1
C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1
Ma trận
2
Định thức
3
Ma trận nghịc đảo
4
Hạng của ma trận
2
1. MA TRẬN
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có
m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n













mn
2
m









nn
2
m
1
n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A
• a
11
,a
22
,…a
nn
được gọi là các phần tử chéo.
• Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là
đường chéo chính.
4







nn
n222
n11211
a

a a
a aa
A
 Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i < j













nn
2

a aa

aa
a
A
5
1. MA TRẬN
 Ma trận chéo: aij = 0 nếu i ≠ j













nn
22
11
a 00

0 a0
0 0a
A














1 00

0 10
0

0
1
I
6
1. MA TRẬN
1.1.3. Vectơ hàng(cột): Ma trận chỉ có một hàng(cột)
1.1.4. Ma trận không:







1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[a
ij
]
m x n
=> A
T
=[a
ji
]
n x m













3125171811
2819201513
241618149
30
27
15
12









3141
2
2
3
1
2315
4
1
3
2
2. Tính chất:
•A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
•  + A = A
• Nếu gọi -A = [-a
ij
]
m x n
thì ta có -A + A = 
9
1. MA TRẬN
1.2.2. Phép nhân một số với ma trận:

10
1. MA TRẬN
1.2.3. Phép nhân hai ma trận:
1. Định nghĩa : A=[a
ik
]
m x p
; B=[b
kj
]
p x n
=> C=[c
ij
]
m x n
:



p
1
k
kjikpjip2ji21ji1ij
baba babac







• Phép nhân nói chung không có tính giao hoán
• A=[a
ij
]
n x n
=> I.A = A.I = A
12
1. MA TRẬN
1.3. VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng.
Tháng 1 A B C D
CH1 10 2 40 15
CH2 4 1 35 20
Tháng 2 A B C D
CH1 12 4 20 10
CH2 10 3 15 15
13
1. MA TRẬN
Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng
theo kế hoạch sản xuất cho bởi 2 bảng số liệu sau:
Phân
xưởng
Sản phẩm
A B C
PX1 10 0 5
PX2 0 8 4
PX3 0 2 10
Sản
phẩm
Vật liệu

– a
12
a
21
15
2. ĐỊNH THỨC













nn
2
m
1
n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa

C
12
+ …+ a
1n
C
1n





n
1j
j1j1
j1
n
1j
j1j1
)Adet(a)1(Ca)Adet(
17
2. ĐỊNH THỨC
2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:
• Tính chất 1:A
T
=A
Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng
của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát
biểu ta thay hàng bằng cột.
• Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một
định thức ta được một định thức mới bằng định thức












nn
2
n
1
n
,
in
,
2i
,
1i
n22221
n11211
,
a aa

a



nn
2
n
1
n
"
in
"
2i
"
1i
n22221
n11211
"
a aa

a aa



nn2211
nn
2
m
1
n
2221
11
a aa
a aa

0 aa
0 0a

22
2. ĐỊNH THỨC
2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC:
• Phương pháp 1: Dùng định nghĩa.
• Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp.
Biến đổi sơ cấp Tác dụng Lý do
Nhân một hàng với một số k≠0 Định thức nhân với k TC 5
Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu TC 2
Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi TC 9
23
2. ĐỊNH THỨC
8432
1890
4321
8

được tính bởi công thức sau:














nn
n
2
n
1
2n2212
1n2111
T1
C CC

C CC
C CC
A
1
C