Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
1.ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn
hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế
khách quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về
phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức
và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua nhiều năm
giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp
các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng
như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến
thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó,
nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt
phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó
khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng
giảng dạy học nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,
không áp đặt hoặc lập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào
việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hoá các kiến thức và tổng hợp
thành một chuyên đề: “Phân loại và phương pháp giải một số toán về quan
hệ song song trong không gian”
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh
lớp 11 có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số
dạng bài toán liên quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh
thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm
khi làm bài tập. Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các các em học sinh có cơ sở
cũng như phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa
Chương II Hình Học lớp 11 một cách có hiệu quả.
Giáo viên : Cù Đức Hòa Trang 1
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012

2.2 Thực trạng vấn đề
Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song
trong không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải,
lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh
quan hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau,
nhưng chương trình hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng
dạng, thời lượng dành cho việc làm bài tập các dạng bài toán này là rất ít. Qua
việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học
sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách không chính xác hoặc có học sinh
còn không làm được bài tập liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song
trong không gian.

Giáo viên : Cù Đức Hòa Trang 3
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết các vấn đề của đề tài
Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (
α
). Hình 1 Hình 2
•
Phương pháp:
* Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (
α
) ta tìm giao điểm
của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp(
α
) ( hình 1)
Tóm tắt: Nếu

) sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường
hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ
* Các ví dụ:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD
sao cho
2
AJ=
3
AD
. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a
cần tìm chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho
học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải
cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song.
Giáo viên : Cù Đức Hòa Trang 4
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012 Hình 3 Hình 4
Lời giải:
Từ giả thiết
⇒
IJ và BD không song song.
Gọi
IJ BDK
= ∩
IJ
K BD (BCD)
K ∈


I
B
D
C
A
K
J
P
J
I
O
A
B
S
D
C
M
J
I
A
B
S
D
C
M
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu
không có sự hướng dẫn của giao viên. Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết
đường thẳng IM nằm trên mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với
mp(SBC). Từ đó tìm được giao tuyến là đường thẳng SE và giao điểm cần tìm

J
I
O
A
B
S
D
C
M
P
H
J
I
O
A
B
E
S
D
C
M
F
P
J
I
O
A
B
E
S

BC
⇒
E là điểm chung thứ hai

⇒
SE = (SAD)
∩
( SBC)
Gọi F= IM
∩
SE
⇒
F =IM
∩
(SBC) ( Hình 8)
c) Ta có SC
⊂
(SBC)
Xét 2 mp( IJM) và (SBC) Ta có JF = (IJM)
∩
(SBC)
Gọi H = JF
∩
SC
⇒
H=SC
∩
(IJM) (Hình 10)
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (
α

α γ
β γ
α β
∩ =


∩


∩


thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.
* Hệ quả: Nếu
//
( ),b ( )
( ) ( )= d
a b
a
α β
α β


⊂ ⊂


∩

thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b
Giáo viên : Cù Đức Hòa Trang 7





∩

thì a // d. ( hình 16)

Hình 15 Hình 16 Hình 17
* Đlý 3 (SGK trang 67). Nếu
( ) // ( )
( ) ( ) a
α β
γ α


∩ =

thì
( ) ( )
//
b
a b
γ β
∩ =



( hình 17)
* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm

( ) ( )S SAB SCD∈ ∩
(1) ;
E AB CD= ∩
( ) ( )E SAB SCD⇒ ∈ ∩
(2)
Từ (1) và (2)
( ) ( )SE SAB SCD⇒ = ∩
b) Ta có
( ) ( )S SAC SBD∈ ∩
(*) ;
F AC BD= ∩
( ) ( )F SAC SBD⇒ ∈ ∩
(**)
Từ (*) và (**)
( ) ( )SF SAC SBD⇒ = ∩
c) Gọi
EFM BC= ∩
,
EFN AD= ∩
Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
( ) ( EF)S SAD S∈ ∩
;
( ) ( EF)N SAD S∈ ∩
; Kết luận :
( ) ( EF)SN SAD S= ∩
Tương tự:
( ) ( EF)SM SBC S= ∩
Giáo viên : Cù Đức Hòa Trang 9
F
A


Hình 21 Hình 22
Lời giải:
Ta có DD’
⊂
(CC’D’D)
Xét 2 mp(MNP) và mp(CC’D’D) ta có: N là một điểm chung (1)
MP // mp(CC’D’D) (2)
MP
⊂
mp(MNP) (3)
Từ (1), (2) và (3)
⇒
(MNP)
∩
( CC’D’D) = N
x
// MP
Gọi Q = DD’
∩
N
x

⇒
Q = DD’
∩
(MNP) ( hình 21)
* Chú ý:
Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2
mp(MNP) và mp(AA’D’D) là M

B
D
C
C'
D'
B'
A'
P
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
Nhận xét: Với dạng toán trên học sinh thường hay gặp lúng túng ở chỗ xác
định mp(
α
). Giáo viên nên lưu ý cho hoc sinh để xác định mp(
α
) ta cần tìm
thêm một điểm nằm trên mp(
α
) nữa ngoài hai điểm M và N mà đề bài đã cho.
Từ đó mà ta có thề tìm được giao tuyến của mp(
α
) với các mp(SAB) , (SAC)
và thiết diện của hình chóp với mp(
α
)
Lời giải:
Hình 23 Hình 24
a) Xét 2 mp(SAB) và (

α
)= O
y
// SA ( hình 23)
b) Gọi Q = M
x

∩
SB , P = O
y

∩
SC
Ta có (
α
)
∩
(ABCD) =MN ; (
α
)
∩
(SAB) = MQ
(
α
)
∩
(SBC) = PQ ; (
α
)
∩

nó được xác định như thế nào, làm thế nào để xác được nó. Giáo viên cần làm
cho học sinh biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng
bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp.
* Ví dụ:
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng
tâm của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’. Chứng minh đường thẳng IG
song song với mp(BB’C’C).
* Nhận xét:
- Để chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C) ta phải chứng
minh được đường thẳng IG song song với một đường thẳng nằm trên
mp(BB’C’C)
- Điểm mấu chốt của bài toán là phải chứng minh đường thẳng IG song song
với đường thẳng MN nằm trên mặt phẳng (BB’C’C).
* Lời giải:
Ta có: I là trọng tâm tam giác ABC nên
2
3
AI
AM
=
(1)
G là trọng tâm tam giác ACC’ nên
2
3
AG
AN
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
AI AG

F
D
C
I
M
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AE và BD sao cho
1
3
AM AE=
,
1
3
BN BD=
. Chứng minh MN song song với mp(CDFE).
* Nhận xét :
- Với câu a) thì học sinh dễ dạng phát hiện được đường thẳng a cần tìm là
đường thẳng DF đối với mp(ADF), là đường thẳng CE đối với mp(BCE).
- Đối với câu b) thì học sinh khó mà phát hiện được đường thẳng a ở đây là
đường thẳng nào nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên thì học sinh sẽ gặp
khó khăn. (Hình 27)
* Giải quyết vấn đề: Giáo viên yêu cầu học sinh tìm giao tuyến của hai
mp(AMN) và mp(CDFE). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng
MN và đường giao tuyến mới vừa tìm được. Từ đó giúp cho học sinh thấy
được hướng giải quyết của
bài toán. * Lời giải:
a) CM OO’// (ADF) và OO’//(BCE) Hình 27

(CDFE).
*) CM MN // (CDFE)
Ta có:
1
3
AM AE=
(*)
Xét tam giác ABC có:
1 2
3 3
BN BD BO= =
và BO là trung tuyến
⇒
N là trọng tâm của tam giác ABC
Gọi J là giao điểm của AI và BC
⇒
J cũng là trung điểm của AI
⇒

2 1
AJ
3 3
AN AI= =
(**)
Từ (*) và (**)
⇒
MN // CE
Mà
( )CE BCFE⊂
Kết luận : MN // (CDFE) (đpcm)

) hay mp(
β
). Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho hoc
sinh phát hiện ra được vấn đề của bài toán.
* Ví dụ:
Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC , ACD và ABD. Chứng minh hai mp(MNP) và mp(BCD) song song.
Nhận xét:
Với bài toán này thì học sinh dễ dàng xác định hai đường thẳng a, b
Giáo viên : Cù Đức Hòa Trang 14
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
nằm trên mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia. Vấn đề của bài toán
là cách xác định các trọng tâm, giáo viên nên lưu ý cho học sinh cách xác định
trong tâm dựa vào tính chất không nên vẽ quá nhiều các đường trung tuyến.

* Lời giải:
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng BC, CD và BD.
Ta có:
2
AJ 3
AM AN
AI
= =
⇒
MN // IJ
Mà IJ
⊂
(BCD)
⇒

I
B
D
C
A
P
M
N
M'
A
B
D
C
F
E
N
M
N'
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
Mà AF, AD
⊂
mp(ADF)
Kết luận mp( ADF) // mp(BCE). Hình 30
b) Ta có MM’ // AB, mà AB // EF
⇒
MM’ // EF
⊂
mp(DEF) (1)
Mặt khác MM’ // CD
⇒

M’N’ // DE
⊂
mp(DEF) (2)
Mà MM’, M’N’
⊂
mp(MM’N’N) (3)
Từ (1) , (2), (3)
⇒
(DEF) //(MM’N’N) (đpcm)
Ngoài ra, để giải được một bài toán về hình học không gian ngoài việc
nắm vững các phương pháp, kỹ năng giải toán thì hình vẽ đóng một vai trò
quan trọng, hình vẽ tốt giúp cho chúng ta nhìn ra được hướng giải quyết, phát
hiện ra được vấn đề của bài toán. Hình vẽ tốt là một hình vẽ đảm bảo được các
điều kiện sau:
- Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian ( SGK
Hình học 11 trang 45, ban cơ bản).
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ .
- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu của
bài toán.
- Hình vẽ không thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài.
- Ngoài ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về
hình không gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ,
hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được hình đa diện
với hình đa giác, tứ diện với tứ giác.
2.4 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Giáo viên : Cù Đức Hòa Trang 16
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề
này, nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với từng
nội dung cần phân tích, kết hợp với hình ảnh trực quan để làm nổi bật được

Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
3. KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học
sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói
riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
3.2 Khả năng ứng dụng, triển khai:
Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là ở phương pháp giảng dạy,
phương pháp đặt vấn đề và phận tích hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề
3.3. Những bài học kinh nghiệm:
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với môn học này thì
người giáo viên phải có một số kỹ năng sau:
* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, trực quan hình vẽ.
* Kỹ năng vẽ hình và trình bài lời giải.
3.4 Những kiến nghị, đề xuất:
Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với môn học, bản thân có kiến
nghị với Ban giám hiệu, phòng thiết bị, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung
một số mô hình của hình không gian, các phần mềm vẽ hình không gian,
phương tiện minh họa các nội dung được thể hiện trong sách giáo khoa, nhằm
giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn.
Trong dạy học cần bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, nhấn mạnh kiến thức
trọng tâm (định nghĩa, định lí, tính chất ) phục vụ trong quá trình làm bài tập.
Ngoài ra cần giúp cho học sinh các phương pháp chứng minh, biết cách tư duy
hình ảnh, kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc giảng
dạy của giáo viên được thuận lợi, hoc sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn.
Vĩnh Chân, ngày 15 tháng 02 năm 2012
Giáo viên : Cù Đức Hòa Trang 18
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Vĩnh Chân - Năm học : 2011 – 2012
Người Viết