!"#$%"
&' (#)#
*+
,( /0
1$"2 &
3 *
&14%- #$% 5
6
+74% 6
8279: 6
!"#$%& '()
*+ ,! /01+ ,!
2314
56789:;<
;<# (=>?2# (=/%@%<79/A"7)
BC@"A- "2/<9D>"
!#/EF/GH%?9?)""-I0
%=%G<J/A#F#K$%"AL "4
FFD<2$)M?4FDND<# (=>
?2# (=0BI=$0OP20--
9 0>-)$>FDF/-Q2/II7"P79
"%->(4%-B)=<# (=>?2
# (=R0G/)C% D !?<2"2>
F7SL"74%"4"P%-"<)
cR1f
cZ7974%
c14%- #$%
N0B>?<@
/%?#Ka
M"2
;<B09"2
\9/P
*O#PQ314
5$LRST:@
55GRB5UVW:E:X?F:CLEYZ:<[F:CLEYZ:H\]
:CR?@
,%-agh8i"AP#8):
^
>h8i"AP#8):
M
yf
DDD ∩=
M"2=%):
Da
∈
-a
ihighihi>hih >= agaf
\FF[jgh8ikh8i/%@# (=h?2j
gh8ilh8i/%@?2# (=i%@m
n1 !/%@4%# (=h?2# (=i>
/P#8):# (=h?2# (=i
f x
LhM<%i7<hatbi=∀u>v∈ha>biF
( )
h if u f v u v= ⇔ =
R9%
( )
f x
LhM<%i7<hatbi=∀u>v∈ha>biF
( )
h if u f v u v< ⇔ <
h
( )
h if u f v u v< ⇔ >
i
R9%
( )
f x
L"
( )
g x
/%[M<%7<hatbi
=# (=
( ) ( )
f x g x=
F2%@4%@7<hatbi
Định lý Bolzano–Cauchy : R9 % -
( )
f x
/
r
rf x =
R9
( )
f x
/%-T?9h:?9i=
&
0k
h i> >
n
f x n N n∈ ≥
T ?9h:?9i>
h if x
"A
( )
rf x >
/
:?9hT?9i>
( )
y f x= −
:?9hT?9i
Z)%T?9h:?9ip/T?9h:?9i
p
%- (T?9h:?9ip/%@%
T?9h:?9ip
5A$M8GE9MI?@
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1:
AaE8E
A5F:CLEYZ:b[F:CLEYZ:c:dE:J?:?HRB
3785a;<# (=a
* { | &x x x x+ − + + + + =
:ef@
Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử căn thức bằng cách bình
phương, lập phương hoặc nhân lượng liên hợp Trong bài này ta có thể nhân
liên hợp
;<
,)apN/ !/!#
74a
*x
≥
\F
( )
* { | & * { & | * r
6 r 6
* { & | *
x x x x x x x x
x x
x x x x
+ − + + + + = ⇔ − + − − + + − + + − =
⇔ − + + + = ⇔ =
÷
+ − + + + + +
p
pF%-
h i * { |f x x x x x= + − + + + +
T?9
[
)
*t+∞
h6i &f =
6x =
/4%02# (=
:ef@
Ở cách 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta sẽ giải quết bài toán này ngắn
gọn và dễ hiểu hơn n
378=a;<# (=-a
rx x x+ + + + + =
hi
;<
,)a
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
r
ihq
−−−≠∀>
+
+
+
+
+
=
x
xxx
xf
pF%-
( )
f x
T?9
( )
t rt t /% h i
x
f f f f x
→±∞
( )
q
&
r> t
&
&
x
f x x
x
x
= + > ∀ ∈ +∞
÷
−
−
pF%-
( )
& & f x x x= − + −
T?9
t
+∞
÷
x x
x x
x x
+ +
= − +
− +
;<
M
( )
t rt r u x x v x x u v v u x x= + + = − + > > ⇒ − = − +
\ F
# (=z.
/ / /
u
v u u u v v
v
= − ⇔ + = +
hi
vw % -
( )
/f t t t= +
F
( )
r> r
/
x x x x+ − + = − +
;<
F
x x x x x x x x+ − + = − + ⇔ + + + = + +
h}i
vw%-
( )
f t t t= + +
~
F
{ }
tr•>r
ih
ihq
Rt
tt
/ x x+ ≤
;<
74a
rx >
vw%-
( )
/f x x x= +
( )
rt+∞
F
( )
r> rf x x
x
′
= + > ∀ >
%-
( )
/f x x x= +
T?9
( )
rt+∞
M7)
( )
f =
pF?2# (=
( ) ( )
/ x x f x f x+ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
{
{
{ {
{
u v
u v
u v u v
u v u v
v v
u v
= −
= −
+ = = −
⇔ ⇔ ⇔
− > > +
− > +
> +
( ) ( )
≤ <
n0
&
x x− < ⇔ >
\9!#"A74
* x− ≤ ≤
!4%?2# (=z
/
x< ≤
,)apN(4%-
74a
* x− ≤ ≤
vw%-
( )
& &
* f x x x= + − −
[ ]
*t−
F
( )
( ) ( )
( )
& &
r> *t
& * &
/ / x x< +
;<
74a
rx >
M
&
/ &
t
t x x= ⇔ =
\F>?2# (=a
( )
& *
/ / x x< +
(
)
*
/ & *
* *
t t
t t t
t
⇔ < + ⇔ < + ⇔ < +
÷ ÷
h}i
vw%-
( )
h}i
;<a74a
|
{
x ≥
+2# (=h}i !"9/$ A$
( ) ( )
{ { { | { { { | 5 r { { { | rx x x x x x+ + − + + + − − < ⇔ + + − − <
vw%-
( )
{ { { | f x x x= + + − −
|
t
{
+∞
÷
p
( )
{ {
r
{ { { |
f x
x x
′
\9!#"A74
|
{
x ≥
!4%?2# (=z
/
|
|
{
x≤ <
Qua các ví dụ về giải phương trình và bất phương trình trên, đối với
những ví dụ có hai cách giải thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu của hàm
r
số hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu. Cách giải đầu thường
biến đổi phức tạp và có bài thấy thiếu sự tự nhiên, khó tìm ra lời giải. Đây là
dạng toán khó đối với học sinh lần đầu tiếp xúc, các em chưa quen trong việc
sử dụng phương pháp hàm số để giải. Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh
năng lực tư duy, sáng tạo, vận dụng các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của
hàm số là một việc làm rất cần thiết. Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh
hoạt trong giải toán
0<FYl_
;<)# (=>?2# (=-a
€
x x x x x x− + − + = + + +
€
h 6 i h& ih i rx x x x x+ + + + + + + =
+ + − − + =
F4%
;<
vw%-a
( )
f x x x x x= + + − − +
R
F
( )
x x
f x
x x x x
+ −
′
= −
+ + − +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
r€
| x x x x x x− + − − + > − − −
€
| | & x x x x+ + + − − >
€
i&h|i|h
5
xxxx −>++
€
*
x x x
+ >
&€
*
/
x x
x x
x x
+ +
< − −
+ +
x(^>
( )
′
+
( )
f x
1
-1
YP0# (=F4%7"d7−‚m‚
:efaTrong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm
số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là R và dẫn đến việc kết
luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìm giới hạn
trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.
378==%%-
m
D# (=-F4%1#G?4a
x mx x+ + = +
RP8wa
rx =
7O/4%# (="A
rx ≠
>Fa
( )
x
≥ −
⇔
= + −
vw%-
h i &f x x
x
= + −
( )
tr rt
− ∪ +∞
÷
F
( )
q
f x
→+∞
= +∞
+<?9a
W?<?9-0# (=F4%1#G?47
6
m ≥
Chú ý@,)aM
t x= +
>7F# (=.
( )
( ) ( )
r
6
6 r
t
t m t m t
t m t m
≥
+ − + − = ⇔
− − + − =
># (=.a
( )
&
&
}t t m
+ − =
RP8w"A%e4%7OG%# (=h}iFI
4%# (=z>F# (=zFI4%
7"d7# (=h}iFI4%7OG%
vw%-
( )
&&
f t t t
= + −
"A
rt
≥
⇒
( )
&
&
q
h i
t
f t
t
= −
+
378Ka,%[
rm∀ >
># (=-/OF4%1
#G?4a
5 h ix x m x+ − = −
p
rm >
x ≥
hi
⇔
[ ]
h ih &i h i h ih &i h ix x m x x x m x− + = − ⇔ − + = −
h i h ih &i r
| rh}i
x
x x x m
x x m
=
x >
YP0# (=zFI4%1#G?4
rm∀ >
:efa
&
x
q
h if x
h if x
ƒ
rg…hi
c
ghi
r
Sau khi tìm được điều kiện
x ≥
việc khảo sát hàm số
h if x
ở trên là rất dễ
dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng
biến của hàm số
h if x
.
378Na=%%D# (=-FI4%1#G?4
′
= − +
+ − + + − + −
( )
( )
( ) ( )
( )
r> t5
5 5 5
x
x x x x x x
+ > ∀ ∈ −
+ − + + − + −
pF2
( )
f x
′
d#@"2
{ x−
F?<?9a
x
c
{
& x x x m+ + − + =
;<a74a
x ≥ −
*
M
rt x= + ≥
>' (=.
&
&
t t m+ − =
h}i
RP20"A%e4%7OG%# (=h}iFI%@
4%
# (=zpF# (=zFI%@4%7
# (=h}iFI%@4%
vw%-
&
&
h i f t t t= + −
[
)
rt+∞
F
[
)
q
( )
f t
r
p1"?<?9F)):K=%
m
/a
&
r m< ≤
378ha=%
m
D# (=-F4%
[
)
t+∞
( )
/ / / x x m x− − = −
hi
;<aM
/t x=
"A
[
)
t *x t∈ +∞ ⇒ ≥
\F># (=
hi
( )
t
f t
t
+
=
−
[
)
*t+∞
F
( )
( )
[
)
&
r> *t
f t t
t
−
′
= < ∀ ∈ +∞
−
‚r
thức bậc hai
(1)
( )
t t m t⇔ − − = −
. (2)
Với
rm ≤
thì phương trình vô nghiệm.
Với
rm >
thì phương trình (2)
( )
( ) ( ) ( )
rhi
t t m t
m t m t m
⇔ − − = −
⇔ − + − − + =
(3) có hai nghiệm là
t
"A
r
≥∀
x
6nE@
Fa
rih ≥xf
"A
r≥∀x
* *
h i r> r
x x
m m x
÷ ÷
⇔ − + + + ≥ ∀ ≥
*
h i r>
( )
& &
qh i r
t
t t
f t
t
t
=
− −
⇒ = = ⇔
−
= −
{
+<?9a
∞−
F4%02
=%%D# (=-F4%02a
( )
( )
*
*
/ 5 / &mx x x+ = − − −
&=%%D?2# (=a
( )
&x m x x+ + = + +
I"A
[ ]
rtx∀ ∈
*=%%D# (=-F4%a
( )
* &x x x m x x+ + = − + −
|=%%D# (=F4%02a
( ) ( )
&
x x m x x x x m+ − + − − − =
{=%%D?2# (=F4%a
rtx∈
a
( )
& x m x x+ + = + +
=%%-
a
D?2# (=4%I
x∀
a
&
- * - |- | & rc x c x x a a− − + + − >
=%D?2# (=-F4%"A
x
∀
a
(
)
( )
*
/ * / ƒ| x x ax+ + + ≤
K:`E:_HRCF:GH@
D7D%7<>Oz9$0]4%
9$0>-%e9$0OF?7D%D7<-)2/ !
-Y=V/ !7O#w#OdA4)/%"79
4%
{>* * {>*
+
A#
& r r * >6 *r | 5>
W?<79B<20[/A#$014%F79B<
P#$ !(R "P0?[)-](4%-
# (= !<(>(>4B<(Y=979B<
P#-G/‰4M7)B)9$014%0)
C% !Š7<L‹>7w/w"$)C%%$$>1
(>0>%%"A%O)
Q6#p
50<:;c:E:_H@
n))7x'z<%<7) )0D
-"$F?27F !#)DW)?P#-)
)7>D<B09)?)FK#<-]/$(
4%-^L%BOz"2
/4D"P# (#)#?T U-OR"/04
$>j"20[-9# (@>-
-D""PB)=<)$?P#.
=ecE:W@
=5BqEM9I@,K9#PF>=%D7S@ (
="# (#)#$0'</79$?)>1%
7</4>H?$?ŠT4#>G=@0%O,K
F/Q4=>0>FK)4%"AO"4
$$"4Z%A# (#)#"#)0)"4Z
Q()[%G2/ !V$0
== Bq+:rEM98/SM98@ V80Z>?T
U>P#2)?@)"D)"D‰"Q"Z1
r
Copyright: Tài liệu đại học ©