Gv. Cao Hào Thi

CHƯƠNG 3
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
(Random Variables and Probability Distributons)
3.1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN
3.1.1. Đònh nghóa
• Biến ngẫu nhiên là những biến mà giá trò của nó được xác đònh một cách ngẫu
nhiên.
• Về mặt toán học, nếu mỗi biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω nào đấy
có thể đặt tương ứng với một đại lượng xác đònh X = X(A) thì X được gọi là một
biến cố ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X có thể xem như hàm của biến cố A với
miền xác đònh là ω.
• Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ lớn X, Y, Z,… còn các giá trò
của chúng được ký hiệu bằng các chữ nhỏ x, y, z...
3.1.2. Phân loại
Biến ngẫu nhiên được chia làm hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên
liên tục.
3.1.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variable)
Nếu giá trò của biến ngẫu nhiên X có thể lập thành dãy rời rạc các số x
1
, x
2
, …, x
n

(dãy hữu hạn hay vô hạn) thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
3.1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable)
Nếu giá trò của biến ngẫu nhiên X có thể lấp đầy toàn bộ khoảng hữu hạn hay vô
hạn (a,b) của trục số 0x thì biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.

, sự tương quan có thể trình bày bằng bảng đồ thò hoặc
bằng biểu thức.
Thí dụ
Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, phân phối xác suất là:
Trình bày bằng bảng:
X 1 2 3 4 5 6
P
X
(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Trình bày bằng đồ thò : 3.2.3. Hàm xác suất tích lũy (Cumulative Probalility Function).
3.2.3.1. Đònh nghóa
Hàm xác suất tích lũy F
X
(x
o
) của biến ngẫu nhiên rời rạc x thể hiện xác suất để X
không vượt quá giới hạn x
o
. F
X
(x
0 1 2 3 4 5 6 x

Gv. Cao Hào Thi
3
∑
≤xox
X
)x(P
: tổng của tất cả các giá trò có thể có của x với điều kiện x≤x
o

b. 0 ≤ F
X
(x
o
) ≤ 1 ∀x
oc. Nếu x
1
< x
2
thì F
X

0
x nếu
),...,,j(jx j nếu
j
x nếu

F
X
(x≤ 2.5) = P
X
(1) + P
X
(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3
• Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc hàm xác suất tích lũy luôn có dạng bậc thang
bắt đầu từ 0 và tận cùng bằng 1.
3.2.4. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc (Expected Value of Discrete Random
Variable)
3.2.4.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
• Kỳ vọng, E(X), của biến ngẫu nhiên rời rạc X được đònh nghóa như sau:
E(X) =
∑


E(X) = µ
x
Thí dụ
Gọi X là số lỗi có trong 1 trang sách. Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X được
cho bởi: P
X
(0) = 0.81, P
X
(1) = 0.17, P
X
(2) = 0.02.
Tìm số lỗi trung bình có trong 1 trang sách ?
Giải
µ
x
= E(X) =
∑
x
X
)x(P*x

= 0 * 0.81 + 1 * 0.17 + 2 * 0.02
= 0.21 lỗi /1 trang


µ
x
= 0.21

Gv. Cao Hào Thi
5
Gọi µ
X
là số trung bình của biến ngẫu nhiên
• Phương sai của biến ngẫu nhiên X chính là kỳ vọng của (X -
µ
x
)² và được ký
hiệu
2
X
σ
.
2
X
σ
= E[(X -
µ
X
)²] =
( )
∑
µ−
x

)x(P)x(
XX
x
2
µ−
∑
=
∑∑∑∑
µ+µ+µ−
xx
X
x
XX
x
X
Px)x(P.x)x(Px
222
2
2
X
σ
=
22
X
x
X
)x(Px µ−
∑

3.2.6. Độ lệch chuẩn

Kỳ vọng của X²
E(X²) =
∑
x
X
)x(Px
2

= 0² * 0.81 + 1² * 0.17 + 2² * 0.02
E(X²) = 0.25
•

Phương sai
2
X
σ = E(X²) -
2
X
µ = 0.25 - (0.21)² = 0.2059
•

Độ lệch chuẩn
σ
x
=
4538020590
2
..
X
==σ

m
1
= µ
X

•

k = 2
m
2
= E[X²]
Momen trung tâm cấp k
(Central Momen of Order k)
M
k
= E[(X-µ
X
)
k
] =
)x(P.)x(
X
k
X
µ−
∑

•

k = 2

µ
)³] =
γ
(Skewness : độ lệch)
M
4
= E [(X -
µ
)
4
] = KM
2
² = K
σ
4

K : hệ số Kurtorsis

Gv. Cao Hào Thi
7
3.2.7. Phân phối xác suất nhò thức
(Binomial Probability Distubutions)
3.2.7.1 Hàm xác suất của phân phối nhò thức
(Probability Function of Binomial


Ghi chú
•

Phân phối của số lần phép thử thành công là x được gọi là phân phối nhò thức..
•

Hàm xác suất P
X
(x) là hàm xác suất của phân phối nhò thức.
3.2.7.2. Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối nhò thức
Gọi X là số lần thành công trong n phép thử, mỗi phép thử có xác suất thành công
là p. X tuân theo phân phối nhò thức với số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn
được tính theo các công thức sau:
Số trung bình

µ
X
= E(X) = np

Phương sai
2
X
σ

= E[(X -
µ
x
)²] = np(1-p)


8
Giải

a. Xác suất của số lần bán được hàng tuân theo phân phối nhò thức :

P
X
(x) =
x
n
C P
x
q
n-x
P
X
(x) =
x
C
5
* (0.4)
x
* (0.6)
5-x
P
X
(x) =
)!x(!x
!
−

x
= np = 5 * 0.4 = 2
Phương sai
2
X
σ
= np(1-p) = 5 * 0.4 * 0.6 = 1.2
Độ lệch chuẩn
σ
x
=
12.
= 1.10
c. P(2 < X < 4) = P
X
(2) + P
X
(3) + P
X
(4) = 0.653

3.2.8 Phân phối xác suất Poisson

3.2.8.1. Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X được gọi tuân theo phân phối Poisson nếu hàm xác suất của X
có dạng
P
X
(x) =

0 1 2 3 4 5 X
số lần thành công

Gv. Cao Hào Thi
9

•

Phương sai.

σ
²
x
= E[(x-
µ
x
)²] =
λ

•

Độ lệch chuẩn

σ
x
=
λ

Thí dụ
Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 lần gọi trong 1 giờ. hỏi xác

f
X
(x)
≥
0 ,
∀
x

•

Xác suất P(a<X<b) để giá trò của biến ngẫu nhiên X rơi vào khoảng (a,b) được
xác đònh bởi đẳng thức.

P(a<X<b) =
∫
b
a
X
dx)x(f
Ghi chú

•

Đồ thò của hàm mật độ xác suất f
X
(x) được gọi là đường cong mật độ xác suất
(probability density curve) hay đường cong tần số (frequency curve) hay cũng
còn được gọi đường cong phân phối xác suất đối với biến ngẫu nhiên liên tục.
Tung độ của mỗi điểm trên đường cong gọi là mật độ xác suất.