Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Phần I: Mở đầu
I- Lý do chọn đề tài.
Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông,
được sử dụng nhiều trong các kỳ thi cao đẳng, đại học và trung học chuyên nghiệp,
thi học sinh giỏi…Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú
và có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau. Tuy nhiên trong chương trình
SGK Đại số 10 cơ bản hiện hành bất đẳng thức được trình bày ở đầu chương IV chỉ
đưa ra các bất đẳng thức cơ bản và một số tính chất không có ví dụ để minh hoạ cụ
thể. Mặt khác do số tiết của chương trình này quá ít nên trong quá trình giảng dạy
các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ
năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để chứng minh được một bất đẳng
thức đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và
phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán trong trường THPT tôi nhận thấy
rằng trình độ của học sinh là rất khác nhau. Mức độ và năng lực tư duy của các em
cũng chênh lệch rất đáng kể. Với đối tượng học sinh ở các lớp cơ bản tiếp thu chậm
thì việc chứng minh một bất đẳng thức là khó thể thực hiện được.
Vậy làm thế nào để bản thân các em học sinh khá, giỏi không xem thường kiến
thức cơ bản sách giáo khoa, đồng thời các em học sinh trung bình và yếu không e
ngại sự chậm hiểu của bản thân ?
Vì vậy trong bài viết này, tôi đưa ra một số phương pháp cơ bản để chứng
minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh
lớp 10.
II- Mục đích nghiên cứu:
Nhằm tạo ra một không khí làm việc tập thể một cách thoải mái, tạo điều
kiện để các em được học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, gây được hứng thú và
phát triển tư duy logíc. Tạo cho các em cảm thấy có nhu cầu làm việc trong giờ
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
1

 Số thực dương, số thực âm và mệnh đề phủ định.
 Định nghĩa bất đẳng thức.
 Các tính chất của bất đẳng thức.
 Bất đẳng thức Côsi.
 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
B- Nội dung đề tài
I- Các bài toán cơ bản
Bài toán 1 (Bài tập 4SGK ĐS10)
Chứng minh rằng :
, ,a b c R
∀ ∈
ta có:
( )
( )
222
2
3 cbacba
++≤++
(1)
Hướng dẫn giải:
Cách 1: (Sử dụng định nghĩa: a > b
⇔
a – b > 0)
Xét hiệu:
( )
( )
cabcabcbacbacba 2222223
222
2
222

abba 2
22
≥+
(i)

bccb 2
22
≥+
(ii)

caac 2
22
≥+
(iii)
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
3
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Từ (i), (ii), (iii)
( )
cabcabcba 2222
222
++≥++⇒

( )
( )
2
222222
2223 cbacabcabcbacba
++=+++++≥++⇔

(đpcm).
Cách 5: (phương pháp tam thức bậc hai)
(1)
( )
00
222222
≥−+++−⇔≥−−−++⇔
bccbacbacabcabcba
Xem
( )
bccbacbaaf
−+++−=
222
)(
là tam thức bậc hai ẩn a, với b,c
là tham số.
Ta có:
( ) ( )
cbcbbccbcb
a
,,03)(4
2
22
2
∀≤−−=−+−+=∆

⇒
( )
cbabccbacbaaf ,,,0)(
222

Nhận xét:
1)Với cách giải 5 và 6 ta có bài tập 3a ( sgk ĐS10):
Cho a, b, c
R∈
. Cmr :
cabcabcba
++≥++
222
(*)
2)Thay đổi số lượng các chữ trong (*) ta có bài toán mới:
1. Cho a, b, c, d
R∈
. Cmr :
dacdbcabdcba
+++≥+++
2222
2. Cho
niRx
i
;1,
=∈
. Cmr :
1433221
1
2
xxxxxxxxx
n
n
i
i

áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương
b
a
và
a
b
ta có:

2.2
=≥+
a
b
b
a
a
b
b
a

⇒
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Cách 2: Từ
222
22
22
≥+⇔≥
+
⇔≥+
a

( )
)0,(;
2
223322
2222
>+≥+⇔+≥+−+⇔
≥+−⇔≥+
baabbababaabbababa
abbabaabba
Bài toán 4: Cho a, b là hai số dương.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
5
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Chứng minh rằng :
baba
+
≥+
411

Hướng dẫn giải : (Bài toán này có thể giải bằng nhiều cách)
Cách 1: (sử dụng Bài toán 2) ta có

( )
bababaab
ba
abbaabba
+
≥+⇔
+

≥+⇔
ba
ba
ba
4
2
211
)1(
(đpcm).
Bài toán 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c.
Chứng minh rằng :






++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111
(1)
Với p là nửa chu vi tam giác.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Với

2
2
411
)(
2
2
411
)(
2
2
411
iii
bbcbaacb
ii
aacbabac
i
ccbacacb
=≥
−+
+
−+
=≥
−+
+
−+
=≥
−+
+
−+


zy
a
cbaz
bacy
acbx
+
=
+
=
+
=⇒





−+=
−+=
−+=

Khi đó
( )
)4(
222111
3
xzzyyxzyx +
+
+
+
+

111
411
411
(đpcm).
Cách 3: áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương
ap −
1
và
bp −
1
ta có:

( )( )
( ) ( )
c
bpap
bpap
bpap
2
2
1111
2
1
=
−+−
≥
−−
≥








−
+
−
(2’)

( )( )
( ) ( )
b
apcp
apcp
apcp
2
2
1111
2
1
=
−+−
≥
−−
≥





Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Chứng minh rằng :

bacacbcbacba
++
+
++
+
++
≥++
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
Hướng dẫn giải:
Ta có:
(*)
1
4
1
4

1
2
1
accbbacba
+
+
+
+
+
≥++⇒
Mặt khác:

)2(
2
2
2
2
2
2111
2
411
2
411
2
411
bacacbcbaaccbba
acbbacb
baccbac
cbaacba
++

++
≥
+
+
+
Từ (1) và (2) ta có:
bacacbcbacba
++
+
++
+
++
≥++
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
bacacbcbacba ++
+
++
+
++

1
2
1
3
1
3
1
3
1
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
8
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Giải: Ta có:
)3(
2
1
2
2
3
1
2
2
242
4
2
1
3
1
)2(

bacacbcbacbacbbaccb
acbcbabacbacbaacbba
++
−
++
≥
+
⇔
++
=
++
≥
++
+
+
++
−
++
≥
+
⇔
++
=
++
≥
++
+
+
++
−

1
3
1
3
1
3
1

⇒
(đpcm).
Bài toán 8: Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng :

2≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Giải: Sử dụng BĐT Côsi cho hai số dương
a
và
cb +
ta có :

( )

và
)3(,
2
cba
c
ba
c
++
≥
+
Từ (1),(2),(3) suy ra:
2
222
=
++
++
≥
+
+
+
+
+ cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a


zczc =⇔=
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
9
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
CM:
zy
x
cb
a
+
>
+
3
(*) Thật vậy ta có:

( ) ( ) ( )
)(23
23
3
2
3
ibczyyzcbzy
zy
x
cb
a
zy
x
cb

Suy ra (i) luôn đúng.
Tương tự ta có:
xz
y
ac
b
+
>
+
3
(**),

yx
z
ba
c
+
>
+
3
(***)
Từ (*),(**),(***) suy ra:

⇒>
+
+
+
+
+
>

+ + + + + ≥
Giải : Ta sử dụng phương pháp đặt qua vectơ để đánh giá bất đẳng thức

Nhận xét: với mọi
,u v
r r
ta có |
u v
+
r r
|
≤
|
u
r
| +|
v
r
| (*)
Vì
2 2
2 2 2 2
2 ( )u v u v u v u v u v
+ = + ≤ + + = +
r r r r r r r r r r
Đặt
1 1 1
( ; ), ( ; ), ( ; ).a x b y c z
x y z
= = =

2
2
2
2
3
3
1 1 1 1 9
3 3 9 ,x y z xyz t
x y z xyz t
 
 
+ + + + + ≥ + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Với
( )
2
2
3
1
0 .
3 9
x y z
t xyz t
+ +
 
= ⇒ < ≤ ≤

Q t Q
 
≥ =
 ÷
 
Vậy P
( ) 82.Q t
≥ ≥
( Dấu “=” xảy ra khi
1
3
x y z= = =
).
Cách 2.
Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
2
1 1 1 1 1 1
81 80
1 1 1
18 80 162 80 82.
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z
   
+ + + + + = + + + + + − + +

+ + + + + +
Giải:
Với a, b >0 ta có:

( )
2
1 1 1 1 1
4 .
4 4
a b
ab a b a
a b ab a b a b
+
 
≤ + ⇔ ≤ ⇔ + ≤ +
 ÷
+ +
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Từ kết quả trên ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x y z x y z
 
     
≤ + + ≤ + + = + +
 
 ÷  ÷  ÷
+ +
     
 

+ + ≤ + + =
 ÷
+ + + + + +
 
Ta thấy trong các bất đẳng thức trên thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
4
x y z
= = =
.
Sau khi đưa ra các dạng bài tập về bất đẳng thức và hướng dẫn học sinh giải. Giáo
viên ra các dạng bài tập tương tự để học sinh giải, qua đó hình thành kỹ năng nhìn
nhận và đáng giá bất đẳng thức.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
12
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho a, b, c là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
444
>
+
+
+
+
+
ba

n
n n n
a b c n
n
b c c a a b n
+ + > × −
+ + + −
Bài 4: Cho a, b, c, d là các số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
>
++
+
++
+
++
+
++
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
3333

cb
a
Bài 7: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
cba
ca
cba
bc
cba
ab
P
++
+
++
+
++
=
222
Bài 8 : Với
, , 1o a b c
≤ ≤
, chứng minh rằng:

(1 )(1 )(1 ) 1.
1 1 1
a b c
a b c
b c a c b a
+ + + − − − ≤
+ + + + + +

1. Kết luận:
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 10
nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương
đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Việc giảng dạy giải bài tập toán nói chung, hay một bài toán bất đẳng thức nói
riêng phụ thuộc vào nhiều yếu tố. Tuy nhiên nếu chúng ta biết kết hợp, vận dụng
các kiến thức và phương pháp nhuần nhuyễn, hợp lý sẽ đạt được hiệu quả cao.
Với cách làm trên tôi nhận thấy rằng : Đã tạo cho các em cảm thấy có nhu cầu
làm việc trong giờ học, có một thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ
khác nhau, biết khai thác một bài toán. Đặc biệt là tạo cho các em có lòng tin khi
đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Hình thành phương pháp tự học, tự nghiên
cứu cho học sinh.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải bất đẳng
thức. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh
với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Số học sinh biết
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
14
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến này vào
giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết
quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
học
Lớp
Tổng
số
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến

tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách
lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học
tập.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
15
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Hoằng Hóa, tháng 05 năm 2013
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi tự viết,
không sao chép của người khác.
Người viết

Lê Thị Thu Huyền

* ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN:

Xếp loại:
* ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC- GIÁO DỤC NHÀ TRƯỜNG:

Xếp loại:
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo