Sở GD & ĐT Tỉnh Bà Rịa –Vũng Tàu.
Năm học 2008 - 2009 .

SKKN : KĨ THUẬT XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10.
Họ và tên : VŨ HỮU VIÊN .
Chức vụ : Giáo viên.
Đơn vị : Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn.

A.LÝ DO :
Trong chương trình toán lớp 10, phương pháp hàm số để giải quyết
các bài toán cực trị - bài toán chứa tham số…là một công cụ rất hiệu quả.
Tuy nhiên, học sinh mới chỉ được biết về tính biến thiên của một vài hàm đa
thức hoặc phân thức đơn giản: bậc nhất, bậc hai, phân tuyến tính… ; trong
khi các bài toán liên quan đòi hỏi việc khảo sát một số dạng hàm phức tạp
mà công cụ đạo hàm lại vượt quá tầm tay của học sinh lớp 10.
B.MỤC ĐÍCH :
Qua một số bài toán đặc trưng, với các kĩ thuật sơ cấp “biến khó
thành dễ”, giúp học sinh dần hoàn thiện kiến thức hàm số và tự tin vận dụng
phương pháp hàm số.

C.NỘI DUNG :
1. Đa thức hoá:
Bài toán 1. Tìm min, max của biểu thức:
2 2
2 2
| 2 | | |
;( 0)
a b a b
P a b

 ÷
 
, với
b
x
a
= ∈¡
.
a. Trong
( ; 1)−∞ −
:
2 2
1 2 2
1 2 5
x t
P
x t t
−
= =
+ − +
, với
1 2 (3; ).t x= − ∈ +∞

2
2
2 2
5 2
5 2 1
1
P

+
.
Hàm số
2
( ) 1g x x= +
trong
[ ]
1;2−
có tập giá trị là [1;5].
Vậy
[ ]
3
3, 1;2
5
P x≤ ≤ ∀ ∈ −
.
c. Trong
(2; )+∞
:
2 2
2 1 2
1 2 5
x t
P
x t t
−
= =
+ + +
, với
2 1 (3; ).t x= − ∈ +∞

1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x
y
Nhận xét: Dạng hình học của bài toán 1: Cho đường thẳng d quay quanh
gốc toạ độ O.
Tìm vị trí của d sao cho tổng các khoảng cách từ A(2;-1) và B(1;1) đến d
đạt min, max?
Bài toán 2. Cho bất phương trình ( ẩn
x
):
2 2
1 2mx x x x− − ≥ − +
. Tìm tất cả
giá trị
của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
Giải:
*
2 2
2
0 2
5 2 2
( 1) 3 2
x
mx x x x

2
t t
x
= ∈ +∞
; (1) trở thành:
2
1
2
2 3 1
t
m t t

≤



≥ − −

* Xét hàm số
2
1
( ) 2 3 1 [ ; )
2
f t t t trong= − − +∞
; có tập giá trị là
17
[ ; )
8
− +∞
.

⇔

+ − =

Đặt
;S x y P xy= + =
ta có hệ :
2
2
S P m
S P m
− =


− =

(2)
( 1)( 1) 0 1 0
1, 1
1 1 0 2 0
x y P S
x y
x y S
− − > − + >
 
< < ⇔ ⇔
 
− + − < − <
 


2
2 2( ) 2
4 0 4( ) 0 4( 2 ) 0 2
1 0 ( ) 1 0 4
2 1 0
0 ; 1
3
2 0 2 0
2 0
S P m P S m P S m
S P m S S m m S S m P S m
S P S S m S S S S S S m
P S S m S
S S
S S
S S
S
− = = − = −
  

  
− = − − = − = = −
  

  
− ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − =
   
   
− + > − − + >
− + >

−
Giải:
* Tập xác định:
( ;2) (2; )D = −∞ ∪ +∞
* Trong khoảng
(2; )+∞
:
1
( ) 2 1 2 1 3
2
f x x
x
= − + + ≥ + =
−
,(bất đẳng thức Cô-si).

( ) 3 3f x x= ⇔ =
. Xét chiều biến thiên trong mỗi khoảng (2;3) và
(3; )+∞
:
( ) ( ) 1
( 2)( 2)
1 0
( 2)( 2)
a b
b a
f b f a
b a
b a b a b a
−

Xét chiều biến thiên trong mỗi khoảng (1;2) và
( ;1)−∞
, ta có f nghịch biến
trong (1;2) và
đồng biến trong
( ;1)−∞
.
Nhận xét:
Bài toán tổng quát:
( ) ; 0
C
f x Ax B AC
x D
= + + ≠
+
.
1
( )f x Ax B= +
và
2
( )
C
f x
x D
=
+
cùng tính đơn điệu khi AC < 0, cụ thể:
Nếu
0A C> >
: f đồng biến trên từng khoảng xác định.

(2)
Giải:
*
3
(2) 0
2
x⇔ ≤ ≤
* (1) là hệ quả của (2) khi và chỉ khi:
2
( 3) 2 3 0x m x m− + + + ≤
thoả
3
0;
2
x
 
∀ ∈
 
 
2
3 3 ( 2);x x m x⇔ − + ≤ −
3
0;
2
x
 
∀ ∈
 
 
1

Suy ra
[ ]
0;3/ 2
3
min ( )
2
f x = −
. Vậy
3
2
m ≤ −
là kết quả của bài toán.
Bài toán 6. Xét chiều biến thiên của hàm số :
2 2
( ) 2 2 2 5f x x x x x= − + + + +
Giải :
* Áp dụng bất đẳng thức :
| | | | | |a b a b+ ≥ +
r r r r
hay
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
2 2 2 2 2 2
( ) (1 ) 1 ( 1) 2 2 3 13f x x x= − + + + + ≥ + =
;
1 1 1
( ) 13 0
1 2 3
x
f x x

0 1 2(1 )&0 1 2(1 )a a b b< + < − < + < −
;
đặt
1 , 1 , 1 , 1 ;0 2 ,0 2x a y b z a t b z x t y= − = − = + = + < < < <
2 2 2 2
0
4 4 1 1
z t x y
A
z t y x
+ +
⇒ = − <
+ + + + + +
nên f nghịch biến trong
( ;1/3)−∞
.
Tương tự với
1
1
3
a b< < <
, ta có A > 0 nên f đồng biến trong
(1/ 3; )+∞
.
3. Sử dụng phương pháp tiếp cận giới hạn và đạo hàm :
Bài toán 7. (Sử dụng lại bài toán 4)
Xét chiều biến thiên của hàm số:
1
( ) 1
2

( 2)
f b f a
b a a
−
→ −
− −
Kết quả nhận được chính là đạo hàm tại
a
của f, từ đây có thể dần hình
thành khái niệm
giới hạn và đạo hàm, cũng như quan hệ giữa chiều biến thiên và dấu của đạo
hàm cho
học sinh chuyên toán.
Cho
2
1
1 0 1 3
( 2)
a a
a
− = ⇒ = ∨ =
−
, ta cũng có được hai “điểm rơi” nói trong
phương pháp trên.
Nhận xét:
Bài toán tổng quát:
( ) ; 0
C
f x Ax B AC
x D

: f nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Nếu
0AC
>
: cho
b a
→
thì
2
( ) ( )
0
( )
f b f a C C
A a D
b a a D A
−
→ − = ⇒ = − ±
− +
: ta có
hai ”điểm rơi” để xét khoảng đơn điệu.
Bài toán 8. Xét chiều biến thiên của hàm số :
3 2
( ) 3f x x x= −
Giải :
* Với
a b
<
, xét
2 2
( ) ( )

khoảng (0;2).
Nhận xét:
1. Việc chỉ ra “điểm rơi” không khó, quan trọng là qua việc xét dấu biểu
thức
( ) ( )f b f a
b a
−
−
củng cố cho học sinh các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức.
2. Có thể dùng bất đẳng thức Cô – si để tìm điểm rơi:
3 2
1
( ) 3 . .(6 2 ) 4
2
f x x x x x x= − = − − ≥ −
,
(0;3)x∀ ∈
, dấu = tại x = 2.
3 2 2
( ) 3 .(3 ) 0, (0;3)f x x x x x x= − = − ≤ ∀ ∈
, dấu = tại x = 0.
3. Tổng quát :
3 2
( ) ,( 0)f x ax bx cx d a= + + + ≠
.
Theo phương pháp 2 : Đặt
3
b
x t
a

3 3 1 0x x mx x− − + + =
có đúng 3 hoặc 2
nghiệm.
BT2. Tìm m sao cho bất phương trình
( )
2 ( 1)(5 ) ( 3) 0x x mx x− − − − + ≤
thoả
với mọi x thuộc
tập xác định.
BT3. Xét chiều biến thiên của hàm số
2
( ) (1 1)f x x x= + +
.
Áp dụng, giải bất phương trình :
2 2
2 1 2 ( 1) 2 3 0x x x x x x+ + + + + + + <
BT4. Tìm a để phương trình sau có nghiệm :
1 2 3 1 3x a x a x x a- - + = - - + +
.
BT5. Tìm m để hàm số
2
( )
1
x x m
f x
x
− +
=
+
nghịch biến trên (-1;1).