BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………

LUẬN VĂN

Một số vấn đề về modun
extending và modun lifting
trong phạm trù M 1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục . .1
Mở đầu 2
Chương I. Kiến thức chuẩn bị .4
1.1 Phạm trù σ[M] .4
1.2 Môđun Noether và môđun Artin 4

Các kết quả liên quan đến môđun lifting được các nhóm nhà
toán học ở Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên cứu. Các
tính chất extending và lifting trên môđun được sử dụng để đặc
trưng hay khảo sát một số lớp vành gần với các lớp vành Noether
hoặc Artin. Quan tâm đến lớp các môđun này, chúng tôi chọn đề
tài nghiên cứu "Một số vấn đề về môđun lifting và môđun
extending trong phạm trù σ(M)".
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương
Chương I. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về các kiến thức
cơ sở liên quan đến nội dung của luận văn, các định nghĩa và các
tính chất
Chương II. Một số tính chất của môđun extending và môđun
lifting
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của
môđun extending và môđun lifting. Trên cơ sở các tính chất của
3
môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không
các tính chất đối ngẫu tương ứng.
Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh
trong phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting.
Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất
mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending và
khảo sát môđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong
σ[M] là lifting
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong học tập và nghiên cứu
khoa học cũng như cẩn thận trong khâu chế bản, song do ít nhiều
hạn chế về thời gian và trình độ hiểu biết nên trong quá trình
thực hiện luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả
rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và những đóng

⊂ những môđun con của
M đều dừng.
(ii) Giả sử A là môđun con của M, các điều sau là tương
đương:
(1) M Artin;
5
(2) A và M/A Artin;
(3) Mọi chuỗi giảm A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ những môđun con
của M đều dừng.
1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun
lõm (hollow) và chiều hollow
1.3.1 Định nghĩa. (i) Môđun con A của M được gọi là cốt
yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của
M ta đều có A ∩ B = 0 (Một cách tương đương, nếu A ∩ B = 0
thì B = 0).
Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của A, kí hiệu
A ⊂
∗
M.
(ii) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) trong
M nếu với mỗi môđun con E = M ta đều có A + E = M (Một
cách tương đương, nếu A+E = M thì E = M ). Khi đó ta kí hiệu
A ⊂
o

o
M và B ⊂
o
M thì A + B ⊂
o
M.
(3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂
o
M thì
ϕ(A) ⊂
o
N.
1.3.3 Định nghĩa. (i) Một R-môđun con K của M được gọi
là đóng (closed) trong M nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực
6
sự trong M .
(ii) Cho L ⊂ M, L được gọi là đối đóng (coclosed) trong M
nếu L không có môđun con thực sự K sao cho L/K ⊂
o
M/K.
1.3.4 Định nghĩa. (i) Môđun M khác không được gọi là
môđun đều (uniform) nếu mọi môđun con khác không của nó đều
cốt yếu trong M.
(ii) Môđun M được gọi là môđun lõm (hollow) nếu mọi môđun
thực sự của nó đều đối cốt yếu trong M.
1.3.5 Định nghĩa. (i) Môđun M được gọi là có chiều uniform
hữu hạn (haychiều Goldie hữu hạn) nếu tồn tại số nguyên dương
n và các môđun con đều U
1
, , U

là các môđun con đều của M thì m = n. Người ta gọi
n là chiều uniform của M và kí hiệu u. dim(M ) = n.
Nếu M = 0, ta viết u dim(M) = 0, nếu M không có chiều
uniform hữu hạn ta viết u dim(M) = ∞.
(ii) Môđun M được gọi là có chiều hollow hữu hạn nếu tồn tại
số nguyên dương n và các môđun con H
1
, , H
n
sao cho
n

i=1
H
i
là
đối cốt yếu trong M và M/H
i
là lõm với mọi 1 ≤ i ≤ n.
Nếu M có chiều hollow hữu hạn và
n

i=1
H
i
⊂
o
M,
m


với A là một môđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : N → M
sao cho h.g = f.
(ii) Một R-môđun M được gọi là N-xạ ảnh nếu với mỗi đồng
cấu f : M → B và với mỗi toàn cấu g : N → B với B là một
môđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : M → N sao cho
g.h = f.
1.4.3 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là tựa nội
xạ (hay tự nội xạ) nếu nó là M-nội xạ.
(ii) Một R-môđun M được gọi là tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh)
nếu nó là M-xạ ảnh.
1.4.4 Mệnh đề. Mỗi môđun tựa nội xạ M thỏa mãn các tính
chất sau:
(C
1
) Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử của
M.
(C
2
) Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử của
M thì A là một hạng tử của M.
Đối ngẫu với các tính chất (C
1
), (C
2
) ta có các tính chất sau:
8
(D
1
) Với mỗi môđun con A của M, tồn tại sự phân tích M =
M

B là môđun con tối đại trong tập các môđun con C của M thoả
mãn C ∩ A = 0.
Một môđun con K của M được gọi là bù giao trong M, nếu
nó là bù giao của môđun con nào đó của M .
(ii) Cho A là môđun con bất kì của M. Một môđun con B của
M được gọi là bù cộng của A trong M, nếu B là môđun con tối
tiểu trong tập các môđun con P của M thỏa mãn A + P = M.
Một môđun con L của M được gọi là bù cộng nếu nó là bù
cộng của một môđun con nào đó của M.
Ta nói môđun M có tính bù cộng nếu với bất kỳ hai môđun
con A, B của M mà A + B = M thì B chứa bù cộng của A.
1.5.2 Nhận xét. i) Cho A là môđun con của M. Vì tập các
môđun con C ⊆ M với C ∩ A = 0 là khác rỗng và sắp thứ tự theo
quan hệ bao hàm nên theo bổ đề Zorn, mỗi môđun con A ⊆ M
đều có bù giao trong M. Tuy nhiên bù cộng của A trong M chưa
9
chắc đã tồn tại.
ii) Nếu M có tính bù cộng thì mọi môđun con của M đều có
bù cộng.
1.5.3 Mệnh đề. Cho A và B là các môđun con của M. B là
bù cộng của A nếu và chỉ nếu M = A + B và A ∩ B ⊂
o
B.
1.6 Căn và đế
1.6.1 Định nghĩa. (i) Ta gọi giao của tất cả các môđun con
tối đại của M
R
là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun
M
R

B, trong đó B chạy khắp tập các môđun
con đối cốt yếu của M
R
.
(ii) Soc (M
R
) =

C, trong đó C chạy khắp tập các môđun
con cốt yếu của M
R
.
10
Chương II
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
EXTENDING VÀ MÔĐUN LIFTING
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa
và một số tính chất của môđun extending: các điều kiện tương
đương, mối quan hệ giữa môđun extending và môđun đều, tổng
trực tiếp của các môđun extending Trên cơ sở các tính chất của
môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không
các tính chất đối ngẫu tương ứng, nếu không có thì cần bổ sung
thêm các điều kiện gì để đạt được tính chất ấy
2.1 Môđun extending
2.1.1 Định nghĩa. Một R-môđun M được gọi là môđun ex-
tending (hay CS-môđun) nếu mỗi môđun con của M là cốt yếu
trong một hạng tử trực tiếp của M.
2.1.2 Định lý. Cho M là một R-môđun. Khi đó, các điều kiện
sau là tương đương:
(1) M là extending;

1
, M
2
là các môđun
extending. Khi đó M là extending nếu và chỉ nếu mỗi môđun con
đóng K ⊂ M với K ∩ M
1
= 0 hoặc K ∩ M
2
= 0 là một hạng tử
trực tiếp của M.
2.1.6 Mệnh đề. Cho M = M
1
⊕M
2
với M
1
, M
2
là các môđun
extending. Nếu M
1
là M
2
-nội xạ và M
2
là M
1
-nội xạ thì M là
extending.

1
⊆ N và
N ∩ M
2
⊂
o
M;
(3) Với mỗi môđun con N của M đều có thể viết được dưới
dạng N = N
1
⊕ N
2
, trong đó N
1
là một hạng tử trực tiếp của M
và N
2
⊂
o
M;
(4) M có tính bù cộng và mỗi môđun con đối đóng của M là
một hạng tử của M;
12
(5) M có tính bù cộng và mỗi môđun con bù cộng của M là
một hạng tử của M.
2.2.3 Hệ quả. Một R-môđun M không phân tích được là
lifting nếu và chỉ nếu M là lõm.
2.2.4 Nhận xét. Mọi môđun nội xạ đều là môđun extending
nhưng không phải mọi môđun xạ ảnh đều là môđun lifting. Chẳng
hạn Z-môđun Z là xạ ảnh nhưng không là lifting như đã chứng

, M
2
là các môđun lifting.
Chiều ngược lại của định lý là không đúng. Chẳng hạn cho
13
các Z−môđun A = Z/8Z, B = Z/2Z. Ta có A, B là các môđun
lõm nên A và B là các môđun lifting nhưng M = A ⊕ B không
là môđun lifting. Thật vậy, cho U là môđun con của M sinh bỡi
(2+8Z, 1 +2Z). Khi đó U không đối cốt yếu trong M và U không
chứa hạng tử trực tiếp khác không nào của M.
Vậy với điều kiện nào thì tổng trực tiếp của hai môđun lifting
là lifting, ta có kết quả sau
2.2.9 Định lý. Cho M = M
1
⊕ M
2
với M
1
, M
2
là các môđun
lifting, M
1
là M
2
−xạ ảnh và M
2
là M
1
−xạ ảnh. Khi đó, M là

i=1
B
i
).
Theo [8, 1.21], mọi R-môđun tựa nội xạ đều có tính chất thế
hữu hạn. Do đó, mọi môđun đơn đều có tính chất thế hữu hạn.
2.2.12 Mệnh đề. Cho M là môđun chuỗi với chuỗi hợp thành
duy nhất 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M. Khi đó M ⊕ (U/V ) không lifting.
14
Chương III
KHẢO SÁT MÔĐUN M CÓ MỌI MÔĐUN HỮU
HẠN SINH TRONG PHẠM TRÙ σ [M ] LÀ
EXTENDING HOẶC LIFTING
Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất
mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending và
môđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là
lifting. Kết quả chính của chương là các định lý 3.1.3 và 3.2.3. Để
chứng minh được các định lý này, trước hết, chúng tôi giới thiệu
và chứng minh các bổ đề có liên quan.
3.1 Môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong
phạm trù σ [M ] là extending.
Cho M là R-môđun. Mỗi môđun con của môđun thương của
M được gọi là môđun thương con (subfactor) của M.
Ta có các kết quả sau đây:
3.1.1 Bổ đề. Cho M là môđun hữu hạn sinh sao cho mọi
môđun thương con cyclic của M là extending. Khi đó mọi môđun
thương của M có chiều uniform hữu hạn.
3.1.2 Bổ đề. Cho M là R-môđun phải hữu hạn sinh, extend-
ing. Nếu M/Soc(M) có chiều uniform hữu hạn thì M có chiều
uniform hữu hạn.


/
L
K
L

h
0
p
1
/
L
K

/
L
K
h
0
L

p
q
T

B

p

π

f

0
U
M

g
f
/UV

p

0
với K là một môđun con của L, p : L → L/K là toàn cấu tự
nhiên, h : S → L/K là đồng cấu khác không và không toàn cấu
thì luôn tồn tại đồng cấu

h : S → L sao cho p.

h = h.
3.2.2 Mệnh đề. Cho M là R-môđun phải có mọi môđun hữu
hạn sinh trong σ [M] là lifting. Giả sử L là môđun địa phương tựa
xạ ảnh trong σ [M]. Khi đó L là đơn hoặc Soc(L) = Rad(L).
3.2.3 Định lý. Cho M là R-môđun phải tựa xạ ảnh hữu hạn

= 0.
17
KẾT LUẬN
Trong luận văn"Một số vấn đề về môđun lifting và môđun
extending trong phạm trù σ [M]" tác giả đã trình bày một
cách có hệ thống các vấn đề sau đây:
1. Trình bày tổng quan các kết quả chính về tính chất của
môđun extending. ([3], [8])
2. Trên cơ sở các tính chất của môđun extending, xét xem
môđun lifting có hay không các tính chất đối ngẫu tương ứng.
3. Khảo sát môđun M có tính chất mọi môđun hữu hạn sinh
trong phạm trù σ [M] là extending. ([5] , [6] , [7])
4. Khảo sát môđun tựa xạ ảnh M có tính chất mọi môđun
hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M] là lifting.
Trong luận văn này, đóng góp chính của tác giả là các định lý
2.2.2, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.9, 2.2.12, các phản ví dụ, chứng minh chi
tiết các bổ đề 3.1.1, 3.1.2, các phép chứng minh 3.2.1, 3.2.2.
Trong khuôn khổ của một luận văn Thạc sĩ và ít nhiều hạn
chế về thời gian cũng như trình độ hiểu biết nên có nhiều ý tưởng
mà chúng tôi chưa nghiên cứu đến như: những tính chất phản đối
xứng giữa môđun extending và môđun lifting, mô tả môđun M
có tính chất mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M] là
lifting Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để
có thể bổ sung và phát triển luận văn này. Mặc dù đã hết sức cố
gắng nhưng chắc chắn vẫn không thể tránh khỏi những sai sót
ngoài ý muốn, tác giả rất mong nhận được sự lượng thứ, chỉ bảo
kịp thời của quý thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn
thiện hơn.
18
LỜI CẢM ƠN

390.
8. S.H.Mohamed and B.J.M

u
ller (1990), Continuous and Dis-
crete Modules, London Math.
9. B.L.Osofsky and P.F.Smith (1991), "Cyclic modules whose
quotients have all complement submodules", J.Algebra, 139, pp
342-354.
10. S.H.Rim and K.Takemori (1993), "On dual Goldie dimen-
sion", Comm. Algebra, 21, pp 665-674.
11. Yongduo Wang and Nanqing Ding (2006), "Generalized
lifting modules", International Journal of Mathematics and Math-
ematical Sciences, pp 1-9.
12. R.Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring The-
ory, Gordon and Breach, Reading, MA.