dùng tính đơn điệu của hàm số để giải các dạng
phương trình, bất phương trình mũ , logarit.
nguyễn lái
GVTHPT chuyên Lương Văn Chánh
 
Về dạng toán giải phương trình, bất phương trình mũ, logarit trong các kì thi tuyển sinh Đại học hay
kì thi Olympic ta thường gặp các dạng đưa về hàm số đơn điệu để giải. Bài viết này chỉ nêu lên các dạng
toán loại như vậy mong là "Tiếp sức trong mùa thi Đại Học hoặc Olympic 30/4".
Phương pháp:
+Xét phương trình :
f (
u)=f (v )
, trong đó u, v là hàm số chứa biến.
Nếu hàm số
f
(
t
)
đồng biến ( nghịch biến ) trong miền D thì
f
(
u
)=
f
(
v
)
⇔
u
=
v

∈
D : f (
x
0
)=
k
thì bất phương trình: f (x) ≥ k ⇔ f (x) ≥ f (x
0
) ⇔ x ≤ x
0
(x ≥ x
0
) là nghiệm bất phương trình
trong miền D.
Bài Tập Ví Dụ Minh Họa:
Bài 1:
Giải phương trình:
t
anx = 2012
cos2x
.
Lời giải
Điều kiện
cosx

=0
,
t
anx
>

=
c
osx
.
2012
c
os
2
x
Vì hàm số tanx có chu kì
kπ
để tanx > 0 ta chỉ xét miền nghiện sao cho
s
inx
>
0
,
cosx
>
0
từ đó suy ra miền nghiệm
s
inx < 0, cosx < 0
Xét hàm số
f
(
t
)=
t.
2012

s
inx.2012
s
in
2
x
= cosx.2012
c
os
2
x
⇔ f(
s
inx) = f(cosx) ⇔ sinx = cosx ⇔ x=
π
4
+ k.2π (vì
s
inx
>
0
,
cosx
>
0
)
Để tanx > 0 với
s
inx < 0, cosx < 0 ta chọn miền nghiệm x=
5

t
−1(5)
Suy ra phương trình viết lại 2012
t
− x + t = 2012
x
⇔ 2012
x
+ x = 2012
t
+ t.
Xét hàm số f(t) = 2012
t
+ t với t ∈ (−
1
2011
;+∞).
ta có f

(t) = 2012
t
ln2012 + 1 > 0, ∀t ∈ (−
1
2011
;+∞).
⇒ hàm số f(t) luôn đồng biến trong (−
1
2011
;+∞).
1

sin
2
x +2sinx +2
= −2sin
2
x + sinx +1.
Phương trình xác định ∀x ∈ R.
Nhận xét : −2sin
2
x + sinx +1=(sin
2
x +2sinx +2)− (3sin
2
x + sinx +1)
Do đó phương trình tương đương :
log
2012
(3sin
2
x+sinx+1)−log
2012
(sin
2
x+2sinx+2)=(sin
2
x+2sinx+2)−(3sin
2
x+sinx+1).
Phương trình tương đương:
log

(sin
2
x+2sinx+2)+(sin
2
x+2sinx+2)
⇔ f(3sin
2
x + sinx +1)=f(sin
2
x +2sinx +2)⇔ 3sin
2
x + sinx +1=sin
2
x +2sinx +2
⇔ 2sin
2
x − sinx − 1=0⇔ sinx =1hoặc sinx = −
1
2
⇔ x =
π
2
+ k2π, x = −
π
6
+ k2π, x =
7π
6
+ k2π.
Thử lại phương trính có nghiệm là:x =


t
+

1
2012

t
≤ 1(7)
Xét hàm số f(t)=

2011
2012

t
+

1
2012

t
, trong (0; +∞).
Ta có f

(t)=

2008
2012

t

Điều kiện x > 0.
Đặt f(x) = 2011
x
+2012
x
−4023 là hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞) và có f(1)=0.
2
g(x)=−2x +5+log
0,5
x là hàm nghịch biến trong khoảng (0; +∞) và có g(2)=0.
Do đó bất phương trình
2011
x
+ 2012
x
−4023
−2x +5+log
0,5
x
≤ 0 ⇔
f(x)
g(x)
≤ 0
⇔

f(x) ≤ 0
g(x) > 0
hoặc

f(x) ≥ 0

Ta có log
(x
2
−1)
3 ≤ log
x
2 ⇔
1
log
3
(x
2
− 1)
≤
1
log
2
x
Khi 1 <x<
√
2 ta có vế trái
1
log
3
(x
2
− 1)
< 0 và vế phải
1
log

− 1 ⇔

3
4

t
+

1
4

t
≤ 1.(8)
Đặt f(t)=

3
4

t
+

1
4

t
là hàm số liên tục trong (
1
2
;+∞)
Ta có f

Mời các bạn tiếp tục giải các phương trình và bất phương trình sau đây:
Bài 1:
Giải phương trình nghiệm thực log
1
4
x =

1
4

x
.
Bài 2:
Giải phương trình :
t
anx = 2012
cos
(
π
4
+x
)
Bài 3:
Giải phương trình nghiệm thực :3
x
=1+x + log
3
(1 + 2x).
Bài 4:
Giải bất phương trình nghiệm thực :(2 +