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(M/xM ) ≤ e(x; M ) + C

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i = 1, ..., t✳

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p(M ) = −1

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▲❛s❦❡r✱ t❤➻ tr♦♥❣ ♣❤↕♠ trò ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥✱ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➜t ❦❤↔ tê♥❣ ✈➔
❧➼ t❤✉②➳t ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤ù ❝➜♣ ❝õ❛ ■✳●✳ ▼❛❝❞♦♥❛❧❞ ❝ô♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ t÷ì♥❣ tü
♥❤÷ ✈➟②✳ ❱➻ ✈➟② ✈✐➺❝ ①➙② ❞ü♥❣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♠ët ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤è✐ ♥❣➝✉
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số ừ ổ
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sp(M )

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M

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p SuppR (M )

M

M



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sp(M ) õ t rt ọ tr sp(M ) ợ t ý ợ x

ởt tỷ t số ú tổ ự ữủ t t ố
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M



M/xM

t q ừ ữỡ trữ ỗ


D(M ) = {dim(R/p) | p AssR M }
ự ữủ số q ừ t số t ý ừ ổ
ừ ổ tr õ ừ


r(M )

ữủ

r(M ) = dimk ExttR (k, M )

ợ

M



t = depth M

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dim M = d✳
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M ✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥

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M

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M/xM

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✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳

❑✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛ M ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ sp(M ) ①→❝ ✤à♥❤

❜ð✐

sp(M ) = max{p(Di−1 /Di ) | i = 1, . . . , t}.
❈❤ó þ r➡♥❣
❞➣②✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱

sp(M ) = −1
sp(M ) ≤ 0

s✉② rë♥❣ ❞➣②✳ ❚ê♥❣ q✉→t✱
♠æ✤✉♥


❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣②}.

nSCM(M ) ❦❤æ♥❣ ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ SpecR ✈î✐ tæ♣æ ❩❛r✐s❦✐✱

♥❤÷♥❣ ♥â ❧✉æ♥ ê♥ ✤à♥❤ ✈î✐ ♣❤➨♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❤â❛✱ tù❝ ❧➔ ♥➳✉
♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛

R

s❛♦ ❝❤♦

q ∈ nSCM(M )

t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤÷ñ❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛
♠å✐ t❤î ❤➻♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛

R

t❤➻

q ⊂ p ❧➔ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥

p ∈ nSCM(M )✳

❱➻ t❤➳ t❛ ❝â

nSCM(M )✳ ◆➳✉ R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣ ✈➔

❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② t❤➻


õ sp(M ) r tỗ t ồ D(r) = Nk ... N1 N0 =
M ổ ừ M s dim Ni < dim Ni1 p(Ni1 /Ni ) r
ợ ồ i = 1, ..., k r trữớ ủ k = t(r) dim(Di/Ni) r
ợ ồ i t(r) r maxit(r) p(Ni1/Ni) = r
max {sp(M ), max dim(Di /Ni )} = r.
it(r)

ớ ú tổ ự tự ữợ t ở
ữỡ õ

p SuppR M sỷ R tr
dim(R/p) > sp(M ) t Mp Rpổ
dim(R/p) sp(M ) t sp(Mp) sp(M ) dim(R/p)
ỵ

P ỏ ừ ử ú tổ ự tự
tổ q ừ

m

ú ỵ r

p(M ) = p(M )

t t ổ õ q ữ ợ


(R, m)



r

R

P

ổ

sp(R) = 1

ớ ú tổ s ữ r trữ

sp(M ) sp(M )



ỵ sp(M ) sp(M )

r R/p ổ trở
ợ ồ tố t p ừ M.
ọ t ổ trở ừ tố t

sp(M )

sp(M )



õ t õ t ỹ ữủ tr


tr

tỷ t số trữợ õ t ự

tr trữớ ủ


dim Di

sp(M ) 0



x

tỷ ồ q

Hm0 (M ) = Dt ... D0 = M
ợ ồ

ồ ừ

M

t

di :=

i t


x m tỷ 0 õ x R q

sp(R/xR) = 1

tr õ

sp(R/xR) = 1


✶✶
❑❤✐

sp(M ) > 0

t❛ ❝â ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ s❛✉ ❣✐ú❛

sp(M/xM )

✈➔

sp(M )✳

●✐↔ sû sp(M ) > 0✳ ❈❤♦ x ∈ m ❧➔ f ✲♣❤➛♥ tû ❝❤➦t ❝õ❛
Di−1 /Di ✈î✐ ♠å✐ i ≤ t✳ ❑❤✐ ✤â sp(M/xM ) ≤ sp(M ) − 1✳ ❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔②
r❛ ❦❤✐ R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤ê ❞ö♥❣ ✈➔ ♠å✐ t❤î ❤➻♥❤ t❤ù❝ ❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶✳

sp(M/xM ) ≤ sp(M ) − 1


Dt = 0✳

✣➦t

dim Di = di

✈î✐

i = 0, 1, ..., t✳

D(M ) = {d0 , ..., dt }✳

❚❛ q✉② ÷î❝

dim Dt = −1

❈❤ó þ r➡♥❣

D(M ) \ {−1} = {dim(R/p) | p ∈ AssR M }.

●✐↔ sû R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❈❤♦
j ≥ d ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✳ ❑❤✐ ✤â
✭✐✮ AssR K j (M ) = AttR Hmj (M )✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ dim K j (M ) ≤ j ✳
✭✐✐✮ dim K j (M ) = j ✈î✐ ♠å✐ j ∈ D(M )✳
❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✷✳

●✐↔ sû

R


sp(M ) r

q trỹ t s t trữ

t ổ ổ s rở


r 1 số sỷ R tữỡ ừ
rst ữỡ õ sp(M ) r dim K j (M ) r
ợ ồ j / D(M ) dim K j (M ) = j tr õ p(K j (M )) r ợ ồ
j D(M )
q


✶✸

❈❤÷ì♥❣ ✸
❱➲ ❝❤➾ sè ❦❤↔ q✉② ✈➔ ❝❤➾ sè ❦❤↔
tê♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ t❛ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t
✈î✐ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✉② ♥❤➜t
❑r✉❧❧

dim M = d✱ A

❧➔

m ✈➔ M


✈➔

I✱
M

❦➼ ❤✐➺✉

Var(I)

❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✤➛②

M✳

✸✳✶ ❈❤➾ sè ❦❤↔ q✉②
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ✤↕✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ ♣❤➙♥
t➼❝❤ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ð✐ ❊✳ ◆♦❡t❤❡r ♥➠♠ ✶✾✷✶✳ ❚r♦♥❣ ❜➔✐
❜→♦ ♥➔②✱ ❜➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❜➜t ❦➻ ✐✤➯❛♥

I

❝õ❛ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r

R

✤➲✉ ❝â

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❜➜t ❦❤↔ q✉② ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥✳
❇➜t ❜✐➳♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔