1

Rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới
cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung:
Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
PRACTISING SKILLS OF SOLVING AND CREATING NEW ALGEBRA PROBLEMS FOR THE GRADE - 10
STUDENS THROUGH '' AM - GM AND CAUCHY - SCHWARZ '' UNEQUALITIES
NXB H. : ĐHGD, 2012 Số trang 91 tr. +

Lê Xuân Nghị Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lí luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán);
Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2012

Abstract. Nghiên cứu tài liệu tham khảo, làm rõ khái niệm kĩ năng và sự sáng tạo, nâng cao
khả năng sáng tạo của học sinh. Tìm hiểu bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauchy –
Schwarz và một số bài toán vận dụng. Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM -
GM và Cauchy - Schwarz theo hướng rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho
học sinh lớp 10 trung học phổ thông (THPT). Tổ chức thực nghiệm và đánh giá hiệu quả.

Keywords: Phương pháp dạy học; Toán học; Kỹ năng giải toán; Lớp 10; Khả năng sáng tạo.

Content.
Lý do chọn đề tài
+ Kĩ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới là yếu tố quyết định thành công của hoạt động giảng
dạy. Nếu học sinh thiếu kĩ năng giải toán sẽ dẫn đến khả năng thực hành yếu, thiếu sự sáng tạo trong
học toán sẽ dẫn tới thụ động trong học tập, giảm đi sự sáng tạo, chủ động trong cuộc sống. Hiện nay

chất lượng sản phẩm của hoạt động giáo dục phải đáp ứng được yêu cầu của xã hội. Trong dạy học
giáo viên kết hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực và chú ý đến việc rèn luyện kĩ năng giải và
sáng tạo bài toán mới cho học sinh, tuy nhiên hiệu quả còn phụ thuộc nhiều vào trình độ người thầy
và ý thức người học cũng như nhận thức của xã hội. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới chưa được đề cập
đến trong chương trình giáo dục phổ thông
2. Mục tiêu nghiên cứu
+ Mục tiêu nghiên cứu của đề tài nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài toán bất đẳng thức và sáng
tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy -
Schwarz
+ Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz nhằm rèn luyện kĩ
năng giải toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10
3. Phạm vi nghiên cứu
4.1. Thời gian thực hiện: Từ tháng 11/2011 đến tháng 11/2012
4.2. Nội dung nghiên cứu
+ Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
+ Kĩ năng giải toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới của học sinh lớp 10

3

4. Mẫu khảo sát
+ Giáo viên dạy toán trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội
+ Học sinh các lớp 10 trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội năm học 2011-2012
5. Câu hỏi nghiên cứu
Làm thế nào để rèn luyện kĩ năng giải bài toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới cho học
sinh lớp 10 THPT
6. Giả thuyết nghiên cứu
Thông qua nội dung: Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz sẽ rèn luyện cho học sinh lớp
10 kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới
7. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu tài liệu tham khảo, làm rõ khái niệm kĩ năng và sự sáng tạo, nâng cao khả năng sáng

Chương 2: Rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 THPT thông
qua Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số khái niệm liên quan đến đề tài
1.1.1. Kĩ năng giải toán
Người ta phát hiện ra rằng: Khi ra một bài toán mới khác hẳn với bài toán đã làm mà học sinh
vẫn giải được nhờ những kĩ năng có được một cách tự phát trong quá trình học tập. Đây là một quá
trình tư duy thực sự hiệu quả nhưng tốn nhiều thời gian và công sức.
Phân tích quá trình tích lũy kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên và học tập của học sinh,
chúng ta phát hiện ra một phương pháp hiệu quả bổ sung cho hoạt động giảng dạy là tìm kiếm, hệ
thống các kĩ năng giải toán cung cấp cho học sinh những chuyên đề đặc biệt. Với cách này, chúng ta
nhanh chóng tiếp cận với nhiều dạng bài toán khó trên thế giới để rèn luyện tư duy nhận thức ở mức
độ cao, tiết kiệm rất nhiều thời gian cho quá trình đào tạo.
Khái niệm về kĩ năng giải toán: Kĩ năng giải toán là sử dụng các kiến thức cơ bản giải các bài
toán đặt ra.
1.1.2. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới
1.1.2.1. Khái niệm về sáng tạo
+ Theo bách khoa toàn thư: "Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách
quan của thực tiễn nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con
người. Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất"
+ Theo từ điển tiếng việt: "Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần. Hay
sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có"
+ Vậy có thể hiểu ngắn gọn: Sáng tạo là tìm ra cái mới hiệu quả, có ích, độc đáo
1.1.2.2. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới trong toán học
+ Xuất phát từ các bài tập đã có, giáo viên hướng dẫn học sinh giải và tạo ra các bài toán mới phù
hợp với trình độ và năng lực của học sinh

điểm rơi áp dụng bất đẳng thức trung bình
+ Từ bài toán trên ta có thể hướng dẫn học sinh sáng tạo nhiều bài toán mới nhằm giúp các chủ
động, sáng tạo trong học tập, làm bài học được tự nhiên hơn và hiệu quả hơn
1.2. Thực trạng việc dạy học Bất đẳng thức ở trƣờng THPT
1.2.1. Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường THPT
+ Trong chương trình toán THPT, bất đẳng thức là một chuyên đề khó. Tuy nhiên nội dung đưa
vào giảng dạy rất cơ bản, học sinh cơ bản mới chỉ tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức và những tính
chất cơ bản của bất đẳng thức. Ngoài ra học sinh được giới thiệu thêm bất đẳng thức AM – GM và
bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Với lí thuyết như vậy học sinh lớp 10 khó có thể vận dụng linh
hoạt để giải các bài toán về bất đẳng thức.
+ Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của học sinh trong trường THPT, trong quá
trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp điều tra bằng phiếu để biết được những thuận lợi và khó
khăn từ phía học sinh từ đó điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng.
1.2.2. Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường THPT
+ Theo bộ sách giáo khoa đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cải cách giáo dục, phần bất đẳng
thức được đưa vào chương IV Đại số lớp 10. Đây là phần kiến thức khó đối với học sinh thường xuất hiện
trong các đề thi tuyển sinh và chọn học sinh giỏi. Chính vì vậy mà dạy nội dung này trở nên khó khăn hơn
một số nội dung khác, người giáo viên cần cố gắng giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết mỗi bài toán một
cách đơn giản nhất, giúp học sinh hứng thú và chủ động hơn trong học tập
6

+ Để tìm hiểu rõ hơn thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường THPT. Tôi đã tiến hành quan sát,
dự giờ và lấy ý kiến các đồng nghiệp, sau khi điều tra phân tích tôi thu được kết quả thực tế là nhiều
học sinh cho rằng bất đẳng thức là chủ đề khó, đặc biệt là việc áp dụng trong giải toán
1.3. Kết luận chƣơng 1
Xuất phát từ cơ sở lý luận và tìm hiểu thực tiễn đã được trình bày ở trên, tôi kết luận rằng :
Nội dung kiến thức toán chủ đề bất đẳng thức là vô cùng phong phú và đa dạng. Dạy học bất đẳng
thức giúp cho học sinh khá, giỏi rèn luyện tốt kĩ năng giải toán và chủ động sáng tạo bài toán mới,
thông qua dạy học bất đẳng thức AM – GM và Cauchy – Schwarz người giáo viên hướng dẫn học
sinh nắm bắt kiến thức một cách tốt nhất, vận dụng làm bài tập một cách hiệu quả nhất




2.1.1.3. Bất đẳng thức AM – GM cho n số
Với a
1
, a
2
, . . . a
n
là các số thực không âm. Chứng minh rằng
7 n
n
n
aaa
n
aaa21
21


hoặc viết dạng
n
n
i

k
i
i
k
i
i
aa
k
1
1
1
1













đúng
+ Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Ta có
11
1

Áp dụng giả thiết quy nạp ta được
1
1
1
1
1















k
aak
S
k
k
k
i
i
k







k
k
i
i
k
k
k
i
i
a
k
aak
(*)
Kí hiệu
1
1
1
1
1
,





xyyyxxk


 
0) (.)(
12321

 kkkkk
xxyxyyyxkyx


 
0).( ).()().(
11

 kkkkkk
xyxxyxyxyx


 
0 ) () (.)(
12321212

 kkkkkkk
xyyxxxyyxxyx

Vì x, y

0 nên bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta có ĐPCM
2.1.2. Một số ví dụ áp dụng

từ đó ta
cân bằng hệ số khi áp dụng AM –GM
 Nếu kết hợp bất đẳng thức a + b + c


3
3 cba
hoặc thay đổi hệ số, thay đổi bậc số hạng ta
thu được nhiều bài toán mới như:
Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1
Chứng minh rằng
2
3
222





 ba
c
ac
b
cb
a

Ví dụ 2; ( IMO 1995)
Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh rằng
2

a






16
1
)3()3()3(
2
4
2
4
2
4

Trên đây là một số bài toán về bất đẳng thức đồng bậc đối xứng, sau đây ta xét một số bài toán mà
các số hạng không đối xứng
Ví dụ 4; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng
9 1
22
2
23
 abac
ac
b


zxyzxy
x
z
z
y
y
x

333

2.1.2.2. Thay đổi bậc của bất đẳng thức
Trong mục này tôi trình bày một số ví dụ thay đổi bậc của bất đẳng thức và một số bài tập vận dụng
Ví dụ 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca

3. Chứng minh
rằng

)(2333
222
cbacba 

Giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

4
7
3
2
43

2
43
4).3(




c
c
c
c

Cộng vế các bất đẳng thức ta được

4
21
333


cba
cba

10

Ta có
24
135)(
4
21
2

cbacba
cba



Tương đương
)(2333
222
cbacba 
(ĐPCM)
2.1.2.3. Sử dụng các số hạng hằng số
Trong mục này chúng tôi trình bày một số ví dụ và bài tập chứng minh bất đẳng thức có điều kiện
bằng cách sử dụng thêm hằng số khi dấu đẳng thức xảy ra
Ví dụ 1; Với a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn ab + a + b = 3, chứng minh rằng a
3
+ b
3


2
Giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
a
3
+ b
3
+ 1

3ab
a

11

2.2. Giải và Sáng tạo bài toán thông qua Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
2.2.1. BĐT Cauchy – Schwarz: Với mọi số thực a
i
, b
i
( i = 1, 2, …, n )
Ta có






















c
ac
b
cb
a

Giải
Ta có
(a+b+c)
2
=
2
)2(.
2
)2(.
2
)2(.
2






















Mặt khác ta có 3(ab+bc+ca)

(a+b+c)
2
ta có ĐPCM
Ví dụ 2; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng
M =
)(2
9
)()()(
222
cabcab
cba
c
bac
b
acb
a











 cba
cba
c
bac
bac
b
acb
acb
a
a
c
c
b
b
a
Áp
dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có
12 )(2.
2
cabcabP

(ĐPCM)
2.2.3. Dạng hệ quả 1:
Với

 RbRa
ii
,
( i = 1, 2, … , n ) ta có













n
i
n
i
i
n
i
i
i

VT =
bcac
c
abbc
b
acab
a
222
222








1
)(3
)(
2



cabcab
cba

Thay hệ số 2 bằng k ta thu được Bài toán sau
Bài toán 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng






kcabcabk
cba




1
3
))(1(
)(
2

2.2.4. Dạng hệ quả 2: Với

 Rba
ii
,
( i = 1, 2, … n ) ta có
13

2.2.4.1.






1
3
1
2
3
2.2.4.2.



















n
i
n
i
i




















n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i











n
i
n
i
i
n
i
i
i
i
b
a
b
a
1
1
2
1
2
(*)










n
i
i
n
i
i
bnb
11
.

Ta suy ra











1
2
1
.
(**) Từ (*) và (**) có ĐPCM
Một số bài toán vận dụng
Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

3
222
cba
ac
c
c
cb
b
b
ba
a
a








Hướng dẫn
14


Suy ra VT


3
cba 
( ĐPCM )
2.3. Xây dựng bài giảng vận dụng Bất đẳng thức AM – GM
Trong mục này chúng tôi xây dựng một bài giảng vận dụng bất đẳng thức AM – GM nhằm rèn kĩ
năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10
2.4. Xây dựng bài giảng vận dụng Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Trong mục này chúng tôi xin nêu một bài giảng vận dụng dạng hệ quả 1 của bất đẳng thức Cauchy –
Schwarz nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán bất đẳng thức cho học sinh lớp 10
2.4. Kết luận chƣơng 2
Chương này trình bày việc rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông
qua bất đẳng thức AM – GM và Cauchy – Schwarz. Nội dung của chương được chia theo từng tiểu
mục khác nhau, trong mỗi tiểu mục được phân thành một số dạng toán vận dụng. Trong chương đã
làm được các việc sau
+ Nêu bất đẳng thức AM – GM và cách chứng minh
+ Nêu bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và cách chứng minh
+ Một số ví dụ và bài tập vận dụng bất đẳng thức AM – GM theo các phương pháp
 Sử dụng bất đẳng thức đồng bậc
 Thay đổi bậc của bất đẳng thức
 Sử dụng hằng số
 Sử dụng bất đẳng thức một biến
+ Một số ví dụ và bài tập vận dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz và ba dạng hệ quả
+ Xây dựng bài giảng về bất đẳng thức AM – GM
+ Xây dựng bài giảng vận dụng dạng hệ quả 1 của Cauchy – Schwarz
15


+ Một số bài toán vận dụng bất đẳng thức AM – GM ( 2 tiết )
+ Một số bài toán vận dụng dạng hệ quả 1 của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ( 2 tiết )
Để tiến hành thực nghiệm, tôi chọn lớp thực nghiệm là lớp 10A
1
và lớp đối chứng là lớp 10A
6
. Đây
là hai lớp đa số học sinh có học lực khá và có năng lực học tập môn toán tương đối tốt, điều kiện học
tập và sĩ số tương đối giống nhau. Tại lớp thực nghiệm, giáo viên sử dụng giáo án trên và tập trung
vào trọng tâm rèn kĩ năng giải toán và hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới, ở lớp đối chứng,
giáo viên sử dụng giáo án theo phương pháp thuyết trình, diễn giảng nội dung kiến thức là chính,
hướng dẫn học sinh ví dụ minh họa và kết hợp cho học sinh giải bài tập vận dụng với mức độ kiến
thức sát SGK.
16

3.5. Kết quả dạy thực nghiệm
Trước khi dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát mức độ kiến thức của học sinh hai lớp về một số
bài toán bất đẳng thức mà các em đã được học ở cấp 2 với cùng một đề kiểm tra và phiếu thăm dò ý
kiến
Sau khi dạy thực nghiệm, tôi tiếp tục có đề kiểm tra chung để làm cơ sở đánh giá đánh giá kết quả
học tập của học sinh. Đề kiểm tra và kết quả thống kê điểm trình bày trong phụ lục 3. Để khảo sát
thái độ học tập của học sinh, tôi phát phiếu thăm dò ý kiến sau thực nghiệm trình bày trong phụ lục 4
3.6. Phân tích kết quả và đánh giá
Dựa trên cơ sở phiếu lấy ý kiến và kết quả bài kiểm tra trước và sau khi thực nghiệm ở hai lớp 10A
1

và 10A
6
tôi có nhận xét sau
Trước khi dạy thực nghiệm, phiếu khảo sát cho thấy hầu hết HS đều không thích học bất đẳng thức

tạo cho học sinh từ những bài toán cơ bản sẽ giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập và kết quả đạt
được sẽ tốt hơn

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1. Kết luận
Luận văn hoàn thành đã thu được các kết quả chính sau đây :
+ Hệ thống hóa cơ sở lý luận làm sáng tỏ khái niệm kĩ năng giải toán và kĩ năng sáng tạo bài
toán mới cho học sinh
+ Tìm hiểu thực trạng dạy và học bất đẳng thức trong chương trình toán THPT, đặc biệt là
khả năng sáng tạo của HS thông qua dạy học bất đẳng thức AM – GM và Cauchy – Schwarz
+ Nêu một số hướng rèn kĩ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới thông qua bất đẳng thức
AM – GM và Cauchy – Schwarz
+ Minh họa thông qua 2 giáo án về ứng dụng giải toán và sáng tạo bài toán mới thông qua bất
đẳng thức AM – GM và dạng hệ quả 1 của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
+ Tiến hành thực nghiệm sư phạm cho kết quả khả quan, bước đầu khẳng định hiệu quả và
tính khả thi của đề tài
Với những kết quả thực tế của luận văn đã bước đầu khẳng định được giả thuyết của luận văn
là đúng, mục đích nghiên cứu của luận văn phù hợp giả thuyết và đạt được hiệu quả trong
ứng dụng thực tế
2. Khuyến nghị
Trong quá trình triển khai đề tài, tôi mạnh dạn đề xuất một số ý kiến sau :
+ Cần tăng cường thêm thêm thời lượng dành cho nội dung bất đẳng thức vì đây là nội dung
khó trong chương trình toán THPT, việc tăng thời lượng giúp GV triển khai tốt hơn, hiệu quả
hơn kế hoạch giảng dạy của mình
+ GV cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy, cần có nhiều thời gian
tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong giảng dạy. Trong quá trình giảng dạy, GV cần rèn luyện
kĩ năng giải toán cho học sinh song song với hoạt động sáng tạo bài toán mới, thông qua đó
giúp học sinh chủ động hơn trong học tập, giúp học sinh có thói quen chủ động, sáng tạo và
linh hoạt trong học tập cũng như trong cuộc sống.