1
GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
(Khóa luận tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán năm 2013)

2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài khóa luận.
Ma trận là khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, nó được ứng dụng
rộng rãi trong Toán học tính toán,Tin học, Kinh tế và nhiều ngành khoa học
khác. Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương
trình tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính. Trong lý thuyết đồ thị, ma trận
thường được sử dụng để biểu diễn đồ thị ( ví dụ như ma trận kề ), lưu trữ trọng
số cho đồ thị có trọng số. Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các
mảng hai chiều, dùng để mã hóa làm mật khẩu bảo mật. Ma trận là công cụ để
nghiên cứu về ánh xạ tuyến tính, các vectơ trong không gian vectơ, mỗi vectơ
được coi là một ma trận. Ma trận được dùng để giải các bài toán về hệ phương
trình tuyến tính, phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số là hằng số,
Định thức, trong đại số tuyến tính được định nghĩa như một hàm cho mỗi

năng lực tư duy, sáng tạo của người học. Tuy nhiên do mục đích sư phạm mà
những dạng bài tập này không trình bày chi tiết lời giải, thiếu lời giải khai thác
bài toán. Vấn đề đặt ra là chúng ta có thể đưa ra những bài toán tương tự hoặc
khai thác bài toán thông qua việc khai thác lời giải từ bài toán cụ thể không?
Nhằm mục đích hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về ma trận
và định thức. Phân dạng và giải các bài tập về ma trận và định thức thông qua
các dạng toán cụ thể và trả lời một phần câu hỏi trên chúng tôi chọn đề tài khóa
luận “Giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức” làm vấn
đề nghiên cứu của khóa luận.
2. Mục tiêu khóa luận
Phân loại hệ thống, giải và khai thác một số dạng bài tập về ma trận, định
thức.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về ma trận và định thức.
Phân loại, giải và khai thác một số dạng bài tập về ma trận và định thức.
4. Phương pháp nghiên cứu
Dựa vào các khái niệm, kiến thức về không gian vectơ, hệ sinh, cơ sở, đồng cấu
trong khóa luận nêu ra các phương pháp để giải các bài toán về ma trận và định
thức:
Dựa vào các phép biến đổi sơ cấp.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình.

4

Các phương pháp tính định thức như:
Khai triển định thức theo các phần tử của hàng hay cột.
Khai triển định thức theo định lý Laplace.
Đưa định thức về dạng tam giác.
Phương pháp quy nạp.


1.1. Phép tính ma trận
1.1.1. Khái niệm ma trận.
Cho n, p
∈

*
ℕ

Định nghĩa 1.1: Mọi ánh xạ từ
{
}
{
}
1, , x 1, ,
n p
… …
vào K gọ
i là ma tr
ậ
n n
dòng, p c
ộ
t và v
ớ
i ph
ầ
n t
ử
(ho

ả
ng:

(
)
ij
,
i j a
֏
(ho
ặ
c
ij
a
)
( ) ( ) ( )
11 12 1
2
21 22
1
ij ij ij
1 ;1 ij
1
1 2
n
p
i n
i n j p
j p
n n np

c theo th
ứ
t
ự
ch
ỉ
dòng và c
ộ
t.
C
ặ
p
(
)
,
n p
đượ
c g
ọ
i là c
ấ
p c
ủ
a ma tr
ậ
n A, n là s
ố
dòng, p là s
ố
c

ộ
t th
ứ
j
đượ
c
g
ọ
i là

h
ạ
ng t
ử
(ho
ặ
c h
ệ
s
ố
) th
ứ
(i, j) c
ủ
a A.
Ta nói r
ằ
ng:
A là m
ộ

ỉ
khi
1
p
=
.
A là m
ộ
t ma tr
ậ
n dòng (hay ma

tr
ậ
n m
ộ
t dòng) khi và ch
ỉ
khi
1
n
=
.
N
ế
u
(
)
ij
1 ,

)
11
, ,
nn
a a

đượ
c g
ọ
i là
đườ
ng chéo c
ủ
a A.
Ký hi
ệ
u: V
ớ
i
( )
(
)
2
*
, n p ∈
ℕ6


ậ
n vuông c
ấ
p n v
ớ
i ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c K.
Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
ij ,
1 ;1
n p
i n j p
A a M K
≤ ≤ ≤ ≤
= ∈
.
V

đượ
c g
ọ
i là dòng th
ứ

i
c
ủ
a
A
.
V
ớ
i
{1, , }
j p
∈ …
, ma tr
ậ
n c
ộ
t :
( )
1
ij
1
j
i n
nj

ủ
a
A
.
1.1.2. Ma trận và ánh xạ tuyến tính
.
Định nghĩa 1.2:
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t K - không gian vect
ơ

(
)
dim
n E
=
,
(
)
1 2
, , ,
n
e e e
β
=

x x e
=
=
∑
.
Ma tr
ậ
n c
ộ
t
1
2
x
x
 
 
 
 
 
⋮

đượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n c
ộ
t các thành ph
ầ

ạ

Mat
β
:
(
)
,1n
E M K
→
là m
ộ
t song ánh.

(
)
x Mat x
β
֏

Khi
(
)
X Mat x
β
=
, ta nói r
ằ
ng x
đượ

ơ

(
)
dim
n E
=
,

7

(
)
1 2
, , ,
n
e e e
β
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a E,
{
}

, ta ký hi
ệ
u
(
)
1
, ,
j nj
a a
là các thành ph
ầ
n c
ủ
a
(
)
j
f e
trong
C
:
( )
1
i
n
j ij
i
f e a f
=
=

i là ma tr
ậ
n c
ủ
a
f

đố
i v
ớ
i c
ơ
s
ở

β
và
C

đượ
c ký hi
ệ
u là
(
)
,C
Mat f
β
.
2) Gi

ủ
a E,
(
)
f L E
∈
. Ma tr
ậ
n
(
)
n
M K
xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
(
)
,
Mat f Mat f
β
β β
=
g
ọ
i là ma tr

, .
: ,
C n p
Mat L E F M K
β
→
là m
ộ
t song ánh.

,
C
f Mat
β
֏

Khi
(
)
,
C
A Mat f
β
=
ta nói r
ằ
ng
f

đượ

ở

β
và
C
.
1.1.3. Không gian vectơ
(
)
,n p
M K

Chúng ta s
ẽ
“ chuy
ể
n “ c
ấ
u trúc vec t
ơ
c
ủ
a
(
)
,
L E F
lên
(
)

ng c
ơ
s
ở
c
ố

đị
nh
t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a
,
E F
.
Gi
ả
thi
ế
t
λ
∈Κ
,
(
)
(

i ij i
i
f e a f
j p
g e b f
=
=

=


∀ ∈


=


∑
∑8

Do
đ
ó
{
}
1, ,
j p

(
)
,n p
M K
kí hi
ệ
u là +, xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
, ,
ij n p ij n p
ij ij
a M K b M K
∀ ∈ ∀ ∈

(
)
(
)

ệ
n b
ằ
ng cách không vi
ế
t d
ấ
u nào
c
ả
( ho
ặ
c b
ở
i m
ộ
t
đ
i
ể
m), xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
(
)
(


1)
(
)
(
)
.
, ,
n p
M K
+ •
là m
ộ
t không gian vect
ơ
.
2) V
ớ
i m
ọ
i K-không gian vect
ơ
(p chi
ề
u ) E và (n chi
ề
u ) F, và v
ớ
i m
ọ

là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u
K-không gian vect
ơ
.
,
C
f Mat
β
֏

Mệnh đề 1.2.
1)
(
)
( ) { } { }
, 1, , 1, ,
ij
i j n p
E
∈ ×
là m
ộ
t c
ơ

,
n p
M K np
=
.
1.1.4. Các phép toán trên ma trận.
Định nghĩa 1.5
.
Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
,
ij n p jk p q
ij jk
A a M K B b M K
= = = =
ma tr
ậ
n thu

∑
g
ọ
i là
tích c
ủ
a A v
ớ
i B ký hi
ệ
u là AB.

9

Ánh x
ạ

(
)
(
)
(
)
, , ,n p p q n q
M K M K M K
× →

đượ
c g
ọ

Mệnh đề 1.3.

Gi
ả
s
ử
E, F,G là ba K-không gian vect
ơ

, ,
C D
β
l
ầ
n l
ượ
t là c
ơ
s
ở
c
ủ
a E, F, G.
V
ớ
i
(
)
(
)

C
β
t
ươ
ng
ứ
ng là c
ơ
s
ở
c
ủ
a E, F
(
)
, ,
f L E F x E
∈ ∈
ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

ề
các phép toán
đị
s
ố

đố
i v
ớ
i các ma tr
ậ
n nh
ư

sau:
Mệnh đề 1.5.
1) Gi
ả
phân ph
ố
i trái:
(
)
(
)
(
)
, ,
, , ,
n p p q

(
)
(
)
(
)
( ) ( )
, , ,
, ,
n p p q q r
A M K B M K C M K
AB C A BC
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
=

Mệnh đề 1.6.

1)
(
)
(
)
, , ,
n
M K
+ • ×
là m
ộ
t K-
đạ

ạ
:
(
)
(
)
:
n
Mat L E M K
β
→
là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u K-
đạ
i s
ố
có
đơ
n v
ị
.

(
)
f Mat f

∗
∈
ℕ
sao cho
0
k
A
=
.

10
Ví dụ 1.1.
0 0 1
0 0 0
0 0 0
 
 
 
 
 
thu
ộ
c
(
)
3
M
ℝ
là l
ũ

k A
∈ =
ℕ
có ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t
(
)
v A
,
đượ
c g
ọ
i là ch
ỉ
s
ố
l
ũ
y linh c
ủ
a A, và ta có :
(
)

(
)
,1p
M K
, ký hi
ệ
u là KerA
đượ
c
xác
đị
nh b
ở
i :
(
)
(
)
{
}
,1
er ;AX 0
p
K A X M K
= ∈ =
.
Ả
nh c
ủ
a A là không gian vect

Im ; ,Y=AX AX;
n p p
A Y M K X M K X M K
= ∈ ∃ ∈ = ∈ .
1.1.5. Nhóm
(
)
n
GL K
.
Định nghĩa 1.8.
M
ộ
t ma tr
ậ
n A thu
ộ
c
(
)
n
M K
đượ
c g
ọ
i là kh
ả
ngh
ị
ch khi và

c g
ọ
i là ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a A ký hi
ệ
u là
1
A
−
.
Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n kh
ả
ngh
ị
ch thu
ộ
c

c
g
ọ
i là nhóm tuy
ế
n tính.
2) V
ớ
i m
ọ
i K-không gian vect
ơ
n chi
ề
u E và m
ọ
i c
ơ
s
ở

β
c
ủ
a E, ánh x
ạ

(
)
f Mat f

ả
s
ử
(
)
n
A M K
∈
, f là m
ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i A trong m
ộ
t
c
ơ
s
ở
. Các tính ch

ngh
ị
ch.
5) A chính quy trái.
6) A chính quy ph
ả
i.
7) A chính quy.
Ta nh
ắ
c l
ạ
i A
đượ
c g
ọ
i là:
Chính quy trái khi và ch
ỉ
khi
( )
(
)
( )
2
, ,
n
B C M K AB AC B C
∀ ∈ =
⇒

M K
là hạng của A, ký hiệu là
(
)
rank A
.
Nh
ư vậy, nếu ký hiệu
11 1
1
p
n np
a a
A
a a
 
 
=
 
 
 
…
⋮ ⋱ ⋮
⋯
và
1
11
1
1
, ,

=

Mệnh đề 1.9. Giả sử E, F là các không gian vectơ,
,
C
β
tương ứng là các cơ sở
của E, F,
(
)
(
)
,
, ,
C
f L E F A Mat f
β
∈ =
. Ta có
(
)
(
)
rank f rank A
=
.
Mệnh đề 1.10.
(
)
(

,
,
,
,
p
n p
n
P GL K rank AP rank A
A M K
Q GL K rank QA rank A
∀ ∈ =

∀ ∈

∀ ∈ =


.
1.1.7. Các phép biến đổi sơ cấp.
Bao gồm các phép biên đổi sau:
i.
Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau.
ii. Nhân dòng th
ứ i với một số khác không.
iii. Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số
λ
với
i j
≠
.

K
nhận được từ ma trận đơn vị
n
I
qua duy nhất
m
ột phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.
1.1.8. Chuyển vị.
Định nghĩa 1.10.
Với mọi ma trận
(
)
11 1
1
1
1
a a
p
A a
i n
ij
a a
j p
np
n
 
 
 
= =
≤ ≤

ký hi
ệ
u là
t
A
xác
đị
nh b
ở
i:
(
)
11 1
1
1
1
a a
n
t
A a
j n
ij
a a
i p
np
n
 
 
= =
≤ ≤


( ) ( ) ( )
3) , , .
, ,
t
t t
A M K B M K AB B A
n p p q
∀ ∈ ∀ ∈ =

( ) ( )
( )
(
)
1
1
4) , ,
t
t t
A GL K A GL K A A
n n
−
 
−
∀ ∈ ∈ =
 
 

1.1.9. Vết của một ma trận vuông.


1
n
ii
i
tr A a
=
=
∑
. Nói cách khác v
ế
t c
ủ
a ma tr
ậ
n A là
t
ổ
ng các ph
ầ
n t
ử
chéo c
ủ
a A.
Mệnh đề 1.14.

1) Ánh x
ạ

(

A M K B M K tr AB tr BA
∀ ∈ ∀ ∈ =
.
1.2. Đổi cơ sở.
1.2.1. Ma trận chuyển cơ sở.
Định nghĩa 1.12.
Cho E là không gian vect
ơ
n chi
ề
u,
, '
β β
là hai c
ơ
s
ở
c
ủ
a E.
ma tr
ậ
n chuy
ể
n c
ơ
s
ở
t
ừ

i các thành ph
ầ
n c
ủ
a các vect
ơ
c
ủ
a
'
β
bi
ể
u th
ị

trên c
ơ
s
ở

β
, ngh
ĩ
a là:
(
)
(
)
as , ' '

Mệnh đề 1.16.
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t không gian vect
ơ

, ', "
β β β
là nh
ữ
ng c
ơ
s
ở
c
ủ
a
E. Ta có:
(
)
(
)
(
)
( )
1) as , " as , ' as ', " .

1.2.2. Đổi cơ sở đối với một vectơ.
Mệnh đề 1.17.
Gi
ả
s
ử
E là m
ộ
t không gian vect
ơ

, '
β β
là hai c
ơ
s
ở
c
ủ
a E,
(
)
(
)
(
)
'
as , ' , , , '
P P s x E X Mat x X Mat x
β β

t vect
ơ
,
t
ự
nhiên ta s
ẽ
bi
ế
n
đổ
i các t
ọ
a
độ
c
ũ
(t
ọ
a
độ
c
ủ
a x trong
β
) theo các t
ọ
a
độ
m

ọ
a
độ
c
ũ
c
ủ
a
x, ta có công th
ứ
c
1
'
X P X
−
=
, nh
ư
ng c
ầ
n ph
ả
i tính ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ

a E,
(
)
as , '
P P s
β β
=
,
, '
C C
là hai c
ơ
s
ở
c
ủ
a F,
(
)
as , '
Q P s C C
=
,
(
)
(
)
(
)
, ', '

n p
A B M K
∈
ta nói A t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i B và ký hi
ệ
u
là A t
đ
B, khi và ch
ỉ
khi:
(
)
(
)
(
)
1
, ,
p n
P Q GL K GL K B Q AP
−
∃ ∈ × =
.

A M K
∈
( )
r rank A
=
. Th
ế
thì A t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i ma
tr
ậ
n
, ,
n p r
J
xác
đị
nh b
ở
i
,
,, ,
, ,
0
0 0

A B M K∀ ∈

A t
đ
B
(
)
(
)
rank A rank B
⇔ =
.
Hệ quả 1.2.
(
)
(
)
(
)
,
t
n
A M K rank A rank A
∀ ∈ =
.
1.2.4. Đổi cơ sở đối với một tự đồng cấu.
Mệnh đề 1.22.
Gi
ả
s

)
'
, , '
f L E A Mat f A Mat f
β β
∈ = =
. Th
ế
thì:
1
'
A P AP
−
=
.
Định nghĩa 1.14.
Cho
(
)
,
n
A B M K
∈
. Ta nói A
đồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i B, và ký hi

ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trong
(
)
n
M K
.
Mệnh đề 1.24.
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
2
, ,
n
A B M K A B tr A tr B
∀ ∈ ⇒ =
∼
.

15
Nhận xét 1.5.
1) Hi
ể

ma tr
ậ
n
1 0
1 0
 
 
 
và
0 0
1 0
 
 
 
t
ươ
ng
đươ
ng và h
ạ
ng c
ủ
a chúng b
ằ
ng 1, nh
ư
ng
không
đồ
ng d

n
A I
α
=
. Th
ậ
t v
ậ
y
(
)
(
)
1
:
n n n
P GL K P I P I
α α
−
∀ ∈ = .
4) N
ế
u
2
n
≥
, hai ma tr
ậ
n vuông có th
ể

ư
ng không
đồ
ng
d
ạ
ng và không t
ươ
ng
đươ
ng vì ma tr
ậ
n th
ứ
nh
ấ
t có h
ạ
ng b
ằ
ng 0 ma tr
ậ
n th
ứ
hai
có h
ạ
ng b
ằ
ng 1.

ế
t c
ủ
a ma tr
ậ
n b
ấ
t k
ỳ
bi
ể
u di
ễ
n t
ự

đồ
ng c
ấ
u f .
T
ừ
các tính ch
ấ
t v
ế
t c
ủ
a ma tr
ậ


(
)
f tr f
→

2)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
2
, ,
f g L E tr g f tr f g
∀ ∈
 
.
1.3. Các trận đặc biệt.
1.3.1. Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng.
1.3.1.1. Ma tr
ậ
n
đố
i x
ứ
ng.
Định nghĩa 1.16.
M
ộ
t ma tr

ậ
n
đố
i x
ứ
ng c
ấ
p n v
ớ
i h
ệ
t
ử
trong
K là
(
)
n
S K
.
Mệnh đề 1.26.
(
)
n
S K
là m
ộ
t không gian vect
ơ
con c

,
n n n
A S K GL K A S K
−
∀ ∈ ∩ ∈
1.3.1.2. Ma tr
ậ
n ph
ả
n
đố
i x
ứ
ng.

Định nghĩa 1.17.
M
ộ
t ma tr
ậ
n vuông A thu
ộ
c
(
)
n
M K

đượ
c g

i
h
ệ
t
ử
trong K là
(
)
n
A K
.
Mệnh đề 1.29.
(
)
n
A K
là m
ộ
t không gian vect
ơ
con c
ủ
a
(
)
n
M K
.
Mệnh đề 1.30.
Các không gian

{
}
2
, 1, , ,
i j n
∀ ∈
(
)
0
ij
i j a
> ⇒ =
.
Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n
đố
i x
ứ
ng c
ấ
p n v
ớ
i h

. Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n
đố
i x
ứ
ng c
ấ
p n v
ớ
i h
ệ
t
ử

trong K là
(
)
,
n d
T K
.
3) Ta nói A là ma tr
ậ

con c
ủ
a
(
)
n
M K
.
Mệnh đề 1.32.

(
)
,
n t
T K
là m
ộ
t
đạ
i s
ố
con có
đơ
n v
ị
c
ủ
a
đạ
i s


( )
11
,
0
n t
nn
a
A T K
a
 
 
= ∈
 
 
 
⋯
⋮ ⋱
⋯
.
Ta có :
(
)
{
}
(
)
1, , , 0
n ii
A GL K i n a

o c
ủ
a các
h
ạ
ng t
ử
chéo c
ủ
a A :
1
11
1
1
0
nn
a
A
a
−
−
−
 
 
=
 
 
 
⋯
⋮ ⋱

đượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n
đườ
ng chéo khi và ch
ỉ
khi :
(
)
{
}
2
, 1, , ,
i j n
∀ ∈
(
)
0
ij
i j a
≠ ⇒ =
.
Ta ký hi
ệ
u t
ậ
p h

K
λ λ
∈ , ta ký hi
ệ
u ma tr
ậ
n
đườ
ng chéo thu
ộ
c
(
)
n
M K
có các
h
ệ
t
ử
chéo là
1
, ,
n
λ λ
là
(
)
1
, ,

ộ
t
đạ
i s
ố
con giao hoán và có
đơ
n v
ị
c
ủ
a
(
)
n
M K
.
Mệnh đề 1.36.
Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
1
, ,
n n

1
, ,
n
D diag
λ λ
− − −
=

1.3.4. Ma trận đa thức.
N
ế
u
(
)
[
]
0 1

r
r
f t a a t a t K t
= + + + ∈ là
đ
a th
ứ
c m
ộ
t bi
ế
n và

ọ
i
[
]
,
f g K t
∈
và
K
α
∈
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
f g A f A g A
+ = +
,
(
)
(
)
(
)
f A f A

a A. Khi
đ
ó
(
)
0
A
f A
=
.

18
T
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đ
a th
ứ
c
đơ
n ( t
ứ
c là h
ệ

đề
u chia h
ế
t cho
đ
a th
ứ
c
đ
ó.
Đ
a th
ứ
c
đ
ó g
ọ
i là
đ
a th
ứ
c c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a A.
vectơ n chiều.

Cho
*
n
∈
ℕ
E là m
ộ
t không gian vect
ơ
n chi
ề
u.
2.1.1. Không gian
(
)
n
A E
.
Định lý –Định nghĩa 2.1:
T
ậ
p h
ợ
p
(
)
n
A E

ơ
s
ở

(
)
1
, ,
n
e e
β
=
c
ủ
a E,
det :
n
E K
β
→
ký hi
ệ
u ánh x
ạ
xác
đị
nh b
ở
i:
(

E
, trong
đ
ó v
ớ
i m
ỗ
i j
thu
ộ
c
{
}
1, ,
n
,
(
)
1
j
j
i n
a j
≤ ≤
là các thành ph
ầ
n c
ủ
a
j

đượ
c g
ọ
i là
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a
(
)
1
, ,
n
V V
trong c
ơ

s
ở

β
.
2.1.2. Tính chất.
Tính chất 1:

(
)
(

∀ ∈ ∀ ∈ =
.
Mệnh đề 2.1.
Gi
ả
s
ử

(
)
E
β β
∈
,
n
S E
∈
. Th
ế
thì S ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi và
ch
ỉ
khi
(

K
α
∈
sao cho:
(
)
(
)
,
n
A E f f
ϕ ϕ αϕ
∀ ∈ × × =

. Ph
ầ
n t
ử

α

đượ
c g
ọ
i là
đị
nh
th
ứ
c c

.
Mệnh đề 2.3.

20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
1) , , , , , , , det , ,
n
n n n n
f L E A E V V E f V V f V V
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ =
(
)
(

( )
(
)
(
)
(
)
1
1 1
, ,
3) , , , ,det det , ,
n
n n
e e
f L E e e E f f e f e
β β
∀ ∈ ∀ = ∈ =

Mệnh đề 2.4.

1)
(
)
det 1
E
Id
=
.
2)
(

ử

(
)
(
)
ij
1 ,
n
i j
A a M K
≤ ≤
= ∈
.
Đị
nh th
ứ
c c
ủ
a A ký hi
ệ
u là
det(A), ho
ặ
c
11 1
1
n
n nn
a a

∑
.
Nói cách khác, n
ếu ký hiệu
11 1
1
1
, ,
n
n
n nn
a a
C C
a a
   
   
= =
   
   
   
⋮ ⋮
là các cột của A và
β
là
chính t
ắc của
(
)
,1n
M K

β
là một
c
ơ sở của E,
(
)
A Mat f
β
=
. Ta có:
(
)
(
)
det det
f A
=
.
Mệnh đề 2.6.
1)
(
)
det 1
n
I
=
.
2)
(
)

, det 0
n n
A M K A GL K A
∀ ∈ ∈ ⇔ ≠
.
5)
( )
(
)
( )
(
)
1
1
,det det
n
A GL K A A
−
−
∀ ∈ =
.
6)
(
)
(
)
(
)
,det det
t

k
k
n
A GL K k A A
∀ ∈ ∀ ∈ =
ℤ
.
3) N
ếu
(
)
n
A M K
∈
là lũy linh thì tồn tại
*
k
∈
ℕ
sao cho
0
k
A
=
, nên
(
)
( )
(
)

(
)
det det det 1 det det
n
t
A A A A A
= = − = − = −
, nên
(
)
det 0
A
=
.
2.4. Khai triển định thức theo một hàng.
2.4.1. Phần phụ đại số và định thức con.
Định nghĩa 2.4.
Cho
*
n
∈
ℕ
,
(
)
(
)
ij
ij
n

11 1 1 1 1 1
1 1 1
j j n
i i j i j i n
i i j i j i n
n nj nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
− +
− − − − + −
+ + − + + +
− +
∆ =
⋯ ⋯
⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
⋯ ⋯22
2) Với mỗi
(
)
{
}
2

i j
A
+
= − ∆
.
Mệnh đề 2.7.
( Khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo m
ộ
t hàng).

Gi
ả sử
(
)
(
)
ij
ij
n
A a M K
= ∈ . Ta có:
1)
{
}

det
n
i
A a A
=
=
∑
(khai tri
ể
n
(
)
det
A
theo dòng th
ứ
i).
2.4.2. Ma trận phụ hợp.
Định nghĩa 2.5.
Cho
(
)
(
)
ij
ij
n
A a M K
= ∈
. Ma tr

com A A
A A
 
 
= =
 
 
 
…
⋮ ⋱ ⋮
⋯

Định lý 2.2.
(
)
(
)
(
)
(
)
, . . det
t t
n n
A M K A com A com A A A I
∀ ∈ = =
.
Hệ quả 2.2.
( )
( )

n Laplace ). Gi
ả
s
ử

đ
ã ch
ọ
n ra k dòng ( t
ươ
ng
ứ
ng c
ộ
t )
trong m
ộ
t
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n. Khi
đ
ó
đị
nh th
ứ
c

ng ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a
chúng.
Ví dụ 2.1.
Tính
đị
nh th
ứ
sau.

23
1 2 3 4
0 2 3 5
0 0 3 7
0 0 0 6
A =
Bài gi
ả
i.
Ta th
ự
c hi
ệ

c
ấ
p dòng hay c
ộ
t
đư
a ma tr
ậ
n v
ề
d
ạ
ng tam giác trên hay
d
ướ
i.
Đị
nh th
ứ
c sau cùng s
ẽ
b
ằ
ng tích các ph
ầ
n t
ử
trên
đườ
ng chéo chính. Khi

i hai dòng ho
ặ
c hai c
ộ
t cho nhau.
ii)
Đị
nh th
ứ
c
đượ
c nhân v
ớ
i
K
α
∈
khi ta nhân m
ộ
t dòng hay m
ộ
t v
ớ
i
α
.
iii)
Đị
nh th
ứ

Ví dụ 2.2.
Tính
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n v
ớ
i
2
n
≥
sau
đ
ây:
1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 3 2
2 2 2
n
…
…
…
… … … … …
…

Bài gi
ả
i.


Ta nhân dòng 1 v
ớ
i (-2) r
ồ
i c
ộ
ng vào dòng 2. Ta
đượ
c
đị
nh th
ứ
c sau:
( )
( )( )
1 2 2 2
0 2 2 2
0 0 1 0
2 2 !
0 0 0 2
n
n
− − −
−
= − −
−
⋯
…
…

.
Bài gi
ả
i.
L
ấ
y dòng th
ứ
n – 1 nhân v
ớ
i
1
x
−
r
ồ
i c
ộ
ng v
ớ
i dòng th
ứ
c n. Sau
đ
ó l
ấ
y dòng th
ứ
c
n – 2 nhân v

2 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1
0
0
0
n
n n
n
n n n
n n
x x x x x x
x x x x x x x x x
D
x x x x x x x x x
− − −
− − −
− − −
=
− − −
…
…
…
… … … … …
…25

( )
( ) ( )

x x x x x x x x
x x x x
x x
− − −
− − − −
>
− − −
− − −
=
− − −
= − −
= −
∏
…
…
… … … …
…
…
…
…
… … … … …
…

2.5.3. Rút các nhân tử tuyến tính
.
Chú ý r
ằ
ng v
ớ
i m

đ
ó, thì
đ
inh th
ứ
c
A
là m
ộ
t
đ
a th
ứ
c c
ủ
a các bi
ế
n
đ
ó v
ớ
i b
ậ
c
không quá n. N
ế
u b
ằ
ng cách nào
đ

ướ
c c
ủ
a
A
, thì ta có th
ể
k
ế
t lu
ậ
n
A

và các tích
1

n
f f
sai khác nhau m
ộ
t nhân t
ử
h
ằ
ng s
ố
.
Ví dụ 2.4.
Tính

ộ
t
đ
a th
ứ
c b
ậ
c t
ố
i
đạ
i là n – 1, vì m
ỗ
i s
ố
h
ạ
ng trong
đị
nh ngh
ĩ
a
c
ủ
a
đ
a th
ứ
c à m
ộ

cá m
ộ
t tích có b
ậ
c
đ
úng b
ằ
ng n, nó t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i tích các
ph
ầ
n t
ử
trên
đườ
ng chéo. Do
đ
ó b
ậ
c
đ
a th
ứ
c

ng