ ♥➳✉ B ❦❤æ♥❣ t❤➸ ✈✐➳t t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ♠æ ✤✉♥ ❝♦♥ t❤ü❝

sü✱ tù❝ ❧➔ ♥➳✉
t❤➻

B=C

B = C + D, tr♦♥❣ ✤â C, D

❤♦➦❝

B = D✳

❧➔ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ❝õ❛

B


M✳

M

✈➔

M/xM

◆❣♦➔✐ r❛✱ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❧➔

R

m✲❛❞✐❝✱
✈î✐

x

t➼♥❤ ❝❤➜t

❧➔ ♣❤➛♥ tû

❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤

●♦r❡♥st❡✐♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♠✐➯✉ t↔ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛
q✉❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❦❤✉②➳t t❤✐➳✉ ❝õ❛

✈î✐ ♠ö❝

❈❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉


t ổ ừ ổ

M

ừ



Rp ổ

t

sp(Mp ) sp(M ) dim(R/p)

m

r

tr
t

dim(R/p) sp(M )

t ữợ t ở ừ ừ

ú tổ ự ữủ

sp(M ) sp(M )


ỳ

M



M/xM

t q ừ ữỡ trữ ỗ

tự ử t

K j (M )

R

tữỡ rst ữỡ

ổ t t tự

tr õ

j

ừ

M

t


ổ


✺
✲ ✣÷❛ r❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ❝❤➾ sè ❦❤↔ tê♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔②✳ ❚➯♥ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐
❝ô♥❣ t❤➸ ❤✐➺♥ r➡♥❣ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝❤➼♥❤ ❜❛♥ ✤➛✉ ❧➔ ✤÷❛ r❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤➾ sè ❦❤↔
tê♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝❤➾ sè ❦❤↔ tê♥❣ ❝❤♦ ❝→❝
❧î♣ ♠æ✤✉♥ ✤➦❝ ❜✐➺t ♥❤÷ ❧î♣ ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ ✤è✐ ❇✉❝❤s❜❛✉♠✱
✤è✐ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣✱✳✳✳ ❙❛✉ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥ ❞➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❝❤ó♥❣
tæ✐ ❝❤÷❛ t➻♠ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ t❤ü❝ sü ÷♥❣ þ ✈➲ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ♥➔②✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥✱ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝❤➾ sè ❦❤↔ tê♥❣ ❝❤♦ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✱
❝❤ó♥❣ tæ✐ ❧↕✐ t❤✉ ✈➲ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ r➜t tèt ✈➲ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
✈➔ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉②✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ❤❛✐ ❜➔✐ ❜→♦ ✭✶ ❙❈■ ❝❤➜t ❧÷ñ♥❣ ❤➔♥❣ ✤➛✉ ✈➲
✣↕✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈➔ ✶ ❜➔✐ tr♦♥❣ ♥÷î❝✮✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝ô♥❣ ✤➣ s✉❜♠✐t
♠ët ❜➔✐ ❜→♦ ð t↕♣ ❝❤➼ ❙❈■ ✉② t➼♥ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➦♥ ✤➲✉ ❝❤♦ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ❝õ❛
✐✤➯❛♥ t❤❛♠ sè tèt ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❝â ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❦❤æ♥❣ ✈÷ñt q✉→ ✶✳
✶✳ ❚r❛♥ ❉✉❝ ❉✉♥❣✱ ▲❡ ❚❤❛♥❤ ◆❤❛♥ ✭✷✵✶✼✮✱ ✧❆ ✉♥✐❢♦r♠ ❜♦✉♥❞ ♦❢ r❡❞✉❝✐❜✐❧✲
✐t② ✐♥❞❡① ♦❢ ❣♦♦❞ ♣❛r❛♠❡t❡r ✐❞❡❛❧s ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss ♦❢ ♠♦❞✉❧❡s✧✱

♦❢ P✉r❡ ❛♥ ❆♣♣❧✐❡❞ ❆❧❣❡❜r❛✱ ❙✉❜♠✐tt❡❞✳

❏♦✉r♥❛❧


❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t ✈➲ t➟♣
✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❣➢♥ ❦➳t✱ ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲

✈î✐ ✈➔♥❤ ❝ì sð✱ t➼♥❤ ❆rt✐♥✱ t➼♥❤ tr✐➺t t✐➯✉ ✈➔ ❦❤æ♥❣ tr✐➺t t✐➯✉✳✳✳❚r÷î❝ t✐➯♥✱

✻



ú tổ ợ t tỷ


ợ ộ



Rổ N

ỗ

t

Rổ

ữủ ồ

I (N ) =

t

I (f ) : I (N ) I (N )
I ()


ứ õ t õ ổ ố ỗ ữỡ ữ s



ợ ộ số

tỷ t tự

i

ừ

I ()

ữủ ồ

i 0

tỷ ố ỗ

ữỡ tự ố ợ ữủ HIi () t q ừ t ở
HIi (N ) Rổ N HIi (N ) ồ ổ ố ỗ
ữỡ tự ừ ợ
ởt số t t q trồ ừ ổ ố ỗ
ữỡ tữớ ữủ ũ tr ự s ừ t
ỵ s r r ổ ố ỗ ữỡ ổ ử tở
ỡ s ỵ ú ỵ r
ởt ỗ

f

f (r)m

R R số N
R ổ I ừ R õ ợ ồ i 0 t õ
i
HIR
(N )
= HIi (N ) Rổ
ỵ



R



ở ợ ỡ s

R

ỵ

số t õ ỵ s ỵ

õ t õ R HIi (N ) R R


p

R R số

HIi (N ) R Rp
(N R Rp ).
= HIR
p
ỡ ỳ

N R Rp
= Np

ợ ồ

Rổ N



i
(Np ).
(HIi (N ))p
= HIR
p
ởt tr ỳ t q q trồ õ ự ử ừ ỵ tt
ố ỗ ữỡ t trt t ừ ổ ố ỗ
ữỡ

ỵ

ỵ trt t ừ rt

i > dim N


HId(M ) Rổ rt ợ ồ I
ỵ



s trữ ỗ ừ ợ ổ q trồ
ổ ổ s rở

ổ M ổ
Hmi (M ) = 0 ợ ồ i = 0, ..., d 1
ổ M ổ s rở (Hmi (M ))

õ ở
ú ỵ r

R

tr ữỡ t

õ ợ ộ tố
tố ỏ ỳ

q



p

qp

ừ

R

dim R <



ổ tỗ t ởt

r trữớ ủ


sỷ R ữỡ tr
õ R tr ợ ộ tố p ừ
R t õ ht p + dim R/p = dim R
ỵ





ởt t ừ tr tr ờ ử ữủ
ữ s





R

ữủ ồ

ử ộ R số ỳ s tr
sỷ




R

số ỳ s õ tỗ t


m R

p min Ass R
ợ ồ



ừ



R

R

R

ữủ ồ

tỹ ổ trở

tự

ữủ ồ



dim R/p = dim R

ợ ồ

✶✶
❈❤ó þ r➡♥❣ ♠å✐ ✈➔♥❤ ❝â ❝❤✐➲✉ ♥❤ä ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ ✷ ❧➔ ❝❛t❡♥❛r②✳ ◆➳✉

dim R ≤ 1 t❤➻ dim R[x] ≤ 2✱ ❞♦ ✤â R[x] ❧➔ ❝❛t❡♥❛r②✳ ❱➻ ✈➟②✱ ♥➳✉ dim R ≤ 1
t❤➻

R

❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱

❤➻♥❤ t❤ù❝ ❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② t❤➻

R

R/p

❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣ ✈➔ ♠å✐ t❤î
❧➔ ❦❤æ♥❣ trë♥ ❧➝♥ ✈î✐ ♠å✐

p ∈

Spec(R)✳

✶✳✷ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥
▲þ t❤✉②➳t ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝❤♦ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❜ð✐ ■✳ ●✳
▼❛❝❞♦♥❛❧❞ ❬✶✼❪ ❝â t❤➸ ①❡♠ ❧➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì✳
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ✭✐✮ ▼ët R✲♠æ✤✉♥ N


t❤ù ❝➜♣ ♥➳✉ N = 0 ✈➔

❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❤♦➦❝ ❧ô② ❧✐♥❤✳ ❚r♦♥❣

❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❧➔

p✱

✈➔ t❛

❝➜♣✳

R✲♠æ✤✉♥✳

▼ët

❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛ N ❧➔ ♠ët ♣❤➙♥ t➼❝❤

N = N1 + N2 + ... + Nn
t❤➔♥❤ tê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥
♠ët ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ t❤➻ t❛ ♥â✐
♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

N

pi ✲t❤ù
❧➔

❝➜♣

❝➜♣ ❝õ❛

N✳

t❤➻

N1 + N2

❱➻ t❤➳ ♠å✐ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛

{p1 , ..., pn }

❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐

✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥

✤➲✉ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ✤÷ñ❝ ✈➲ ❞↕♥❣ tè✐ t❤✐➸✉✳ ❚➟♣ ❤ñ♣
✈✐➺❝ ❝❤å♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛

N

N

♥❣✉②➯♥ tè ❣➢♥ ❦➳t ❝õ❛ N ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ AttR N ✳ ❈→❝ ❤↕♥❣ tû Ni✱ i = 1, ..., n


✶✷


❈❤♦

❬✶✼✱ ✣à♥❤ ❧þ ✺✳✷❪

▼å✐ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ ✤➲✉ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ì❝✳

A ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❑❤✐ ✤â A ❝â ❝➜✉ tró❝ tü ♥❤✐➯♥ ♥❤÷ R✲♠æ✤✉♥✳

❱î✐ ❝➜✉ tró❝ ♥➔②✱ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛
♥â ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

A

①➨t ♥❤÷

A

①➨t ♥❤÷

R✲♠æ✤✉♥✳

❉♦ ✤â

R✲♠æ✤✉♥
A

❧➔

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐



ứ ỵ t õ q s

p AssR M ợ dim R/p = t õ
Hmt (M ) = 0 p AttR Hmt (M )

q

q

ỵ ổ ố ỗ ữỡ t ợ
ỹ rt õ õ õ tự tố
t ừ

Hmd (M ) = 0

ữủ ổ tự s

sỷ M = 0 Rổ ỳ s
ợ dim M = d õ Hmd (M ) = 0

ỵ

ỵ

AttR (Hmd (M )) = {p AssR (M ) | dim R/p = d}.
ợ ộ

Rổ A



rt ú ỵ r

t

Spec(R)

số

i 0

t

(T )i = {p T | dim(R/p) = i}.
t q s r ố q ỳ

j0

(AssR M )j



(AttR Hmj (M ))j

ợ

số

ỵ