Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

Chuyên đề
ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các định lý
• Cho hàm số
y f (x)
=
có đạo hàm trên khoảng
(
)
;
a b
.
a) Nếu
(
)
f ' x 0
>
với mọi
(
)
x a; b
∈
thì hàm số
f (x)
đồng biến trên
(

(
)
a;b
thì hàm số f đồng
biến trên đoạn
[
]
a;b
.
• Nếu hàm số liên tục trên đoạn đọan
[
]
a;b
và có đạo hàm
f '(x) 0
<
trên khoảng
(
)
a;b
thì hàm số f
nghịch biến trên đoạn
[
]
a;b
.
2. Các tính chất
• Tính chất 1: Giả hàm số
(
)

(
)
y g x
=
làm hàm hằng hoặc là một
hàm số nghịch biến trên
(
)
a;b
thì phương trình
(
)
(
)
f x g x
=
có nhiều nhất một nghiệm thuộc
khoảng
(
)
a;b
.
Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có
(
)
0
x a; b
∈
sao cho

)
(
]
[
]
(
]
[
)
(
)
[
)
(
)
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;a a a b a b a b b b
−∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞

II. ÁP DỤNG


Thí dụ 1. Giải phương trình
15 3 6
x x
− + − =
(1)
Lời giải.
• TXĐ:
(
]

]
;3
−∞

Ta có:
( )
1 1
'( ) 0 ;3
2 15 2 3
f x x
x x
= − − < ∀ ∈ −∞
− −

• Do
f
liên tục trên nữa khoảng
(
]
;3
−∞
và
(
)
(
)
' 0 ;3
f x x< ∀ ∈ −∞
nên
f

3
D
 
=
 
 

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

Ta có:
(
)
1 3 5 2 3 12 2
x x x
⇔ − + + − − =
(2)
• Xét hàm số
( ) 3 5 2 3 12
f x x x x
= − + + − −
với
5
;12
3
x
 
∈
 
 
, khi đó:

= + + > ∀ ∈
 
− + −
 

Do
f
liên tục trên đoạn
5
;12
3
 
 
 
và
( )
5
' 0 ;12
3
f x x
 
> ∀ ∈
 
 
nên
f
đồng biến trên đoạn
5
;12
3

 
= −∞


 

Ta có:
(
)
7 3
1 3 5 4 3
x x x
⇔ + − − =
(2)
• Xét hàm số
7 3
( ) 3 5 4
f x x x x
= + − −
với
5
;
4
x
 
∈ −∞


 
, khi đó:

f x x x x
x
 
= + + > ∀ ∈ −∞
 
−
 

Do
f
liên tục trên đoạn
5
;
4
 
−∞ −


 
và
( )
5
' 0 ;
4
f x x
 
> ∀ ∈ −∞
 
 
nên

+ = − + +
(1)
Lời giải.
• Ta có:
( )
2 2
1 2 23 2 7 4 2
x x x
⇔ + − + = −
(2)
Do VT(2) luôn dương với mọi x nên với
1
2
x
≤
thì (1) vô nghi
ệ
m
•
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
2
x
>


x⇔ − + + − + = ⇔ =
(3)
•

Kh
ả
o sát tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố

f
trên kho
ả
ng
1
;
2
 
+∞
 
 

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

2
 
+∞
 
 

•

Suy ra:
(
)
3 1
x
⇔ =

•

V
ậ
y ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t là
3
x
=
.

2 2 2 1 21
1
x x x x
⇔ + +
+ +
= (2)
• Xét hàm đặc trưng
3
( )
f t t t
= +
với
t
∈
»
, khi đó:

( ) ( )
(
)
2 2 2 1
f x f x
⇔ = +
(3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f
trên
»

Ta có:


+

⇔ + = ⇔ ⇔ ⇔ =
 
±
− − =
=




• Vậy phương trình (1) có nghiệm là
1 5
4
x
+
=
.


Thí dụ 6. Giải phương trình
( )
(
)
(
)
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x

c tr
ư
ng
(
)
2
( ) 2 3
f t t t
= + +
v
ớ
i
t
∈
»
, khi
đ
ó:

(
)
(
)
(
)
2 2 1 3
f x f x
⇔ + = −
(3)
•


Do đó
f
đồng biến trên
»

• Suy ra:
( )
1
3 2 1 3
5
x x x
⇔ + = − ⇔ = −
8
•

V
ậ
y ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m là
1
5
x
= −
.



(
)
(
)
(
)
2 2 1 3 6 4 2 2 1 3 2
x x x x x x
+ − − + = − + − + +

5.
3 2
3
8 36 53 25 3 5
x x x x
− + − = −

6.
(
)
3 2
3 4 2 3 2 3 1
x x x x x
+ + + = + +

7.
(
)
(
)

2
+++=++
+
+
+
+
x
x
x
x
xx
Hết

x y 1 y 1 x 0 (1)
x 1 y 2 (2)

− + − − − =

+ − =


Lời giải.
• Điều kiện
{
0 x 1
0 y 1
≤ ≤
≤ ≤

• Khi đó:
(
)
x 1 x y 1 y )
1
(a
− − =⇔ − −

• Xét hàm đặc trưng:
(
)
f t t 1 t
= − −
với

)
(
)
f x f x y
a y
⇔
= ⇔ =

• Thay
x y
=
vào phươ
ng trình (2) ta
đượ
c ph
ươ
ng trình:

( ) ( )
1
x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 1 x
2
+ − = ⇔ + − + − = ⇔ − = ⇔ =

•

V
ậ
y nghi
ệ

− + − − + =


+ − − − − + =

Lời giải.
• Điều kiện
1 1
,1 3
2 2
x y
− ≤ ≤ ≤ ≤

•

Khi
đ
ó:
3 3 2 3 3
(1) 8 6 6 9 2 ( ) 3( ) (2 2
) 3( )
2

2
(a)
x x yx y y y yx −⇔ − = − + − ⇔ − −= −


= −
, v
ớ
i
[
]
1;1
t ∈ −
.

Ta có
2 2
'( ) 3 3 3( 1) 0
f t t t
= − = − ≤
, v
ớ
i m
ọ
i
[
]
1;1
t ∈ −
.
Suy ra
(
)
f t
ngh

vào ph
ươ
ng trình (2) ta
đượ
c ph
ươ
ng trình:

2 2 2 2 4 2
2 3 3
4 2 1 4 1 0 4 1 2 1 4 16 24 3 0
2
x x x x x x x
−
− − + = ⇔ + = − ⇔ + − = ⇔ = ±

•

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình là
( ) ( )

− + − − = +


(1)
Lời giải.
• Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
x x y x x y x x y x y x x y x x
⇔ − = − + + ⇔ − + − = + ⇔ − + = +1 0
x y
⇔ − − =
(vì
2
1 0,
x x
+ > ∀

= + >
, với mọi
t
∈
»
.
Suy ra
(
)
f t
đồng biến trên
»
.
• Do đó:
( )
3 3
2 2 3 2
( 1) ( 6 2) 1 6 2 9 3 3 0
a f x f x x x x x x
⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ − + − =
.

( ) ( ) ( )
3
3 2
3
3
2 1
1 2 1 1 2 1
2 1

− −
 
.


Thí dụ 4. Giải hệ phương trình
3
2
(6 5) 2 1 2 3 0 (1)
2 4 23 (2)
x x y y
y x x x

+ + − − =


+ = + −

Lời giải.
• Điều kiện
2
2 1 0
2 5 2
0
2
2 4 23 0
x

•

Xét hàm
đặ
c tr
ư
ng
(
)
2 3
( ) 2 3 3 2
f t t t t t
= + = +
, v
ớ
i
[
)
0;t
∈ +∞
.

Ta có
2
'( ) 9 2 0
f t t
= + >
, v
ớ
i m

a f x f y x y
⇔ + = ⇔ + =
.
•

Thay
y 2x 1
= +
vào ph
ương trình (2) ta được phương trình:

2 2 2
2 2
2
2
2
2 1 2 4 23 3 1 2 2 2 4 23
2 2 2 24 0
4
2 6

2 36 0 4
9
2 4
2
x x x x x x x x x
x x x x
x
x x
x x x

.


Thí dụ 5. Giải hệ phương trình
(
)
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =



(1)

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Lời giải.
• Điều kiện
3 5
,
4 2
x y

t
∈
»
.
Suy ra
(
)
f t
đồng biến trên
»
.
• Do đó:
( )
2
0
(2 ) ( 5 2 ) 2 5 2
5 4
2
x
a f x f y x y
x
y
≥


⇔ = − ⇔ = − ⇔

−
=


=
không là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (b)
•

Xét hàm s
ố

2
2 2
5
( ) 4 2 2 3 4 7
2
g x x x x
 
= + − + − −
 
 
v
ớ
i
3
0;
4
x

ố

g
trên kho
ả
ng
3
0;
4
 
 
 

Ta có:
( )
2 2
5 4 4 3
'( ) 8 8 2 4 4 3 0 0;
2 4
3 4 3 4
g x x x x x x x
x x
   
= − − − = − − < ∀ ∈
   
− −
   

Do
đ

ớ
i
1
2
2
x y
= ⇒ =

•

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình là
( )
1
; ;2
2
x y
 
=
 
 




+ + =



(*)
Lời giải.
• Điều kiện:
0
0
x
y
≥


≥


• Khi đó: (*)
( )





=++
+=+
⇔

0 ;t
∈ + ∞

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Ta có:
( ) ( )
2
1
3
'( ) 2 .ln 2. 2 0 0;
2
t
f t t t
t
+
= + > ∀ ∈ +∞
và f liên tục trên
[
)
0 ;
+ ∞

Do đó
f
đồng biến trên khoảng
[
)
0 ;
+ ∞


1
5
4
1
4
)1()(
)4()(
y
x
yx
yx
fyxf
yfxf
.
• Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
( )
4 1
; ;
5 5
x y
 
=
 
 
.


Thí dụ 7. Giải hệ phương trình
(
)

y
=
không th
ỏ
a mãn h
ệ
•
Khi
đ
ó:
3
3
(1)
x x
y y
y y
 
⇔ + = +
 
 
(a)

•

Xét hàm
đặ
c tr
ư
ng
3

đồ
ng bi
ế
n trên
»
.

•

Do
đ
ó:
( ) ( )
2
x x
a f f y y x y
y y
 
⇔ = ⇔ = ⇔ =
 
 
.
•

Thay
2
x y
=
vào ph
ươ

x
+ + + = ⇔ + + = −

− ≤ ≤



≤
≤
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
  
=

  
− + =
+ + = −




=



• Với
1 1
x y
=
⇒



2.
( )





=−+−+
−−=−
−
04122
2
3
22
2
2
2
2
2
1
xyxxyx
xy
y
x
x

3.
(

2
2
3 2
11
3log 2 6 2log 2 1
y x
x
e
y
x y x y Hết