SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
Trường THPT Lạng Giang số 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP

Giáo viên thực hiện: THÂN VĂN DỰ
Tổ: Toán
Năm học: 2013 - 2014
học sinh phải xác định được chiều cao của khối đa diện và tính chiều cao đó.
Việc này làm cho một số học sinh gặp khá nhiều khó găn do phải vận dụng
các kiến thức về đường thằng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông
góc đã học từ lớp 11. Khi việc xác định và tính chiều cao của khối đa diện gặp
khó khăn hoặc khối đa diện cần tính không phải những khối đa diện có công
thức tính thể tích đã học thì ta sử dung phương pháp thứ hai là phương pháp
gián tiếp. Để tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp thì học
sinh chỉ cần nắm được một số kiến thức cơ bản về thể tích khối chóp, khối
lăng trụ và tỷ số thể tích trong khối chóp tam giác. Lời giải bài toán tính thể
tích bằng phương pháp gián tiếp thường ngắn gọn, dễ hiểu.

2. Mục đích nghiên cứu
- Ngiên cứu, xây dựng phương pháp tính thể tích khối đa diện không thông
qua việc áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích
- Rèn luyện cho học sinh tư duy mềm dẻo trong việc suy nghĩ giải quyết một
vấn đề

B. NỘI DUNG
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Công thức tính thể tích khối chóp
1
V Bh
3
=
(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
2) Công thức tính thể tích khối lăng trụ
V Bh
=
(B là diện tích dáy, h là chiều cao)
3) Cho 2 khối đa diện H và H

i

i 1, n
=

5) Cho hình chóp S.ABC, A’, B’, C’ lần lượt là các điểm nằm trên các
cạnh SA, SB, SC khi đó ta có
S.A 'B 'C '
S.ABC
V
SA ' SB ' SC '
. .
V SA SB SC
=2

II – PHƯƠNG PHÁP
 Nếu tính thể tích khối đa diên H bằng phương pháp trực tiếp khó găn ta
có thể chia khối đa diện H thành các khối đa diện nhỏ H
1
, H
2
, …, H
n

mà việc tính thể tích của các khối đa diện H
i


ABC
∆
vuông cân tại B có AC = 2a
AB BC a 2
⇒ = =
2
ABC
1
S AB.BC a
2
∆
⇒ = =

(
)
SA ABC
⊥
⇒
SA là chiều cao của hình chóp S.ABC
3
S.ABC ABC
1 a
V S .SA
3 3
∆
⇒
= =

S.AIC
S.ABC

AH = =

( )
SH ABCD SH AC
⊥ ⇒ ⊥

SAH
⇒
△
,
SHC
△
vuông tại H
2 2
14
4
a
SH SA AH⇒
= − =

2 2
2
SC SH HC a
⇒ = + =

SC AC SAC
⇒ = ⇒
△
cân tại C mà CM là đường cao tam giác SAC nên M là
trung điểm của SA.

1 14
2 48
S MBC S ABC
a
V V= =
(đvtt)

Ví dụ 3
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD
=a
2
SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC,
gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a
Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒
O là trung điểm AC. Ta có I là
trọng tâm của tam giác ABD, do đó
4

2 1
3 3
AI AI
AO AC
= ⇒ =

nên
1 1 1
. .

. . .
3 3 2 6
SACD ACD
a a a
V SA S a
∆
= = =
(đvtt)
Vậy
3
1 2
.
12 72
AIMN SACD
a
V V= =
(đvtt).

Ví dụ 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABCD, AB =
2a, BC = a. SA = SB = SC = SD =
a 2
. E là điểm thuộc cạnh SC,
SE 2EC
=
, F
là điểm thuộc cạnh SD,
1
SF FD
3

SO BD
⇒ ⊥

5

Chứng minh tương tự ta có
SO AC
⊥
. Suy ra
(
)
SO ABCD
⊥
⇒
SO là đường cao
của hình chóp S.ABCD
( )
2
2
2 2
a 5 a 3
SO SB BO a 2
2 2
 
= − = − =
 
 
 

3

1 1 a
V V V
6 12
12 3
⇒ = = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có
3 3 3
SABEF S.ABE S.AEF
a a 5a
V V V
3 3 12 3 12 3
= + = + =

Ví dụ 5
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm
của cạnh BB’. Mặt phẳng (A’MD) cắt hình lập phương thành hai khối đa
diện. Tính tỷ số thể tích của hai khối đã diện trên.
Giải:

Gọi N là giao điển của A’M và AB, K là giao điểm của DN và BC.
⇒
Mặt phẳng (A’MD) cắt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối
đa diện A’MKCDAB và khối đa diện A’B’C’D’MKCD
M là trung điểm của BB’
a
BM
2
⇒ =


B C= =
)
2
a
BK CK
⇒ = =

3
.
1
. .
3 12
B MNK
a
V BM BN BK
= =

3
. '
1 2
AA'. .
3 3
A A ND
a
V AN AD
= =

6

. ' ' .

5
A MKCDAB
A B C D MKCD
V
V
⇒ =Ví dụ 6
Cho hình chóp O.ABC có OA, OB,OC đôi một vuông góc với nhau,
OA = a, OB = b, OC = c; OA’, OB’, OC’ lần lượt là đường cao của các tam
giác OBC, OAC, OAB. Tính thể tích của khối chóp O.A’B’C’.
Giải:

Thể tích khối chóp O.ABC là
.
1
. .
3 3
O ABC
abc
V OAOB OC= =

Ta có
, ,
OA OB OA OC OB OC
⊥ ⊥ ⊥
⇒
các tam giác
, ,

.
'
OB OC b c
OA
OB OC b c
⇒
= =
+ +

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OA’C (

' 90
o
OA C =
) ta có
2 2 2
' '
OC OA CA
= +

2
2 2
2 2
' '
c
CA OC OA
b c
⇒
= − =
+


2
2 2
'
b
BC
a b
=
+

2
2 2
'
b
BA
b c
=
+

( )( )
4
. ' ' . ' '
2 2 2 2
. .
' '
. .
O CA B C OA B
O ABC C OBA
V V
CO CA CB c

. ' ' .
2 2 2 2
O BA C O ABC
b
V V
a b b c
=
+ +

Thể tích khối chóp O.A’B’C’ bằng
(
)
. ' ' ' . . ' ' . ' ' . ' '
O A B C O ABC O CA B O AB C O BA C
V V V V V= − + +

( )( ) ( )( ) ( )( )
4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
3
a b c abc
a b a c a b b c a c b c
 
 
 
 
= − + +
 
+ + + + + +

o
.
Bài 4
Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau,
OA = a, OB = b, OC = c, OA’, OB’, OC’ lần lượt là các đường phân giác
8

trong của các tam giác OBC, OAC, OAB. Tính thể tích của khối chóp
O.A’B’C’.

Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD),
3
SA a
=
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của điểm A trên các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại I. Tính
thể tích của khối chóp S.AHIK.

C. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
Việc tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp thể hiện
được ưu điểm là chỉ sử dụng một số kiến thức đơn giản không cần phải vận
dụng các kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng
để dựng đường cao. Lời giải ngắn gọn, rõ ràng. Qua thực tế giảng dạy lớp 12
một số năm, tôi đã áp dụng dạy cho học sinh phương pháp tính thể tích khối
đa diện bằng phương pháp gián tiếp. Tôi thấy học sinh áp dụng vào giải các
bài tập được giao khá tốt. Đặc biệt đối với những học sinh trung bình cũng có
thể giải được bài toán tính thể tích bằng phương pháp này.
Mặc dù đã hết sức cố găng song do kinh nghiệm còn hạn chế sáng kiến