MU
.
C LU
.
C
1 Ma trˆa
.
n - D
-
i
.
nh th´u
.
c 3
1.1 Ma trˆa
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 D
-
i
.
nh nghı
˜
a va` ca´c kha´i niˆe
.
m . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Ca´c phe´p toa´n trˆen ma trˆa
.
n . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Ma trˆa
.

´
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 D
-
i
.
nh th´u
.
c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Ma trˆa
.
n kha
’
nghi
.
ch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Ha
.
ng cu
˙’
a ma trˆa
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Hˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh tuyˆe

n tı´nh. . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Hˆe
.
phu
.
o
.
ng trı`nh tuyˆe
´
n tı´nh thuˆa
`
n nhˆa
´
t. . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 D
-
i
.
nh nghı
˜
a va` tı´nh chˆa
´
t. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Hˆe
.
nghiˆe
.
m co
.
ba

´
n tı´nh tˆo
’
ng
qua´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Khˆong gian vector 47
3.1 Kha´i niˆe
.
m vˆe
`
khˆong gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 D
-
i
.
nh nghı
˜
a khˆong gian vector . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 V`ai v´ı du
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.3 Mˆo
.
t sˆo
´
tı´nh chˆa
´
t d¯o
.
n gia

ho
.
.
p tuyˆe
´
n tı´nh va` biˆe
’
u thi
.
tuyˆe
´
n tı´nh. . . . . . . . 51
3.3.2 D
-
ˆo
.
c lˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh v`a phu
.
thuˆo
.
c tuyˆe
´
n t´ınh. . . . . . . 52
3.3.3 V`ai t´ınh chˆa
´
t vˆe

con d¯ˆo
.
c lˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh tˆo
´
i d¯a
.
i. . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 Ha
.
ng cu
˙’
a mˆo
.
t hˆe
.
vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.3 C´ac hˆe
.
vector trong K
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Co
.
so
.
˙’

u. Khˆong gian h˜u
.
u ha
.
n v`a vˆo ha
.
n chiˆe
`
u. . . . . 59
3.5.4 To
.
a d¯ˆo
.
cu
˙’
a mˆo
.
t vector trong khˆong gian n chiˆe
`
u. . . . 60
4 Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 66
4.1
´
Anh xa

-
i
.
nh ngh˜ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 D
-
u
.
a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh tˇa
´
c. . . . . . . . 69
4.2.3 Da
.
ng chuˆa
˙’
n tˇa
´
c cu
˙’
a da

i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
Chu
.
o
.
ng 1
Ma trˆa
.
n - D
-
i
.
nh th´u
.
c
1.1 Ma trˆa
.
n
1.1.1 D
-
i
.
nh nghı
˜
a va` ca´c kha´i niˆe
.

.
t ba
’
ng gˆo
`
m m.n phˆa
`
n tu
.
’
a
ij
∈ K (i = 1, m; j = 1, n) d¯u
.
o
.
.
c
s˘a
´
p xˆe
´
p tha`nh m do`ng va` n cˆo
.
t nhu
.
sau:
A =



m×n
.
Ca´c phˆa
`
n tu
.
’
o
.
’
do`ng th´u
.
i va` cˆo
.
t th´u
.
j d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` phˆa
`
n tu
.
’
a
ij

n tu
.
’
a
1j
, a
2j
, . . . , a
mj
d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` ca´c phˆa
`
n tu
.
’
thuˆo
.
c cˆo
.
t th´u
.
j.
Vı´ du
.

.
c go
.
i la` ma trˆa
.
n khˆong nˆe
´
u
mo
.
i phˆa
`
n tu
.
’
d¯ˆe
`
u b˘a
`
ng 0.
2. Ma trˆa
.
n vuˆong. Mˆo
.
t ma trˆa
.
n A = (a
ij
)
m×n

i
.
nh th´u
.
c
3. Cho ma trˆa
.
n vuˆong
A = (a
ij
)
n
=




a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
··· ··· ··· ···

c d¯u
.
`o
.
ng che´o chı´nh.
Ca´c phˆa
`
n tu
.
’
a
1n
, a
2n−1
, . . . , a
n1
go
.
i la` ca´c phˆa
`
n tu
.
’
n˘a
`
m trˆen d¯u
.
`o
.
ng che´o

´
u mo
.
i phˆa
`
n tu
.
’
n˘a
`
m trˆen d¯u
.
`o
.
ng che´o chı´nh d¯ˆe
`
u b˘a
`
ng 1 co`n ca´c phˆa
`
n
tu
.
’
kha´c d¯ˆe
`
u b˘a
`
ng 0. Lu´c d¯o´ A d¯u
.


1 0 0
0 1 0
0 0 1


5. Ma trˆa
.
n che´o. Cho A = (a
ij
)
n
. A d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` ma trˆa
.
n che´o nˆe
´
u mo
.
i
phˆa
`
n tu
.

)
n
. A la` ma trˆa
.
n tam gia´c trˆen nˆe
´
u
mo
.
i phˆa
`
n tu
.
’
n˘a
`
m du
.
´o
.
i d¯u
.
`o
.
ng che´o chı´nh d¯ˆe
`
u b˘a
`
ng 0. A la` ma trˆa
.

´
u no´ la` ma trˆa
.
n tam gia´c trˆen ho˘a
.
c du
.
´o
.
i.
A =






a
11
a
12
. . . a
1n−1
a
1n
0 a
22
. . . a
2n−1
a

22
. . . 0 0
··· ··· ··· ··· ···
a
n−11
a
n−11
. . . a
n−1n−1
0
a
n1
a
n2
. . . a
n−1n
a
nn






la` ma trˆa
.
n tam gia´c du
.
´o
.

.
.
c go
.
i la` ma trˆa
.
n do`ng.
Ma trˆa
.
n B = (b
ij
)
m×1
=




a
11
a
21
···
a
m1




d¯u

.
:
A =




3 4 5 6 7 8
0 0 7 6 9 4
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 0




la` ma trˆa
.
n bˆa
.
c thang.
9. Hai ma trˆa
.
n A = (a
ij
)
m×n
va` B = (b
ij
)
m×n

˜
a 1.2. Cho hai ma trˆa
.
n cu`ng cˆa
´
p A = (a
ij
)
m×n
va` B = (b
ij
)
m×n
.
Tˆo
’
ng cu
’
a hai ma trˆa
.
n A, B la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n C = (c
ij
)
m×n
v´o
.


1 + 6 2 + 3 2 + (−8)
4 + 2 −2 + (−2) 5 + 1
7 + 0 −3 + 0 4 + 5


=


7 5 −6
6 0 6
7 −3 9


Tı´nh chˆa
´
t 1.1. Cho A, B, C, 0 la` ca´c ma trˆa
.
n cu`ng cˆa
´
p, khi d¯o´ ta co´:
(i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı´nh kˆe
´
t ho
.
.
p)
(ii) A + B = B + A(tı´nh giao hoa´n)
(iii) A + 0 = 0 + A = A
Ba`i gia

.
`o
.
ng K v´o
.
i ma trˆa
.
n.
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 1.3. Cho A = (a
ij
)
m×n
, k ∈ K. Phe´p nhˆan mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a
tru
.



ka
11
. . . ka
1n
. . . . . . . . .
ka
m1
. . . ka
mn


D
-
˘a
.
t biˆe
.
t, khi k = −1 ∈ K, thay cho (−1)A, ta se
˜
viˆe
´
t −A va` go
.
i no´ la` ma
trˆa
.
n d¯ˆo
´

8 −4 10
14 −6 8


Tı´nh chˆa
´
t 1.2. Cho A, B la` ca´c ma trˆa
.
n cu`ng cˆa
´
p, α, β ∈ K. Khi d¯o´ ta co´:
(i) α(A + B) = αA + αB
(ii) (α + β)A = αA + βA
(iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA)
(iv) 1.A = A
c. Phe´p nhˆan hai ma trˆa
.
n.
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 1.4. Cho A = (a
ij
)
m×n
la` ma trˆa
.

p m ×p trˆen K ma` ca´c phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a no´ d¯u
.
o
.
.
c xa´c
d¯inh nhu
.
sau:
c
ik
=
n

j=1
a
ij
b
jk
; ∀i = 1, m, ∀k = 1, p.
Minh ho
.
a:

´
tuyˆe
´
n tı´nh
1.1. Ma trˆa
.
n 7
Khi d¯o´:
AB =

1 2 −1
3 1 2



1 3
2 1
3 −1


=

1.1 + 2.2 + (−1).3 1.3 + 2.1 + (−1).(−1)
3.1 + 1.2 + 2.3 3.3 + 1.1 + 2.(−1)

=

2 6
11 8


u kiˆe
.
n d¯ˆe
’
phe´p nhˆan hai ma trˆa
.
n thu
.
.
c hiˆe
.
n d¯u
.
o
.
.
c la` sˆo
´
cˆo
.
t cu
’
a ma
trˆa
.
n 1 b˘a
`
ng sˆo
´
do`ng cu

(K) la` tˆa
.
p tˆa
´
t ca
’
nh˜u
.
ng ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n trˆen tru
.
`o
.
ng K.
Tı´nh chˆa
´
t 1.3. V´o
.
i phe´p nhˆan hai ma trˆa
.
n ta co´ ca´c tı´nh chˆa
´
t sau:
(i) (AB)C = A(BC); A ∈ M
m,n
(K), B ∈ M
n,p

n d¯o
.
n vi
.
cˆa
´
p lˆa
`
n
lu
.
o
.
.
t la` m, n.
d. Chuyˆe
’
n vi
.
ma trˆa
.
n.
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 1.5. Cho A = (a
ij

= a
ji
, i = 1, m, j = 1, n.
Ta kı´ hiˆe
.
u ma trˆa
.
n chuyˆe
’
n vi
.
cu
’
a ma trˆan A la` A
t
. No´i mˆo
.
t ca´ch kha´c chuyˆe
’
n
vi
.
cu
’
a ma trˆa
.
n A la` ma trˆa
.
n B d¯u
.

nh th´u
.
c
Vı´ du
.
. A =


1 −1 0 2
2 3 −5 0
1 0 3 4


3×4
A
t
=




1 2 1
−1 3 0
0 −5 3
2 0 4




4×3

t
= B
t
A
t
, A ∈ M
m,n
(K), B ∈ M
n,p
(K).
4. (I
n
)
t
= I
n
, I
n
la` ma trˆa
.
n d¯o
.
n vi
.
cˆa
´
p n.
5. A la` ma trˆa
.
n che´o thı` A

n d¯ˆo
´
i x´u
.
ng nˆe
´
u A
t
= A.
+) A go
.
i la` ma trˆa
.
n pha
’
n x´u
.
ng nˆe
´
u A
t
= −A.
Vı´ du
.
.
Cho A =


1 −2 1
−2 3 1


. Ta co´ B
t
=


0 2 −1
−2 0 −3
1 3 0


= −B. Vˆa
.
y B la` ma
trˆa
.
n pha
’
n x´u
.
ng.
Nhˆa
.
n xe´t. Nˆe
´
u A la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n pha

.
n 9
1.1.4 D
-
a th´u
.
c ma trˆa
.
n.
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 1.7. Cho A la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n vuˆong trˆen K va` p(x) = a
0
+ a
1
x +
··· + a
n
x
n
∈ K[x] la` mˆo
.

.
cu`ng cˆa
´
p v´o
.
i A, d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` gia´ tri
.
cu
’
a d¯a th´u
.
c
p(x) tai x = A, kı´ hiˆe
.
u p(A). No´ cu
˜
ng d¯u
.
o
.
.
c go
.

i A).
Ba`i tˆa
.
p.
1.1.1 Cho ca´c ma trˆa
.
n:
A =


1 2
−1 0
2 1


; B =


1 3
2 1
−3 −2


; C =


2 5
0 3
4 2


1.1.3 Kı´ hiˆe
.
u (r × s) la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n cˆa
´
p r × s trˆen K. Tı`m m, n ∈ N\{0}
trong ca´c tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p sau:
a) (3 × 4) × (4 × 5) = (m × n); b) (2 × 3) × (m × n) = (2 × 6); c)
(2 × m) × (4 × 3) = (2 × n).
1.1.4 Tı´nh:
a)

1 2 −3
3 0 4



1 1 0 2
0 1 1 0
1 0 2 1

0 λ

n
; e)

cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ

n
; (n ∈ N, 0 ≤ ϕ < 2π).
Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
10 1. Ma trˆa
.
n - D
-
i
.
nh th´u
.
c

.
c p(x) = x
2
− 3x + 1. Tı´nh ca´c d¯a th´u
.
c ma trˆa
.
n p(A), p(B)
biˆe
´
t
A =

1 2
0 4

; B =


1 2 −3
3 0 4
0 −1 0


.
1.1.8 Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:

a q(x) = x
2
− (a + d)x +
+(ad − bc) ∈ K[x].
1.1.9* V´o
.
i mˆo
˜
i ma trˆa
.
n vuˆong A = (a
ij
)
n
∈ M
n
(K), ta go
.
i tˆo
’
ng ca´c phˆa
`
n tu
.
’
trˆen d¯u
.
`o
.
ng che´o chı´nh cu

tr(AB) = tr(BA).
1.1.10* Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng khˆong tˆo
`
n ta
.
i ca´c ma trˆa
.
n vuˆong A, B ∈ M
n
(K) sao
cho AB − BA = I
n
.
1.2 D
-
i
.
nh th´u
.
c
1.2.1 Phe´p thˆe
´
- Nghi
.
ch thˆe
´

t phe´p thˆe
´
bˆa
.
c n la` mˆo
.
t song a´nh σ t`u
.
X lˆen chı´nh no´. Khˆong
Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
1.2. D
-
i
.
nh th´u
.
c 11
mˆa
´
t tı´nh tˆo

Kı´ hiˆe
.
u S
n
la` tˆa
.
p ho
.
.
p tˆa
´
t ca
’
ca´c phe´p thˆe
´
bˆa
.
c n thı` S
n
la` tˆa
.
p ho
.
.
p gˆo
`
m
n! = 1.2 n phˆa
`
n tu

.
u N(σ) la` sˆo
´
ca´c nghi
.
ch thˆe
´
cu
’
a phe´p thˆe
´
σ.
Vı´ du
.
. Tı`m tˆa
´
t ca
’
ca´c phe´p thˆe
´
bˆa
.
c 3 cu
’
a I = {1, 2, 3}.
Ta thˆa
´
y tˆa
.
p I co´ 3 phˆa

, σ
2
=

1 2 3
2 1 3

, σ
3
=

1 2 3
2 3 1

,
σ
4
=

1 2 3
3 1 2

, σ
5
=

1 2 3
3 2 1

.

N(σ
3
) = 2 ( nghi
.
ch thˆe
´
(1,3) va` (2,3)),
N(σ
4
) = 3 (nghi
.
ch thˆe
´
(1,2), (2,3) va` (1,3)),
N(σ
5
) = 2 (nghi
.
ch thˆe
´
(1,2) va` (1,3)).
1.2.2 D
-
i
.
nh th´u
.
c.
a. D
-

nh th´u
.
c cu
’
a ma trˆa
.
n A la` mˆo
.
t sˆo
´
thuˆo
.
c K, kı´ hiˆe
.
u detA,
d¯u
.
o
.
.
c cho bo
.
’
i biˆe
’
u th´u
.
c:
detA =


D
-
i
.
nh th´u
.
c cu
’
a ma trˆa
.
n A co`n d¯u
.
o
.
.
c kı´ hiˆe
.
u la`:
|A| ho˘a
.
c A =








a

a
11
a
12
a
21
a
22

, n = 2, I = {1, 2},
σ
0
=

1 2
1 2

, σ
1
=

1 2
2 1

, N(σ
0
) = 0, N(σ
1
) = 1,
detA = (−1)

13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


, su
.
’
du
.
ng nh˜u
.
ng kˆe
´
t qua
’
cu
’
a vı´ du
.

− a
11
a
23
a
32
− a
12
a
21
a
33
− a
13
a
22
a
31
.
Quy t˘a
´
c Sarrus d¯ˆe
’
tı´nh d¯i
.
nh th´u
.
c cˆa
´
p 3.

nh th´u
.
c la` tı´ch cu
’
a ca´c phˆa
`
n tu
.
’
n˘a
`
m
trˆen 3 d¯u
.
`o
.
ng song song v´o
.
i d¯u
.
`o
.
ng che´o chı´nh.
+ Ba sˆo
´
ha
.
ng mang dˆa
´
u tr`u

d¯o´ ta tı´nh d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh th´u
.
c cˆa
´
p 3 nhu
.
vı´ du
.
2. Minh hoa
.
:
Vı´ du
.
. Tı´nh:






1 2 1
2 3 4
3 5 2

n chuyˆe
’
n vi
.
cu
’
a A.
Khi d¯o´ det(A
t
) = det(A). No´i ca´ch kha´c d¯i
.
nh th´u
.
c cu
’
a ma trˆa
.
n khˆong thay
d¯ˆo
’
i qua phe´p chuyˆe
’
n vi
.
.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su


σ
−1
∈S
n
(−1)
N (σ
−1
)
a

1σ
−1
(1)
a

2σ
−1
(2)
a

nσ
−1
(n)
Ba`i gia
’
ng D
-
a
.

−1
(n)n
vı` N(σ
−1
) = N(σ) va` a

ij
= a
ji
, i, j = 1, n.
D
-
ˆe
’
y´ r˘a
`
ng: σ =

1 2 ··· n
σ(1) σ(2) ··· σ(n)

=

σ
−1
(1) σ
−1
(2) ··· σ
−1
(n)

σ
−1
(n)n
.
Vˆa
.
y detA
t
=detA.
T`u
.
tı´nh chˆa
´
t trˆen ta suy ra r˘a
`
ng vai tro` cu
’
a ca´c do`ng va` ca´c cˆo
.
t trong ma
trˆa
.
n la` bı`nh d¯˘a
’
ng. Mˆo
˜
i mˆe
.
nh d¯ˆe
`

´
u d¯ˆo
’
i chˆo
˜
hai do`ng bˆa
´
t kı` cu
’
a mˆo
.
t ma trˆa
.
n thı` d¯i
.
nh th´u
.
c
cu
’
a no´ d¯ˆo
’
i dˆa
´
u.
Ch´u
.
ng minh. Gia
’
su

k va` th´u
.
l na`o d¯o´ (1 ≤ k < l ≤ n) cho
nhau, nghı
˜
a la`:
b
ij
=





a
ij
, khi i ∈ {1, 2, , n}\{k, l},
a
lj
, khi i = k, (j = 1, n)
a
kj
, khi i = l,
Ta cˆa
`
n ch´u
.
ng to
’
detB=-detA.

f(1) f(2) f(l) f(k) f(n)

Ta co´ g(i) = f(i), i = 1, n, i = k, i = l, g(k) = f(l), g(l) = f(k). Theo
d¯i
.
nh nghı
˜
a nghi
.
ch thˆe
´
, ta suy ra N(g) va` N(f) sai ke´m nhau mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
.
Do d¯o´ (−1)
N
(f) = −(−1)
N
(g), khi f cha
.
y kh˘a
´
p S
n
thı` g cu
˜

a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
14 1. Ma trˆa
.
n - D
-
i
.
nh th´u
.
c
=

f∈S
n
(−1)
N (f)
a
1f(1)
a
2f(2)
a
kf (l)
a
lf (k)

’
su
.
’
do`ng th´u
.
i
na`o d¯o´ (1 ≤ i ≤ n) cu
’
a A co´ tı´nh chˆa
´
t a
ij
= λa

ij
+ µa

ij
;
j = 1, n. Khi d¯o´ ta co´:
detA =






··· ··· ··· ···
λa


··· ··· ··· ···
a

i1
a

i2
··· a

in
··· ··· ··· ···






+ µ






··· ··· ··· ···
a

i1
a

i cu
’
a A.
Ch´u
.
ng minh. Kı´ hiˆe
.
u ba d¯i
.
nh th´u
.
c trˆen t`u
.
tra´i sang pha
’
i lˆa
`
n lu
.
o
.
.
t la` D, D

, D

.
Ta cˆa
`
n ch´u

iσ(i)
+ µa

iσ(i)
) a
nσ(n)
= λ

σ∈S
n
(−1)
N
(σ)a
1σ(1)
a
2σ(2)
a

iσ(i)
a
nσ(n)
+
+ µ

σ∈S
n
(−1)
N
(σ)a
1σ(1)

n vuˆong cˆa
´
p n trˆen K.
(1) Nˆe
´
u nhˆan mˆo
.
t do`ng na`o d¯o´ cu
’
a A v´o
.
i mˆo
.
t sˆo
´
λ ∈ K thı` d¯i
.
nh th´u
.
c cu
’
a
no´ cu
˜
ng d¯u
.
o
.
.
c nhˆan v´o

nh th´u
.
c cu
’
a no´
b˘a
`
ng khˆong.
Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
1.2. D
-
i
.
nh th´u
.
c 15
(5) Nˆe
´
u ta cˆo
.

c mˆo
.
t ma trˆa
.
n B co´ cu`ng
d¯i
.
nh th´u
.
c v´o
.
i ma trˆa
.
n A.
D
-
i
.
nh ly´ 1.4. D
-
i
.
nh th´u
.
c cu
’
a ma trˆa
.
n che´o A b˘a
`

.
i d¯o
.
c tu
.
.
ch´u
.
ng minh.
Hˆe
.
qua
’
1.2. D
-
i
.
nh th´u
.
c cu
’
a ma trˆa
.
n tam gia´c A b˘a
`
ng tı´ch ca´c phˆa
`
n tu
.
’



5 1 2 7
3 0 0 2
1 3 4 5
2 0 0 3








2)






a + x x x
x b + x x
x x c + x







nh th´u
.
c con va` phˆa
`
n bu` d¯a
.
i sˆo
´
.
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 1.10. Cho A = (a
ij
)
n
la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n trˆen K
(n ≤ 2), D = detA va` k la` mˆo
.
t sˆo
´

, , j
k
(1 ≤ j
1
< j
2
<
< j
k
≤ n) na`o d¯o´ cu
’
a A. Ca´c phˆa
`
n tu
.
’
cu
’
a A n˘a
`
m o
.
’
giao cu
’
a ca´c do`ng va`
ca´c cˆo
.
t trˆen ta
.

2
j
k
=




a
i
1
j
1
a
i
1
j
2
a
i
1
j
k
a
i
2
j
1
a
i

1
i
2
i
k
j
1
j
2
j
k
go
.
i la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n vuˆong con cˆa
´
p k cu
’
a ma trˆa
.
n A. D
-
i
.
nh th´u
.
c

i
2
i
k
j
1
j
2
j
k
.
Ma trˆa
.
n con cˆa
´
p n − k cu
’
a A co´ d¯u
.
o
.
.
c b˘a
`
ng ca´ch xo´a d¯i k do`ng, k cˆo
.
t
ch´u
.
a S

k
(trong A) va` d¯i
.
nh
th´u
.
c con cˆa
´
p n − k cu
’
a no´ d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` d¯i
.
nh th´u
.
c con bu` cu
’
a d¯i
.
nh th´u
.
c con
D
i

nh nghı
˜
a 1.11. Phˆa
`
n phu
.
d¯a
.
i sˆo
´
cu
’
a d¯i
.
nh th´u
.
c con D
i
1
i
2
i
k
j
1
j
2
j
k
kı´ hiˆe

1
i
2
i
k
j
1
j
2
j
k
= (−1)
s
M
i
1
i
2
i
k
j
1
j
2
j
k
Ba`i gia
’
ng D
-

ng ca´c chı
’
sˆo
´
do`ng va`
chı
’
sˆo
´
cˆo
.
t ta
.
o nˆen D
i
1
i
2
i
k
j
1
j
2
j
k
.
D
-
˘a

c con M
ij
cˆa
´
p n −1 nhˆa
.
n
d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
D b˘a
`
ng ca´ch xo´a d¯i do`ng i va` cˆo
.
t j; co`n phˆa
`
n bu` d¯a
.
i sˆo
´
cu
’
a D
ij
chı´nh la` A
ij






Lu´c d¯o´:
D
1314
=




5 7
1 5




la` d¯i
.
nh th´u
.
c con cˆa
´
p 2 cu
’
a D v´o
.
i phˆa


.
D
234123
=






3 0 −3
1 3 4
2 1 0






la` d¯i
.
nh th´u
.
c con cˆa
´
p 3 cu
’
a D v´o
.

n bu` d¯a
.
i sˆo
´
la`:
A
13
= (−1)
1+3






3 0 2
1 3 5
2 1 3






.
D
-
i
.
nh ly´ 1.5. Cho A = (a

ij
= a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ ···+ a
in
A
in
, i = 1, n;
(2) detA =
n

i=1
a
ij
A
ij
= a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j

.
ng (2)) d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` phe´p khai triˆe
’
n detA theo do`ng
th´u
.
i (tu
.
o
.
ng ´u
.
ng theo cˆo
.
t th´u
.
j); no´ quy viˆe
.
c tı´nh d¯i
.
nh th´u
.
c cˆa

−1 1 1
1 −1 1






.
Ca´ch 1. Du`ng d¯i
.
nh nghı
˜
a.
D = 1.1.1 + 1.1.1 + (−1).(−1).(−1) − 1.1.(−1) − (−1).1.1 − 1.(−1).1 = 4.
Ca´ch 2. Khai triˆe
’
n D theo do`ng 1.
D = 1.(−1)
1+1




1 1
−1 1





D = (−1).(−1)
1+3




−1 1
1 −1




+ 1.(−1)
2+3




1 1
1 −1




+ 1.(−1)
3+3





.
c cu
’
a ma
trˆa
.
n A b˘a
`
ng tˆo
’
ng cu
’
a ca´c tı´ch cu
’
a tˆa
´
t ca
’
ca´c d¯i
.
nh th´u
.
c con cˆa
´
p k lˆa
.
p d¯u
.
o
.

n d¯i
.
nh th´u
.
c cu
’
a ma trˆa
.
n A
theo k do`ng (tu
.
o
.
ng ´u
.
ng theo k cˆo
.
t).
Vı´ du
.
. Tı´nh d¯i
.
nh th´u
.
c sau d¯ˆay:
D =





.
p t`u
.
2
do`ng na`y:
D
2312
=




3 0
0 0




= 0, D
2313
=




3 −3
0 2




=




0 2
0 1




= 0, D
2334
=




−3 2
2 1




= −7,
Ta chı
’
cˆa
`
n tı´nh:





= −7, A
2314
= (−1)
2+3+1+4




2 0
1 0




= 0,
A
2334
= (−1)
2+3+3+4




1 2
2 1


a
mˆo
.
t ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n la` C
k
n
.
Nhˆa
.
n xe´t. D
-
ˆo
´
i v´o
.
i ba`i toa´n tı´nh d¯i
.
nh th´u
.
c:
(1) Khi thˆa
´
y mˆo
.
t do`ng (hay cˆo
.

la`m cho d¯i
.
nh th´u
.
c tro
.
’
nˆen d¯o
.
n
gia
’
n, dˆe
˜
tı´nh ho
.
n. D
-
˘a
.
c biˆe
.
t, mo
.
i d¯i
.
nh th´u
.
c d¯ˆe
`

.
d¯i
.
nh ly´ Laplace va` ca´c tı´nh chˆa
´
t cu
’
a d¯i
.
nh th´u
.
c ta co´ d¯i
.
nh ly´ sau:
D
-
i
.
nh ly´ 1.7 (D
-
i
.
nh ly´ nhˆan d¯i
.
nh th´u
.
c). Gia
’
su
.

.
nh th´u
.
c b˘a
`
ng
ca´ch ta´ch tha`nh tı´ch cu
’
a hai d¯i
.
nh th´u
.
c d¯o
.
n gia
’
n ho
.
n.
Vı´ du
.
. Tı´nh d¯i
.
nh th´u
.
c D = detA cu
’
a ma trˆa
.
n vuˆong A cˆa

n
··· ··· ··· ···
1 + x
n
y
1
1 + x
n
y
2
··· 1 + x
n
y
n




Nhˆa
.
n thˆa
´
y r˘a
`
ng:
A =











Do d¯o´
Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
1.2. D
-
i
.
nh th´u
.
c 19
D = detA =







1 1 ··· 1
y
1
y
2
··· y
n
0 0 ··· 0
··· ··· ··· ···
0 0 ··· 0










=

0 , khi n > 2,
(x
2
− x
1
)(y

1 2 3 4 5 6 7
6 4 5 3 7 1 2

1.2.2 Ch´u
.
ng minh v´o
.
i a, b, c ∈ R phu
.
o
.
ng trı`nh




a − x b
b c − x




= 0 luˆon co´
nghiˆe
.
m thu
.
.
c.
1.2.3 Khˆong khai triˆe




1 a a
2
1 b b
2
1 c c
2






b)






1 a a
3
1 b b
3
1 c c
3



1 a a
2
1 b b
2
1 c c
2






= (b −a)(c − a)(c − b)
1.2.5 Tı´nh ca´c d¯i
.
nh th´u
.
c sau:
a)








2 −3 4 1
4 −2 3 2
a b c d

c)








x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x








Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe








e)












1 2 3 ··· n − 1 n
1 3 3 ··· n − 1 n
1 2 5 ··· n − 1 n
··· ··· ··· ··· ··· ···
1 2 3 ··· 2n − 3 n
1 2 3 ··· n − 1 2n − 1














h)












0 1 1 1 . . . 1 1
1 0 1 1 . . . 1 1
1 1 0 1 . . . 1 1
··· ··· ··· ··· ··· · ···
1 1 1 1 . . . 0 1
1 1 1 1 . . . 1 0



2
0 x −1 . . . . . . 0 0
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
a
n−1
0 0 0 . . . . . . x −1
a
n
0 0 0 . . . . . . 0 x












1.2.4 Gia
’
i ca´c phu
.
o
.
ng trı`nh sau d¯ˆay theo ˆa
’
n x trˆen R:







1 x x
2
x
3
1 2 4 8
1 3 9 27
1 4 16 64








= 0;
c)








nh nghı
˜
a 1.12. Cho A la` ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n trˆen K. Ta ba
’
o A la` ma
trˆa
.
n kha
’
nghi
.
ch nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t ma trˆa
.
n B vuˆong cˆa
´
p n trˆen K sao cho:
AB = BA = I
n

`
n ta
.
i B
1
cu
˜
ng co´ tı´nh chˆa
´
t nhu
.
B, t´u
.
c la` AB
1
= B
1
A = I
n
, thı`
B = BI
n
= B(AB
1
) = (BA)B
1
= I
n
B
1

= A
−1
A = I
n
.
D
-
u
.
o
.
ng nhiˆen A = (A
−1
)
−1
, no´i ca´ch kha´c A la
.
i la` nghi
.
ch d¯a
’
o cu
’
a A
−1
.
Nhˆa
.
n xe´t.
(1) Ma trˆa

.
ch vı`
0
n
A = A0
n
= 0
n
, ∀A ∈ M
n
(K), ∀n ∈ N
∗
.
(3) Mo
.
i ma trˆa
.
n A ∈ M
n
(K) ma` co´ ı´t nhˆa
´
t mˆo
.
t do`ng (hay mˆo
.
t cˆo
.
t) khˆong
d¯ˆe
`

n vuˆong na`o cu
˜
gn kha
’
nghi
.
ch. Tˆa
.
p ho
.
.
p ca´c
ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n trˆen K kha
’
nghi
.
ch d¯u
.
o
.
.
c kı´ hiˆe
.
u la` GL
n
(K)

(AB)
−1
= B
−1
.A
−1
.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y,
(AB)(B
−1
A
−1
) = A(BB
−1
)A
−1
= AI
n
A
−1
= AA
−1
= I
n

.
p). Cho A = (a
ij
)
n
la` ma trˆa
.
n vuˆong
cˆa
´
p n trˆen tru
.
`o
.
ng K. Ma trˆa
.
n phu
.
ho
.
.
p cu
’
a A, kı´ hiˆe
.
u P
A
d¯u
.
o

A
1n
A
2n
··· A
nn




,
trong d¯o´ A
ij
la` phˆa
`
n bu` d¯a
.
i sˆo
´
cu
’
a phˆa
`
n tu
.
’
a
ij
, (i, j = 1, n) cu
’

˜
i ma trˆa
.
n vuˆong A = (a
ij
)
n
trˆen K (n ≥ 2) ta d¯ˆe
`
u co´:
(1)
n

j=1
a
ij
A
kj
=

detA , khi i = k
0 , khi i = k,
(i, k = 1, n);
(2)
n

i=1
a
ij
A

n˘ang sau:
+) i = k. Khi d¯o´ (1) chı´nh la` cˆong th´u
.
c khai triˆe
’
n theo ha`ng.
+) i = k. Xe´t ma trˆa
.
n B = (b
lj
)
n
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c b˘a
`
ng ca´ch thay do`ng th´u
.
k
b˘a
`
ng mˆo
.
t do`ng m´o
.

.
k, ta d¯u
.
o
.
.
c:
0 = detB =
n

j=1
b
kj
B
kj
=
n

j=1
a
ij
A
kj
(vı` A
kj
= B
kj
, j = 1, 2, , n).
Vˆa
.

u A la` ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n thı` :
A.P
A
= P
A
.A = detA.I
n
trong d¯o´ P
A
la` ma trˆa
.
n phu
.
ho
.
.
p cu
’
a A va` I
n
la` ma trˆa
.
n d¯o
.
n vi
.

nghi
.
ch khi va` chı
’
khi d¯i
.
nh
th´u
.
c cu
’
a no´ kha´c khˆong.
Ch´u
.
ng minh. Xe´t ma trˆa
.
n A = (a
ij
)
n
vuˆong cˆa
´
p n trˆen K.
(⇒) Gia
’
su
.
’
A kha
’


1
detA
P
A

=

1
detA
P
A

A = I
n
.
Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
1.3. Ma trˆa
.
n kha

.
c.
Bu
.
´o
.
c 1. Tı´nh d¯i
.
nh th´u
.
c D = detA.
* Nˆe
´
u D = 0 thı` A khˆong kha
’
nghi
.
ch. Thuˆa
.
t toa´n kˆe
´
t thu´c.
* Nˆe
´
u D = 0 thı` A kha
’
nghi
.
ch. La`m tiˆe
´

.
. Xe´t tı´nh kha
’
nghi
.
ch va` tı`m ma trˆa
.
n nghi
.
ch d¯a
’
o (nˆe
´
u co´) cu
’
a ca´c ma
trˆa
.
n sau:
A =


1 2 1
1 1 2
3 5 4


; B =




d
3
→d
3
−3d
1
=====






1 2 1
0 −1 1
0 −1 1






= 0
(vı` co´ 2 do`ng cuˆo
´
i giˆo
´
ng nhau).
Do d¯o´ A khˆong kha




= −3, B
12
= (−1)
1+2




3 0
1 3




= −9,
B
13
= (−1)
1+3




3 −1
1 2




= 3, B
23
= (−1)
2+3




1 0
1 2




= −2,
B
31
= (−1)
3+1




0 0
−1 0





Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
24 1. Ma trˆa
.
n - D
-
i
.
nh th´u
.
c
P
B
=


B
11
B
21
B

o cu
’
a B:
B
−1
= −
1
3
P
B
=



1 0 0
3 −1 0
−7
3
2
3
1
3



.
D
-
i
.

ng ´u
.
ng, cˆo
.
t) nˆe
´
u E thu d¯u
.
o
.
.
c
t`u
.
ma trˆa
.
n d¯o
.
n vi
.
I
n
bo
.
’
i d¯u´ng mˆo
.
t phe´p biˆe
´
n d¯ˆo

→d
2
+3d
1
−−−−−−→


1 0 0
3 1 0
0 0 1


= E
1
.
I
3
=


1 0 0
0 1 0
0 0 1


c
2
↔c
3
−−−→

t cˆa
´
p 3.
Tı´nh chˆa
´
t 1.6. Cho E la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n so
.
cˆa
´
p do`ng cˆa
´
p m (tu
.
o
.
ng ´u
.
ng, cˆo
.
t
cˆa
´
p n) nhˆa
.
n d¯u
.

.
ng ´u
.
ng, cˆo
.
t) e va` A la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n m ×n trˆen K tuy` y´. Khi d¯o´ ma trˆa
.
n
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
A bo
.
’
i phe´p biˆe
´
n d¯ˆo
’
i so
.

-
i
.
nh ly´ 1.10. Mo
.
i ma trˆa
.
n so
.
cˆa
´
p do`ng (hay cˆo
.
t) d¯ˆe
`
u kha
’
nghi
.
ch va` nghi
.
ch
d¯a
’
o cu
’
a no´ la
.
i la` mˆo
.

n
d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
I
n
bo
.
’
i phe´p biˆe
´
n d¯ˆo
’
i so
.
cˆa
´
p do`ng (hay cˆo
.
t) e. D
-
˘a
.
t E

= e

i do`ng (hay
cˆo
.
t) e

ngu
.
o
.
.
c cu
’
a e. Theo Tı´nh chˆa
´
t 1.6, ta co´:
EE

= e(E

) = e(e

(I
n
)) = (ee

)(I
n
) = I
n
;

) = I
n
.
Do d¯o´ E kha
’
nghi
.
ch va` E
−1
= E

.
D
-
i
.
nh ly´ 1.11. Cho A la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n trˆen K (n ≥ 2). Khi d¯o´
ca´c kh˘a
’
ng d¯i
.
nh sau tu
.
o

´
n d¯ˆo
’
i so
.
cˆa
´
p do`ng (hay
cˆo
.
t);
(3) A la` tı´ch cu
’
a mˆo
.
t sˆo
´
h˜u
.
u ha
.
n ca´c ma trˆa
.
n so
.
cˆa
´
p do`ng (hay cˆo
.
t).

mˆo
.
t ma trˆa
.
n bˆa
.
c thang do`ng (t.u
.
cˆo
.
t) ru´t go
.
n sau
mˆo
.
t sˆo
´
h˜u
.
u ha
.
n phe´p biˆe
´
n d¯ˆo
’
i so
.
cˆa
´
p do`ng (t.u

’
i so
.
cˆa
´
p do`ng e
1
, e
2
, , e
k
na`o d¯o´. D
-
˘a
.
t E
i
= e
i
(I
n
) la` ma trˆa
.
n so
.
cˆa
´
p do`ng nhˆa
.
n

nghi
.
ch). Suy ra B khˆong co´ do`ng 0. Ma` B la
.
i la` ma trˆa
.
n
bˆa
.
c thang do`ng ru´t go
.
n. Vˆa
.
y B = I
n
. T´u
.
c la` I
n
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
A sau mˆo
.

i so
.
cˆa
´
p cˆo
.
t)
(2)⇒(3): Gia
’
su
.
’
co´ (2), khi d¯o´ tˆo
`
n ta
.
i ca´c ma trˆa
.
n so
.
cˆa
´
p do`ng (hay cˆo
.
t)
E
1
, E
2
, , E

(hayAE
1
E
2
E
k
= I
n
).
Do d¯o´: A = E
−1
1
E
−1
2
E
−1
k
(hay A = E
−1
k
E
−1
2
E
−1
k
), t´u
.
c (3) d¯u´ng.

t ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n trˆen K (n ≥ 2). Khi d¯o´,
nˆe
´
u A kha
’
nghi
.
ch thı` I
n
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
A bo
.
’
i mˆo
.
t da
˜
y ca´c phe´p biˆe

tha`nh nghi
.
ch d¯a
’
o A
−1
cu
’
a A.
T`u
.
hˆe
.
qua
’
1.3 ta co´ mˆo
.
t thuˆa
.
t toa´n kha´ hiˆe
.
u qua
’
kha´c d¯ˆe
’
tı`m ma trˆa
.
n
nghi
.

.
cˆa
´
p.
Cho A la` mˆo
.
t ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n (n ≥ 2) trˆen K. D
-
ˆe
’
tı`m ma trˆa
.
n nghi
.
ch
Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh