BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Huyền

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN
VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thu Huyền

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MODULE
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN HUYÊN

Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011




MỞ ĐẦU .................................................................................................................................. 7
0T

T
0

CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị ............................................................................................ 8
0T

0T

1.1.Các kiến thức cơ bản về vành .................................................................................................................. 8
0T

0T

1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị: ............................................................................................................... 8
T
0

0T

1.1.2.Ideal của vành giao hoán R: ............................................................................................................. 8
T
0

0T

1.1.3.Ideal sinh bởi tập X .......................................................................................................................... 8

0T

T
0

1.4.Module: ................................................................................................................................................... 9
0T

T
0

1.4.1.Module: ........................................................................................................................................... 9
T
0

0T

1.4.2.Module con ...................................................................................................................................... 9
T
0

0T

1.4.3.Ví dụ :............................................................................................................................................ 10
T
0

T
0



2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN ................................................................................................................ 12
0T

0T

2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN: ................................................................................................................ 12
T
0

0T


2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt : ...................................................................................................... 12
T
0

0T

2.1.3. Các phép toán trên ma trận ............................................................................................................ 13
T
0

0T

2.1.4. Một số tính chất khác của các phép toán trên ma trận: ................................................................... 14
T
0

T

T
0

2.2.3. Ma trận con và định thức con: ....................................................................................................... 17
T
0

0T

2.2.4. Một số định lý khai triển định thức:............................................................................................... 18
T
0

T
0

2.2.5. Ma trận khả nghịch ....................................................................................................................... 19
T
0

0T

2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN .............................................................................................. 21
0T

T
0

Định nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1): ............................................................................................................ 21
T


0T

Định lí 2.4.1: .......................................................................................................................................... 29
T
0

0T

Hệ quả 2.4.1: .......................................................................................................................................... 31
T
0

0T

Định lí 2.4.2: .......................................................................................................................................... 32
T
0

0T

Định lí 2.4.3: .......................................................................................................................................... 33
T
0

0T

Ví dụ 2.4.3:............................................................................................................................................. 33
T
0

T
0

0T

Định lí 3.1.1: .......................................................................................................................................... 37
T
0

0T

Định lí 3.1.2: .......................................................................................................................................... 37
T
0

0T

Ví dụ 3.1.2:............................................................................................................................................. 38
T
0

T
0

Bổ đề 3.1.2: ............................................................................................................................................ 38
T
0

T
0

Định nghĩa 3.2.1 (Hạng của module tự do).............................................................................................. 42
T
0

T
0

Định lí 3.2.2............................................................................................................................................ 43
T
0

T
0

Ví dụ 3.3.2:............................................................................................................................................. 45
T
0

T
0

KẾT LUẬN .............................................................................................................................46
0T

T
0

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................................47
0T


1.1.Các kiến thức cơ bản về vành
9B

1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị:
B
0
2

 Một vành R gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán, tức ∀a , b ∈ R , ta có

ab = ba .
 Một vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, kí hiệu là 1, tức là

∀a , b ∈ R , ta có a.1 = 1.a = a .

1.1.2.Ideal của vành giao hoán R:
B
1
2

Một ideal của vành giao hoán R là một vành con A của R có tính chất hấp thụ đối với phép nhân
bên trái và bên phải. Tức là:

a.r ∈ A, r.a ∈ A với ∀r ∈ R , ∀a ∈ A .

1.1.3.Ideal sinh bởi tập X
B
2

Cho X là tập con bất kì của vành R.

0
0
7
0
0
0
7
0
0


 
 




1.2.2.Miền nguyên:
B
4
2

Một vành giao hoán có đơn vị 1 (1 ≠ 0 ) và không có ước của 0 được gọi là miền nguyên.


Trong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy:
4B

∀a , b, c ∈ R , a ≠ 0 : ac = bc ⇒ a (b − c ) = 0 ⇒ b − c = 0 ⇒ b = c .


1) a (x + y ) = ax + ay
2) (a + b )x = ax + bx
3) (ab )x = a (bx )
4) 1x = x
với a , b ∈ R , x , y ∈ M

1.4.2.Module con
B
6
2

Cho R-module M và tập con khác rỗng N ⊂ M, N được gọi là module con của M nếu

∀x , y ∈ N, ∀r ∈ R : x + y ∈ N, rx ∈ N.
Mỗi R-module M bất kì có hai module con tầm thường là M và module 0.


1.4.3.Ví dụ :
B
7
2

1) Mỗi nhóm abel là một module trên vành Z.
2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì, được gọi là
module 0.
3) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một module trên K và ngược lại.
4) Module con của Z-module M chính là nhóm con của nhóm abel M (đối với cộng)
5) Nếu

A

1.5.1.Định nghĩa:
B
8
2

Giả sử M là một R-module
 Tập con khác rỗng S của M được gọi là cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có thể biểu
thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. Nói cách khác, phần tử 0 của M có cách biểu
diễn duy nhất. Tức là:
Nếu

với

r1 , r2 , ...., rn ∈ R và

thỏa

s1 , s 2 , ...., s n ∈ S

0 = r1s1 + r2 s 2 + .... + rn s n thì

r1 = r2 = .... = rn = 0 .
 Module M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là module 0.

1.5.2.Ví dụ:
B
9
2

{