CHÖÔNG 3
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
TUYEÁN TÍNH

I. ĐẶT BÀI TOÁN :
Hệ phương trình tuyến tính n pt và n
ẩn có dạng
Ax = b
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
( )
... ... ... ... ... ...
...
n
n
ij
n n nn n n
a a a x b
a a a x b
A a x b
a a a x b
     
     
     
= = = =
     
     

nn
a
a
A
a
 
 
 
=
 
 
 
detA = a
11
a
22
. . . a
nn
≠ 0 ⇔ a
ii
≠ 0, ∀i
Nghiệm x
i
= b
i
/a
ii

b. Ma traọn tam giaực dửụựi
11

11
1
1
1
[ ] , 2,
k
k k kj j
j
kk
b
x
a
x b a x k n
a

=

=




= =




c. Ma traọn tam giaực treõn :
11 12 1
22 2

[ ] , 1, 1
n
n
nn
n
k k kj j
j k
kk
b
x
a
x b a x k n
a
= +

=




= =




2. Phương pháp Gauss :
Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo
dòng để chuyển ma trận A về ma trân
tam giác trên
Các phép biến đổi sơ cấp theo dòng


Giải
1 1 2 1 8
2 2 3 3 20
[ / ]
1 1 1 0 2
1 1 4 3 4
− − −
 
 
− − −
 
=
 
−
 
−
 
A b
2 3
4 4
/2
1 1 2 1 8
0 2 1 1 6
0 0 1 1 4
0 0 1 2 6
↔
=
− − −
 

 
−
 
 
h h h
h h h
h h h
4 4 3
1 1 2 1 8
0 2 1 1 6
0 0 1 1 4
0 0 0 1 2
= +
− − −
 
 
−
 
→
 
− − −
 
 
h h h

III. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU
Phân tích ma trận A thành tích 2 ma trận L và U
A = LU
L : ma trận tam giác dưới
U : ma trận tam giác trên

 
 
 
11 12 1
22 2
...
0 ...
... ... ... ...
0 0 ...
n
n
nn
u u u
u u
U
u
 
 
 
=
 
 
 
Ma trân ∆ dưới
Ma trân ∆ trên

Các phần tử của L và U được xác đònh theo
công thức
1 1
1

−
=
= ≤ ≤



= ≤ ≤



= − < ≤



= − < <


∑
∑

Vớ duù : Giaỷi heọ phửụng trỡnh
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 3 9
4 3 4 15
2 2 3
x x x
x x x
x x x

2
1
( ) 1
3
= =
= =
= =
= =
u a l u
u a l u
l a l u
u
u a l u l u
Vớ duù : Giaỷi heọ phửụng trỡnh
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 3 9
4 3 4 15
2 2 3
x x x
x x x
x x x
+ =


+ =


+ + =

      
      
− = ⇒ =
      
      
− −
      
Nghieäm x
1
= 2, x
2
= 1, x
3
= -1

TH đặc biệt : A ma trận 3 đường chéo
11 12
21 22 23
32 33
1
0 ... 0 0
... 0 0
0 ... 0 0
... ... ... ... ... ...
0 0 0 ...
nn nn
a a
a a a
A a a
a a

L U u
l
u
 
 
 
 
 
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
 
 
 

Các phần tử của L và U được xác đònh theo
công thức
21
11 11 12 12 21
11
1 1
1 1
1
1




= = −



Vớ duù : Giaỷi heọ phửụng trỡnh Ax = b
2 1 0 2
1 2 1 1
0 1 2 2
A b



= =




Giaỷi
Ta phaõn tớch
22 23
32 33
1 0 0 2 1 0
1 / 2 1 0 0
0 1 0 0
A u u
l u


y
y y
y
      
      
− = ⇒ =
      
      
−
      
Giaûi heä Ux = y
1
2
3
2 1 0 2 5 / 2
0 3 / 2 1 2 3
0 0 4 / 3 10 / 3 5 / 2
x
x x
x
−
      
      
− = ⇒ =
      
      
      
Nghieäm x
1
= 5/2, x

Ví dụ : Kiểm tra tính xác đònh dương của ma trận
1 1 1
1 2 0
1 0 4
A
−
 
 
=
 
 
−
 
Giải
Các đònh thức con chính:
1 2
1 1
1 0, 1 0
1 2
∆ = > ∆ = = >
3
1 1 1
1 2 1 1 1 1
1 2 0 1 0 4 2 0
1 0 1 0 1 2
1 0 4
−
∆ = = − − + = >
− −
−