Chuyên đề BDHSG K10

ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào

I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Hàm số hợp
Định nghĩa:
Cho hai hàm số
,
f g
có miền xác định
,
f g
D D
tương ứng. Giả sử ta có


f
g x D
 với mọi
g
x D
 .
Khi đó ta định nghĩa hợp của hai hàm số
f
và
g
, ký hiệu


2
g x x

thì
+








2 2
1
f g x f g x f x x
 
   
 


+









,




2 1
2 1
0
f x f x
x x




 Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu





1 2 1 2 1 2
x ,x K, x x f x f x
    
Có thể thay bởi mệnh đề:
1 2
,
x x K
 
và

 khi đó
:





f u f v u v
  

II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1. Giải phương trình


3
4 1 2 1 0
x x x x
    
(1)
Lời giải.
 TXĐ:
1
;
2
D
 
  


 

(3)
 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên
1 2 1 2
, ,
t t t t
  

, ta có:
   


3 3
2
2
2 2 1 1
2 1
2 2
2 2
1 1 2 2 1
2 1 2 1
3
0
2 4
  


x x
x






      
 

  





 Vậy phương trình (1) có nghiệm là
1 5
4
x

 .
Thí dụ 2. Giải hệ phương trình
 
3 2 2
3 2 3 2
1 (
1)


x y
   
(vì
2
1 0,
x x
  
)
 Thay
y x 1
 
vào phương trình (2) ta được phương trình

   


3
3 2 3 2 32 2
9 6 6 3 6 2 3 3 (
1 1 6 2 6
a)
2x xx xx x x x         
 Xét hàm đặc trưng
3
( ) 3
f t t t
 
, với
t


 
 
t t t t
f t f t
t t
t t t t t
t t t t

Suy ra


f t
đồng biến trên

.
 Do đó:
 
3 32 2 3 2
( 1) ( 6 2) 1 6 2 9 3 3 0
a f x f x x x x x x
            
.

     
3
3 2
3
3
2 1
1 2 1 1 2 1

 
.
Thí dụ 4. Giải hệ phương trình




2 2 4 2
2
1 (1)
4 5 8 6 (2)
x x y y y
x y

  



   


Lời giải.
 Điều kiện
5
4
x
 

 Nhận thấy
0


, ta có:
   


3 3
2
2
2 2 1 1
2 1
2 2
2 2
1 1 2 2 1
2 1 2 1
3
0
2 4
  

 
       
 
 
 
t t t t
f t f t
t t
t t t t t
t t t t


2
2
4 5 8 6 2 4 5 8 23 5
5 23
23
23
4 5
5
1
5
1
42 41 0
4 4 5 8 23 5
41
x x x x x
x
x
x
x
x
x x
x x x
x
        

  






; 1; 1 ; 1;1
x y x y    .

BÀI TẬP

Bài 1:
Giải phương trình:


3 2
3 4 2 3 2 3 1
x x x x x
     Bài 2:
Giải phương trình:
3
3 2 2
4 5 6 7 9 4
x x x x x
     Bài 3:
Giải hệ phương trình:
3 3 2
5 3
2 3 4



  
3 1 4 2 1 1 3
2 4 6 3
x x y y
x y x y x y

     


     

 Hết