Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các định lý
• Cho hàm số
y f (x)
=
có đạo hàm trên khoảng
(
)
;
a b
.
a) Nếu
(
)
f ' x 0
>
với mọi
(
)
x a; b
∈
thì hàm số
f (x)
đồng biến trên
(
)

)
a; b
thì hàm số f đồng
biến trên đọan
[
]
a;b

• Nếu hàm số liên tục trên đọan
[
]
a; b
và có đạo hàm
f '(x) 0
<
trên khoảng
(
)
a; b
thì hàm số f
nghịch biến trên đọan
[
]
a;b

2. Các tính chất
• Tính chất 1: Giả hàm số
(
)
y f x

)
y g x
=
làm hàm hằng hoặc là một
hàm số nghịch biến trên
(
)
a; b
thì phương trình
(
)
(
)
f x g x
=
có nhiều nhất một nghiệm thuộc
khoảng
(
)
a; b

Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có
(
)
0
x a;b
∈
sao cho
(

x
≤

• Xét hàm số
( ) 15 3
f x x x
= − + −
với
(
]
;3
x ∈ −∞
, khi đó:

(
)
(
)
(
)
1 1
f x f
⇔ = −
(2)
•
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên nữa khoảng
(
]

đồng biến trên nữa
kho
ảng
(
]
;3
−∞

•
Suy ra:
(
)
2 1
x
⇔ = −

•
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
1
x
= −
.


Thí dụ 2. Giải phương trình
3 5 2 3 2 12
x x x
− + + = + −
(1)
Lời giải.

 
, khi đó:
Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

(
)
(
)
(
)
1 3
f x f
⇔ =
(3)
•
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên đoạn
5
;12
3
 
 
 

Ta có:
3 1 1 5
'( ) 0 ;12
3
2 3 5 2 3 2 12

5
;12
3
 
 
 

•
Suy ra:
(
)
3 3
x
⇔ =

•
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
3
x
=
.


Thí dụ 3. Giải phương trình
7 3
3 5 4 3
x x x
− − = −
(1)
Lời giải.


 
, khi đó:

(
)
(
)
(
)
1 1
f x f
⇔ =
(3)
•
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên nữa khoảng
5
;
4
 
−∞


 

Ta có:
6 2
2 5

 
 
nên
f
đồng biến trên nữa
kho
ảng
5
;
4
 
−∞ −


 

•
Suy ra:
(
)
3 1
x
⇔ =

•
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
3
x
=
.

( ) 4 2 2 7 2 23
f x x x x
= − + + − +
v
ớ
i
1
;
2
x
 
∈ +∞
 
 
, khi
đ
ó:

( ) ( ) ( )
2 2
2 4 2 2 7 2 23 0 1
x x x f x f
⇔ − + + − + = ⇔ =
(3)
•

Kh
ả
o sát tính
đơ

 
= + − > ∀ ∈ +∞
 
 
 
+ +
 

Do
đ
ó
f

đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
1
;
2
 
+∞
 
 

•

Suy ra:

3
4 1 2 1 0
x x x x
+ − + + =
(1)
Lời giải.
• Điều kiện:
1
2
x
≥ −

•
Ta có:
( ) ( )
(
)
3
3
1 2 2 2 1 2 1
x x x x
⇔ + = + + +
(2)

•
Xét hàm s
ố

3
( )

a hàm s
ố

f
trên
ℝ

Ta có:
2
'( ) 3 1 0 f t t t
= + > ∀ ∈
ℝ

Do
đ
ó
f

đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ

•
Suy ra:
( )
2
0
0

ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m là
1 5
4
x
+
=
.




Thí dụ 6. Giải phương trình
( )
(
)
(
)
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x
+ + + + + + + =
(1)
Lời giải.
• Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 2 1 3 3 2 3 3

f
trên
ℝ

Ta có:
2
2
2
'( ) 2 3 0
3
t
f t t t
t
= + + + > ∀ ∈
+
ℝ

Do
đó
f
đồng biến trên
ℝ

•
Suy ra:
( )
1
3 2 1 3
5
x x x


3.
6 8
6
3 2x x
+ =
− −

4.
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 1 3 6 4 2 2 1 3 2
x x x x x x
+ − − + = − + − + +

5.
3 2
3
8 36 53 25 3 5
x x x x
− + − = −

6.
(