BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG…………………

LUẬN VĂN

Một số vấn đề về modun
extending và modun lifting
trong phạm trù M 1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục 1
Mở đầu 2
Chương I. Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Phạm trù σ[M] 4
1.2 Môđun Noether và môđun Artin 4

ở Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên cứu. Các tính chất extending
và lifting trên môđun được sử dụng để đặc trưng hay khảo sát một số
lớp vành gần với các lớp vành Noether hoặc Artin. Quan tâm đến lớp
các môđun này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề về
môđun extending và môđun lifting trong phạm trù σ(M)".
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương
Chương I. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về các kiến thức cơ sở
liên quan đến nội dung của luận văn, các định nghĩa và các tính chất
Chương II. Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun
extending và môđun lifting. Trên cơ sở các tính chất của môđun extend-
ing, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối
ngẫu tương ứng.
Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong
phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting.
3
Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất mọi
môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending và khảo sát
môđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M] là lifting.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong học tập và nghiên cứu khoa học
cũng như cẩn thận trong khâu chế bản, song do ít nhiều hạn chế về thời
gian và trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo
của quý thầy cô và những đóng góp của bạn đọc để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Quy Nhơn, 3-2008
4
Chương I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

(3) Mọi chuỗi giảm A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ những môđun con của M đều
dừng.
1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun
lõm (hollow) và chiều hollow
1.3.1 Định nghĩa. (i) Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (hay
lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có
A ∩ B = 0 (Một cách tương đương, nếu A ∩ B = 0 thì B = 0). Khi đó
ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của A, kí hiệu A ⊂
∗
M.
(ii) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) trong M
nếu với mỗi môđun con E = M ta đều có A + E = M (Một cách tương
đương, nếu A + E = M thì E = M). Khi đó ta kí hiệu A ⊂
o
M.
1.3.2 Tính chất. [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun con
của M. Khi đó:
(1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂
∗
M kéo theo B ⊂
∗
C.
(2) Nếu A ⊂
∗

1.3.3 Định nghĩa. (i) Một R-môđun con K của M được gọi là đóng
(closed) trong M nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M.
(ii) Cho L ⊂ M, L được gọi là đối đóng (coclosed) trong M nếu L
không có môđun con thực sự K sao cho L/K ⊂
o
M/K.
1.3.4 Định nghĩa. (i) Môđun M khác không được gọi là môđun đều
(uniform) nếu mọi môđun con khác không của nó đều cốt yếu trong M.
(ii) Môđun M được gọi là môđun lõm (hollow) nếu mọi môđun thực
6
sự của nó đều đối cốt yếu trong M.
1.3.5 Định nghĩa. (i) Môđun M được gọi là có chiều uniform hữu
hạn (haychiều Goldie hữu hạn) nếu tồn tại số nguyên dương n và các
môđun con đều U
1
, , U
n
sao cho
n
⊕
i=1
U
i
là cốt yếu trong M.
Nếu M có chiều uniform hữu hạn và
n
⊕
i=1
U
i

là đối cốt
yếu trong M và M/H
i
là lõm với mọi 1 ≤ i ≤ n.
Nếu M có chiều hollow hữu hạn và
n

i=1
H
i
⊂
o
M,
m

j=1
K
j
⊂
o
M với
H
i
, K
j
là các môđun con của M sao cho M/H
i
và M/K
j
là lõm với mọi


B

M

A

f
g
h
0
7
(ii) Một R-môđun M được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu
f : M → B và với mỗi toàn cấu g : A → B của những môđun trên R
tồn tại một đồng cấu h : M → A sao cho g.h = f, nghĩa là biểu đồ sau
giao hoán
1.4.1 i 1.4.1 iiA


g
0
f
h
M

N
B

g
0
f
h
M

(ii) Một R-môđun M được gọi là N-xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu
f : M → B và với mỗi toàn cấu g : N → B với B là một môđun trên R
đều tồn tại một đồng cấu h : M → N sao cho g.h = f, nghĩa là biểu đồ
sau giao hoán

M

B

N
f

h
g
0

/
L
K
L

h
0
p
1
/
L
K

/
L
K
h
0

M
/
M
A

B

p

π

f

0
U
M

g
f
/UV

p

0
Đặt ϕ = f|
X
, vì M tựa nội xạ nên tồn tại đồng cấu f : M → M sao
cho ϕ = f.i. Khi đó, ta có f(M) ⊂ M. Giả sử x ∈ M ∩(f −f)(M), tồn tại
y ∈ M sao cho x = (f −f)(y) = f(y)−f(y), suy ra f(y) = x+f(y) ∈ M,
do đó y ∈ X.

. Vậy, (C
1
) đã được chứng minh.
(C
2
) Giả sử A ⊆ M và A  M

với M

là một hạng tử trực tiếp của
M, khi đó tồn tại đơn cấu f : M

→ M sao cho Imf = A. Vì M là tựa
nội xạ, M

là hạng tử trực tiếp của M nên M

là M-nội xạ, suy ra tồn
9
tại đồng cấu g : M → M

sao cho g.f = id
M

. Ta có:
M = Imf ⊕ Kerg = A ⊕ Kerg
hay A là hạng tử trực tiếp của M.
Đối ngẫu với các tính chất (C
1
), (C


là hạng tử trực tiếp của
M nên M

là M-xạ ảnh, suy ra tồn tại đồng cấu g : M

→ M sao cho
f.g = id
M
. Ta có M = Kerf ⊕ Img = A ⊕ Img hay A là hạng tử trực
tiếp của M.
1.4.6 Nhận xét. Như đã biết, mọi môđun tựa nội xạ đều có (C
1
)
và (C
2
). Trong khi đó, không phải mọi môđun tựa xạ ảnh đều có (D
1
).
Chẳng hạn Z-môđun Z là xạ ảnh nhưng không có tính chất (D
1
). Thật
vậy, vì Z-môđun Z là tự do nên theo [1, tr 64] Z
Z
là xạ ảnh. Xét A
là môđun con khác không của Z, A = mZ với M ∈ N
∗
. Vì Z không
phân tích được nên Z có sự phân tích duy nhất Z = Z ⊕ 0. Gọi B là
môđun con của Z, B = nZ, với n ∈ N

B.
Chứng minh. Giả sử B là bù cộng của A và D là môđun con của B
sao cho A ∩ B + D = B. Khi đó M = A + B = A + A ∩ B + D = A + D.
Do tính tối tiểu của B nên B = D hay A ∩ B ⊂
o
B.
Ngược lại, giả sử M = A + B và P là môđun con của B thoả mãn
A+P = M. Khi đó, ta có B = B ∩(A+P ) = A∩B +P , mà A∩B ⊂
o
B
nên P = B hay B là môđun tối tiểu của M thoả mãn A + B = M. Vậy
B là bù cộng của A.
11
1.6 Căn và đế
1.6.1 Định nghĩa. (i) Ta gọi giao của tất cả các môđun con tối đại
của M
R
là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun M
R
và kí
hiệu bởi Rad(M
R
). Nếu M
R
không có môđun con tối đại thì ta quy ước
Rad(M
R
) = M
R
.

R
.
12
Chương II
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
EXTENDING VÀ MÔĐUN LIFTING
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa và một
số tính chất của môđun extending: các điều kiện tương đương, mối quan
hệ giữa môđun extending và môđun đều, tổng trực tiếp của các môđun
extending Trên cơ sở các tính chất của môđun extending, chúng tôi
xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối ngẫu tương ứng,
nếu không có thì cần bổ sung thêm các điều kiện gì để đạt được tính
chất ấy
2.1 Môđun extending
2.1.1 Định nghĩa. Một R-môđun M được gọi là môđun extending
(hay CS-môđun) nếu mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng
tử trực tiếp của M.
2.1.2 Định lý. Cho M là một R-môđun. Khi đó, các điều kiện sau là
tương đương:
(1) M là extending;
(2) Mỗi môđun con N của M đều có sự phân tích M = M
1
⊕ M
2
sao
cho N ⊆ M
1
và N + M
2
⊂

⊕ M
2
sao cho N ⊆ M
1
và N + M
2
⊂
∗
M. Gọi U là một
13
môđun con của M
1
thoả mãn N ∩ U = 0, ta có U ⊆ M và
(N + M
2
) ∩ U = N ∩ U + M
2
∩ U = 0.
Vì N + M
2
⊂
∗
M nên U = 0, suy ra N ⊂
∗
M
1
. Mà N là môđun con
đóng của M nên N = M
1
hay N là một hạng tử của M.

nếu và chỉ nếu M là môđun đều.
Chứng minh. Gọi N là một môđun con khác không của M. Vì M là
môđun extending nên có sự phân tích M = M
1
⊕ M
2
sao cho N ⊂
∗
M
1
.
Mà M không phân tích được và M
1
= 0 nên M
1
= M, hay M là môđun
đều.
Ngược lại, gọi N là một môđun con của M. Nếu N = 0 thì
N ⊂
∗
N = 0 là hạng tử trực tiếp của M. Nếu N = 0 thì vì M đều nên
N ⊂
∗
M. Vậy, M là extending.
2.1.4 Định lý. Nếu M là môđun extending và M = M
1
⊕ M
2
thì M
1

M
1
nên (1 − p)(B) = 0, do đó B = p(B) ⊆ M
1
. Mặt khác, A
đóng trong M
1
nên A = B hay A đóng trong M.
Vì M là extending nên theo 2.1.2, A là hạng tử trực tiếp của M, ta
có sự phân tích M = A ⊕ D với D là một môđun con của M. Khi đó,
M
1
= (A ⊕ D) ∩ M
1
= A ⊕ D ∩ M
1
hay A là hạng tử trực tiếp của M
1
.
Vậy M
1
là extending.
2.1.5 Định lý. Cho M = M
1
⊕ M
2
với M
1
, M
2

nên L ∩ H

đóng trong M. Ta có (L ∩ H

) ∩ M
2
= 0 nên theo giả thiết
L ∩ H

là một hạng tử trực tiếp của M nên L ∩ H

cũng là hạng tử
trực tiếp của H

. Vậy L là hạng tử trực tiếp của M hay M là môđun
extending.
2.1.6 Mệnh đề. Cho M = M
1
⊕ M
2
với M
1
, M
2
là các môđun ex-
tending. Nếu M
1
là M
2
-nội xạ và M

i
, i = 1, 2 là các phép chiếu chính tắc. Xét biểu đồ sau

K

2
M

α

0
β
f
M

1
trong đó, α = π
2
|
K
và β = π
1
|
K
.
Theo giả thiết M
1
là M
2
-nội xạ nên tồn tại f : M

2
thì
x
1
= π
1
(x) = β(x) = f(α(x)); α(x) = π
2
(x) = x
2
,
do đó x = f(x
2
) + x
2
∈ M

, cho nên K ⊂ M

Ta có M

 M
2
, vì vậy M

là extending. Bởi giả thiết K đóng trong
M nên K đóng trong M

. Thế thì K là một hạng tử trực tiếp của M


).
Thật vậy, với mọi 1 ≤ i ≤ k ta có u. dim(M
i
) ≤ u. dim(M). Nếu tồn
tại i
0
, 1 ≤ i
0
≤ k sao cho u. dim(M
i
0
) = ∞ thì u. dim(M) = ∞, mâu
16
thuẫn, do đó u. dim(M
i
) = n
i
< ∞ với mọi 1 ≤ i ≤ k. Với mỗi 1 ≤ i ≤ k
tồn tại các môđun con đều U
i
1
, , U
i
n
i
sao cho
n
i
∩
j=1

i
⊕
j=1
U
ij

→ M =
k
⊕
i=1
M
i
,
do đó u. dim(M) =
k

i=1
u. dim(M
i
).
Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp theo n = u. dim(M).
Nếu u. dim(M) = 1 thì M không phân tích được, mà M extending nên
theo 2.1.3, M là môđun đều. Cho n ≥ 1, giả sử điều cần chứng minh
là đúng với mọi R-môđun có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng n. Giả sử
u. dim(M) = n + 1, vì M là môđun extending không đều nên có sự phân
tích M = M
1
⊕ M
2
với M

u
1
⊕
i=1
U
i
, M
2
=
u
2
⊕
j=1
V
j
, với U
i
, V
j
là
các môđun đều với mọi 1 ≤ i ≤ u
1
, 1 ≤ j ≤ u
2
. Vậy ta đã có điều phải
chứng minh.
2.1.8 Mệnh đề. Cho M là môđun chuỗi với chuỗi hợp thành duy
nhất 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M. Khi đó M ⊕ (U/V ) không extending.
Chứng minh. Vì M là môđun chuỗi và U/V là môđun đơn nên chúng
có các vành tự đồng cấu địa phương. Đặt X = M ⊕ (U/V ), xét biểu đồ

p
1
/
L
K

/
L
K
h
0
L

p
q
T

/()
L
Soc L
0
L

π

i

M

X

/UV

p
0

trong đó, p : U → U/V là phép chiếu chính tắc, f : U → M là phép
nhúng. Trước hết ta chứng minh p có thể được mở rộng thành một đồng
cấu g : M → U/V .
Đặt
N = {x − p(x)|x ∈ U} ⊆ M ⊕ (U/V )
Khi đó, N  U là môđun con đều của X. Vì X = M ⊕ (U/V )
và U ⊆ M nên N ∩ (U/V ) = 0, do đó tồn tại hạng tử trực tiếp K
của X sao cho N ⊂
∗
K. Theo định lý Krull-Schmidt [2, 12.9] ta có
X = K ⊕ M hay X = K ⊕ (U/V )). Giả sử X = K ⊕ M, khi đó p(x) = 0
với mọi x = 0 hay p đơn cấu, mâu thuẫn. Vậy X = K ⊕ (U/V ). Xét
π : X = K ⊕ (U/V ) → U/V là phép chiếu chính tắc. Khi đó tồn tại
g = π|
M
: M → U/V là mở rộng của p. Vì U/V là đơn nên Kerg = M
hoặc Kerg = U, mâu thuẫn. Vậy X không extending.
2.2 Môđun lifting
2.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun, M được gọi là môđun
lifting nếu với mỗi môđun con A của M, tồn tại hạng tử trực tiếp X của
M sao cho X ⊆ A và A/X ⊂
o
M/X.
2.2.2 Định lý. Cho M là một R-môđun. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:

(5) M có tính bù cộng và mỗi môđun con bù cộng của M là một hạng
tử của M.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử N là một môđun con của M. Vì M là
lifting nên có sự phân tích M = M
1
⊕ M
2
sao cho
M
1
⊆ N, N/M
1
⊂
o
M/M
1
.
Vì M/M
1
 M
2
và N/M
1
= (M
1
⊕N ∩M
2
)/M
1
 N ∩M

= M
1
, N
2
= N ∩ M
2
ta có (3).
(3) ⇒ (4) Giả sử M = K + L với K, L là các môđun con của M,
ta sẽ chứng minh rằng K chứa bù cộng của L. Vì K là môđun con của
M nên K có thể được viết K = N ⊕ H, trong đó N là một hạng tử
trực tiếp của M và H ⊂
o
M, khi đó M = L + N. Cũng theo (3) ta có
L ∩ N = N
1
⊕ S với S ⊂
o
M và N
1
là một hạng tử trực tiếp của M,
tức là M = N
1
⊕ P
1
, với P
1
là môđun con của M. Thế thì S ⊂
o
N và
N = N

là một bù cộng của N
1
+ S = L ∩ N trong N. Khi
đó ta có
M = L + N = L + (L ∩ N) + N
2
= L + N
2
.
Hơn nữa L ∩ N
2
= (L ∩ N) ∩ N
2
⊂
o
N
2
nên theo 1.5.3, N
2
là bù cộng
của L hay M có tính bù cộng.
Gọi N là môđun con đối đóng của M, ta có sự phân tích N = N
1
⊕N
2
,
trong đó N
1
là một hạng tử trực tiếp của M và N
2

K + L = M. Do tính tối tiểu của N ta có K = N hay N là môđun con
đối đóng của M.
(5) ⇒ (1) Giả sử A là một môđun con của M, vì M có tính bù cộng
nên A có bù cộng là B, theo (4), B là hạng tử trực tiếp của M. Gọi M
1
là bù cộng của B trong M, ta có M
1
⊆ A và M
1
là một hạng tử trực
tiếp của M. Đặt M = M
1
⊕ M
2
, ta có
A/M
1
= (M
1
⊕ A ∩ M
2
)/M
1
 A ∩ M
2
và A = (M
1
+ B) ∩ A = M
1
+ A ∩ B.

2
hay A/M
1
⊂
o
M/M
1
. Vậy, M là lifting.
2.2.3 Hệ quả. Một R-môđun M không phân tích được là lifting nếu
và chỉ nếu M là lõm.
Chứng minh. Gọi N là một môđun con thực sự của M, vì M là lifting
20
nên N có thể được viết N = N
1
⊕ N
2
trong đó N
1
là một hạng tử trực
tiếp của M và N
2
⊂
o
M. Giả sử M = N
1
⊕ M
1
, vì M không phân tích
được và N = M nên N
1


H1

H2 /
M
A
M

B

M

p
f
0
/UV
1
M

2
M

*
/
M
D
ϕ
0
Vì M là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu f : M → B thỏa mãn π.f = p.
Đặt µ = p|
P
và g = f|
P
, thế thì π.g(P ) = p(P ) = M/A cho nên
M = A + g(P ). Ta có A ∩ g(P ) = g(Kerµ). Thật vậy, lấy x ∈ A ∩ g(P ),
tồn tại y ∈ P sao cho x = g(y). Ta có 0 = π(x) = π.g(y) = π.f(y) = p(y)
21
/
M
A
M

B

p
i
f
g
0
π

H


M

2
M

*
/
M
D
ϕ
0
trong đó p, π lần lượt các phép chiếu tự nhiên p : M → M/X,
π : Y → M/X. Vì M là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu f : M → Y thỏa
mãn π.f = p. Vì π.f(X) = p(X) = 0 nên f(X) ⊆ X. Ta có
M = f(M) + X = f(X + Y ) + X = f(X) + f(Y ) + X = f(Y ) + X
Do tính tối tiểu của Y nên f(Y ) = Y , khi đó M = Y + Kerf. Vì
Kerf ⊆ X và từ tính tối tiểu của X suy ra Kerf = X. Ta có
Kerf = X = Kerp = Ker(π.f).
Giả sử a ∈ X ∩ Y , khi đó a = f(b) với b ∈ Y . Ta có
0 = π(a) = π(f(b)) = b + X,
kéo theo b ∈ X = Kerf. Thế thì a = 0 nên X ∩ Y = 0. Do đó, X là
hạng tử trực tiếp của M, theo 2.2.2 ta có M là lifting.
22
2.2.6 Định nghĩa. (i) R-môđun M gọi là có phủ xạ ảnh nếu có một
R-môđun xạ ảnh P và toàn cấu g : P → M với Kerg ⊂
o
P .
(ii) Vành R gọi là hoàn chỉnh phải nếu mọi R-môđun phải đều có phủ
xạ ảnh.
2.2.7 Định lý. Đối với một vành R, các điều kiện sau đây là tương

Vì P là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu g : P → B sao cho π.g = p. Với
mỗi x ∈ M, ta có x + A = p(u) = π(g(u)) = g(u) + A, với u ∈ P. Từ
đó, x ∈ g(P ) + A và M = A + g(P ).
Mặt khác, nếu g(u) ∈ A, u ∈ P thì p(u) = π(g(u)) = 0. Do vậy,
g(P ) ∩ A ⊂ g(Kerp). Bởi định nghĩa phủ xạ ảnh ta có Kerp ⊂
o
P , kéo
theo g(Kerp) ⊂
o
g(P ). Vì vậy, g(P ) là bù cộng của A chứa trong M.
Thế thì M có tính bù cộng.
23
(2) ⇒ (3) Giả sử M là R-môđun tựa xạ ảnh và có tính bù cộng. Theo
1.4.5 và 2.2.5, M có tính chất (D
1
) và (D
2
).
(3) ⇒ (4) là hiển nhiên.
(4) ⇒ (1) Giả sử M là R-môđun tùy ý và η : F → M là toàn cấu.
Theo định lý 2.2.5, F là lifting. Mặt khác, theo 2.2.2, F có sự phân tích
F = F
1
⊕ F
2
sao cho F
1
⊆ Kerη và F
2
∩ Kerη ⊂

Vì K đối đóng trong M
1
nên K/Z không đối cốt yếu trong M
1
/Z, do đó
với mọi môđun con X sao cho Z ⊂ X ⊂ M
1
thì K + X = M
1
. Ta có
M = M
1
+ M
2
= K + X + M
2
,
mà K/Z ⊂
o
M/Z nên M = Z + X + M
2
= X + M
2
.
Mặt khác vì M
1
là bù cộng của M
2
trong M nên X = M
1

2
là M
1
−xạ ảnh. Khi đó, M là lifting.
Chứng minh. Gọi A là môđun con của M, theo [8, 2.16] tồn tại hạng
tử trực tiếp A
∗
của M là tối đại sao cho A
∗
⊂
o
A. Giả sử M = A
∗
⊕ B,
khi đó A = A
∗
⊕ A ∩ B, ta cần chứng minh C = A ∩ B ⊂
o
M. Giả sử
ngược lại, C không đối cốt yếu trong M, tồn tại môđun con D của M,
D = M sao cho M = C + D. Gọi D
∗
là hạng tử trực tiếp của M tối đại
sao cho D
∗
⊂
o
D.
Xét π
1

2
(D
∗
) = M
2
. Giả sử π
1
(D
∗
) = M
1
ta có M = D
∗
+ Kerπ
1
, khi đó
Kerπ
1
= M
2
. Vì M
1
là M
2
−xạ ảnh và M = D
∗
+ M
2
nên ta có biểu đồ
giao hoán

M
A
M

B

p
i
f
g
0
π

H

V
0
f
f

X
/
M
X
Y
f
π

M


}, khi đó D
∗∗
⊂
o
D
∗
và M = D
∗∗
⊕ M
2
.
Ta có D
∗
= D
∗∗
⊕ D
∗
∩ M
2
, vì D
∗
∩ M
2
là hạng tử trực tiếp của M
2
nên
M
2
= D
∗

1
= p(C) + p(D). Do M
1
là lifting nên M
1
= p(C) hoặc M
1
= p(D),
s uy ra M = C + Kerp hoặc M = D + Kerp.
Nếu M = C + Kerp thì tồn tại C
∗
⊂
o
C sao cho M = C
∗
⊕ Kerp,
khi đó A
∗
⊕ C
∗
mâu thuẫn với tính tối đại của A
∗
.
Nếu M = D + Kerp thì tồn tại H ⊂
o
D sao cho M = H ⊕ Kerp, khi
đó D
∗
⊕ H mâu thuẫn với tính tối đại của D
∗