Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

39
Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Mục tiêu Nội dung
• Nắm được khái niệm về các loại hệ
phương trình đại số tuyến tính.
• Nắm được phương pháp giải hệ phương
trình có số phương trình và số ẩn bằng
nhau theo phương pháp Cramer và
phương pháp Gauss.
• Nắm được phương pháp giải hệ phương
trình đại số tuyến tính tổng quát; hệ
phương trình thuần nhất.
• Giải được các bài toán về hệ phương
trình đại số tuyến tính, theo cách tự luận
và theo trắc nghiệm. Thời lượng
Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT
+
8 giờ làm bài tập.
Hệ phương trình đại số tuyến tính là một
trong những vấn đề quan trọng của Đại số
tuyến tính. Các hệ số cũng như các giá trị
của các ẩn số là các số thực.Trong dạng
tổng quát số phương trình và số ẩn số có
thể là bất kỳ và hai loại số này có thể
không bằng nhau.

thường được gọi là sản phẩm cuối cùng của ngành i.
Nếu mô hình là cân bằng thì ta có
n
ij j
j1
ax
=
∑

+
y
i
=
x
i ,
i
=
1,2,…, n
Ta có một hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình và n ẩn số. Ở đây
x
i
, i
=
1,2,…, n là các ẩn số
a
i j
và y
i
là các hằng số đã biết.
3.1. Dạng của hệ phương trình đại số tuyến tính

=
x: véc tơ cột của các biến.
1
2
n
x
x
x
x
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
#
(3.3)
b: véc tơ cột các số hạng tự do.
1
2
m
b
b
b
b
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=

hay bất định. Nếu hệ phương trình là xác định thì ta đi tìm nghiệm duy nhất của nó.
Ví dụ 1:
x2y1
x2y5
−=
⎧
⎨
+=
⎩

là một hệ hai phương trình 2 ẩn.
Ví dụ 2:
2x 3y z 1
xyz6
3x y 2z 1
−
+=−
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
+
−=−
⎩

là một hệ 3 phương trình 3 ẩn.
Ví dụ 3:
2x 3y 4z 5
3x 2y 7z 6

⎢
⎥
⎣
⎦
## #

Định nghĩa: Hệ (3.2) gọi là hệ Cramer nếu det (A)
≠
0 (ma trận A không suy biến)
Khi đó sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo
1
A.
−

Định lí 3.1 (Cramer): Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức
i
i
x i 1, 2, ,n
Δ
==
ΔBài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

42
Chứng minh
Ta nhân hai vế của đẳng thức (3.2) với
1
A

⎢⎥ ⎢ ⎥
+++
⎢⎥ ⎢ ⎥
=
⎢⎥ ⎢ ⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥
+++
⎣⎦ ⎣ ⎦
### #

Vì hai ma trận chỉ bằng nhau khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau nên
()
()
()
1111212n1n
i1i12i2nin
n1n12n2nnn
1
x A b A b A b
A

1
x A b A b A b
A

1
x A b A b A b
A
⎧
=+++

a a a b a a
−+
−+
−+
+++=
(3.7)
Điều đó có nghĩa là muốn tìm
i
x thì phải chia định thức
i
Δ
thiết lập từ định thức
A =Δ
bằng cách thay cột i bởi cột số hạng tự do cho định thức Δ , tức là
i
i
x i 1, 2, , n
Δ
==
Δ
(3.8)
Vì vậy, có thể phát biểu quy tắc Cramer: Nếu định thức gồm các hệ số của hệ n
phương trình tuyến tính với n ẩn khác 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất được tính
bằng công thức (3.8).
Ví dụ: Giải hệ
x0y2z6
3x 4y 6z 30
x2y3z8
++=
⎧

⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

1
602
A3046
823
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
,
2
162
A3306
183
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟

)
=
152.
Ta có nghiệm của hệ đã cho là:
x
1
=
–
40
44

=

10
11
−
; x
2
=

72 18
44 11
= , x
3
=

152 38
44 11
= .
•

thì hệ
(3.1) có một nghiệm duy nhất. Nếu
(
)
(
)
rA rB n
=
< thì hệ (3.1) có vô số nghiệm.
Chứng minh:
Cần: Giả sử hệ (3.1) có nghiệm. Ta phải chứng minh
(
)()
rA rB.=
Thật vậy, hệ (3.1) có nghiệm, tức là có
112 2 n n
x c , x c , , x c
=
== để cho
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m 2 2 mn n m
a c a c a c b
a c a c a c b

a c a c a c b
+++=
+++ =
+++=


(
)
rA rB= .
Đủ: Giả sử
() ()
rA rB k.== Ta phải chứng minh hệ (3.2) có nghiệm.
Không giảm tính tổng quát, có thể coi định thức cấp k khác 0 của A và B nằm ở
góc trái. Khi đó, k cột đầu tiên độc lập tuyến tính và các cột còn lại có thể biểu
diễn qua k cột đầu. Trong trường hợp riêng, cột b biểu diễn được qua k cột đầu
11 2 2 k k
1111122 1kk
2211222 2kk
mm11m22 mkk
b A A A
b a a a
b a a a

b
a a a .
=λ +λ + +λ
=λ+λ++λ
=λ+λ++λ
=λ+λ++λ

Thật vậy, nếu lấy
11 k kk1k2 n
x , , x , x x x 0
++
=λ =λ = = = = thì chúng tạo nên
một nghiệm của hệ (3.1). Đó là điều phải chứng minh.

⎣⎦⎣⎦

13 1 17
01348
00 1 2 5
−
⎡
⎤
⎢
⎥
→−−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦

Ta có
() ()
rA rB 3 n 4.==<=
Vậy hệ có vô số nghiệm.
Với ma trận cuối cùng ta có:
1234
23 4
34
x3x x x 7
x3x4x8

x52c
x 8 4c 15 6c 7 2c
x7c216c52c 95c
=− +
⎧
⎪
⇒=−++−=−
⎨
⎪
=
+− + +− =−+
⎩Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

45
Vậy các nghiệm có dạng
1
2
3
4
x95c
x72c
x52c
xc
=− +
⎧
⎪
=−

<

thì hệ thuần nhất có vô số nghiệm, nghĩa là ngoài nghiệm tầm thường phải có nghiệm
không tầm thường.
Chứng minh:
Nếu
()
rA n= thì theo quy tắc Cramer, hệ có nghiệm duy nhất, chính là nghiệm tầm
thường. Nếu
(
)
(
)
r A n thì ta chuy n n r A<−Ó tự do sang phải và hệ sẽ có vô số nghiệm.
Hệ quả: Đối với hệ thuần nhất n phương trình n ẩn số thì điều kiện cần và đủ để hệ có
nghiệm không tầm thường là định thức
0.
Δ
=
Thật vậy, vì
()
(
)
0 thì r A r B n
Δ
==<. Do đó, hệ thuần nhất có vô số nghiệm, tức là
có nghiệm không tầm thường.
Ta cũng có các định nghĩa tương tự cho hệ (3.2) như đối với hệ (3.1).
Ví dụ: Giải hệ phương trình
123

21
−
=
+=≠
Bởi vậy, ta lấy 2 phương trình đầu
123
123
x2x3x 0
2x x x 0
−
+=
⎧
⎨
+
−=
⎩Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

46
Chuyển
3
x sang vế phải
(
)
12 3
12 3
x2x 3x a
2x x x (b)

x
⎧
=−
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
∈
⎪
⎪
⎩
\

3.4. Phương pháp Gauss
Nội dung của phương pháp Gauss là dùng cách khử dần các ẩn số để đưa hệ (2.18) về
dạng tam giác
12233 4
233 4
33 4
xxx
xx
x
+
α+α=α
⎧
⎪
+
β=β

2x 3x 5x 2
3x 2,5x 4x 10 b
4x 3x 2x 2
c
++=
⎧
⎪
−+=
⎨
⎪
−+ + =
⎩

Giải :
Trước hết, ta chia (a) cho hệ số của
1
x, tức là cho 2, ta được:
(
)
12 3
x1,5x 2,5x 1 a
′
++ =

Sau đó khử
1
x khỏi (b). Muốn thế ta nhân
(a')
với hệ số của
1

c
′
trừ (c) ta được:
23
9x 12x 6.−− =− (c″)
Bây giờ, ta chú ý đến hai phương trình
(
)
(
)
b
và c
′
′′′
, trong đó chỉ còn hai ẩn là
23
x và x. Lặp lại quá trình như trên.
Trước hết, ta chia
()
b
′′
cho hệ số của
2
x, tức là cho 7, ta được:
23
x0,5x 1
+
=− . (b″′)
Sau đó, ta khử
2

7,5x 15.
=
(c″′)
Kết hợp các phương trình
()
(
)
(
)
a,b ,c
′
′′′ ′′′
ta được tam giác mong muốn.
Từ
()
3
15
c ta suy ra x 2
7,5
′′′
==.
Thế
()
3
x2 vo b
′′′
= µ ta được:
22
x0,52 1x 2
+

⎨
⎪
=
⎩

Trên đây, ta đã trình bày phương pháp Gauss một cách trình tự. Trong thực hành, ta
có thể thực hiện biến đổi ma trận như sau:
11
212
313
1
L. L
L3L L
2
L4L L
2 3 5 2 1 1,5 2,5 1 1 1, 5 2,5 1
32,5410 32,5410 073,57
4322 43 22 09126
→
−→
+→
⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
−⎯⎯⎯⎯→− ⎯⎯⎯⎯⎯→−−
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
−−
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦

22

x1
x2
x2.
=
−
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

48

TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
• Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo
phương pháp Cramer và phương pháp Gauss;
•
Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát. Nắm được phương
pháp giải hệ phương trình thuần nhất;
•
Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính.
Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Phép toán và Cấu trúc đại số.

Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

⎪
+− + =
⎨
⎪
+−+=
⎩

2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình
a.

1234
1234
2
12 34
ax x x x 1
xaxx x a
xxaxx a
⎧
+++=
⎪
+++=
⎨
⎪
++ +=
⎩

b.
()
()
()

+
+=
⎩

a. Xác định a, b để hệ có nghiệm duy nhất.
b.
Xác định a, b để hệ có vô số nghiệm.
4. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
()
123
123
12 3
3x x x 1
Ix3xx 3
xx3x 9
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
++ =
⎩

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Hãy chọn phương án đúng.
1. Cho hệ phương trình
2
2
3

⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−− =
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−
⎣⎦⎣⎦⎣⎦

Khi đó, hệ chỉ có nghiệm tầm thường nếu
A.
a2≠
B.
a1≠−

C.
a2 và a 1≠≠− D. a 2 ho c a 1==−Æ
3. Xét hệ phương trình đại số tuyến tính Ax b
=
. Khi đó
A.
Nếu
()
det A 0= thì hệ vô nghiệm;
B.
Nếu
()
det A 0≠ thì hệ có vô số nghiệm;
C. Nếu
Ax 0= có nghiệm không tầm thường thì
(

B.
Hệ có vô số nghiệm.
C.
Hệ có nghiệm không tầm thường.
D.
Hệ chỉ có nghiệm tầm thường.