CHUYÊN ĐỀ 4
ĐƯỜNG TRÒN
1. Để tìm phương trình của một đường tròn ta cần lưu ý:
. Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R là :

()
+
(
= R
2

2
xa−
)
2
yb−
. Phương trình của (C) ở dạng khai triển :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 ( hay x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0)
với c = a
2
+ b
2

tại tiếp điểm M
0
(x
0
, y
0
) với :
)
Δ
- đường tròn (C) :
()
+ = R
2
là
2
xa−
(
2
yb−
)
)
(x
0
– a) (x – a) + (y
0
– b) (y – b) = R
2

- đường tròn (C) : x
2

±
±
R, mọi tiếp tuyến khác với đường tròn ( C) đều có
dạng y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x
0
) + y
0
nếu tiếp tuyến đi qua ( x
0
, y
0
) là
điểm nằm ngoài đường tròn.
Ví dụ

1
Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4).
a) Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A, B.
c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7)
Giải
a) Phương trình đường tròn (C) có dạng :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B nên :

0


Vậy (C) : x
2
+ y
2
+ 2x – 4y = 0.
Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên có tâm là trung điểm của AB và đường kính là
AB nên pt dường tròn (C) là:

222
11
12 416
44
++− = = + =(x ) (y ) AB ( )
5

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên với
(, ) ( )
M
xy C
∈
ta có
0=AM.BM
JJJJG JJJJG
. Vậy pt đường tròn ( C ) là 0
−
−+− −=
AB A B
(x x )(x x ) (y y )(y y ) .
b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại :

2
⇔
2
274
1
kk
k
−−+−
+
= 5
⇔

55k−
= 5 .
2
1k
+

⇔ 4k
2
– 10k + 4 = 0
⇔
k = 2 hay k =
1
2

Vậy có 2 tiếp tuyến với đường tròn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình là :
k = 2 2x – y – 1 = 0 ⇒
k =
1

=
x2(1)
33
y2(10)2
⇔
⎧
⎨
=
⎩
A
A
x0
2
⇔ A (0, 2)
y
PT: BC qua M (1, −1) ⊥ = (1, −3): x – 3y – 4 = 0
JJJJG
AM
PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM=
+=19 10

(x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 10
Tọa độ B, C thỏa :
−−=
⎧
⎨

y2

Vậy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0)
Ví dụ
(ĐH KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường
tròn (C): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn
(C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm (C) và (C’)
Giải
(C
1
) có tâm I (1, 2), R = 2.
Gọi I’ là đối xứng I qua (d)
Gọi (Δ) là đường thẳng qua I và (Δ) ⊥ (d)
(Δ) : x + y – 3 = 0. (Δ) ∩ (d) = H(2, 1)
H là trung điểm của II’
Giả sử I’ (x, y) thì ⇒
+
⎧
=
⎪
⎪
⎨
+
⎪
=
⎪

⎪
⎩
22
22
(x 1) (y 2) 4
(x 3) y 4
⎧
−
+=
⎨
−−=
⎩
22
(x 3) y 4
xy10

⇔ ⇔ ∨
=+
⎧
⎨
−=
⎩
2
xy1
2y 4y 0
=
⎧
⎨
=
⎩

mn
m2n1
=
⎧
⎨
=
−
⎩
⇔
m1
n1
=
⎧
⎨
=
⎩

Suy ra A(1; 1), C(1; -1). Gọi (C) là đường tròn đường kính AC
⇒ Phương trình (C) : (x–1)
2
+y
2
=1. B và D là giao điểm (C) và Ox nên tọa độ của B, D
là nghiệm của hệ :
22
(x 1) y 1
y0
⎧
⎪
−+=

2
+ (y – 4)
2
= 25 ⇔ (y – 4)
2
= 9
⇔ y – 4 = ±3 ⇔ y = 7 hay y = 1
Trường hợp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = 7
Suy ra pt (C) : (x – 2)
2
+ (y – 7)
2
= 49
Trường hợp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1
⇒ pt (C) : (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 1.
Ví dụ
(ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A -2002)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn:
(C
1
) : x
2
+
y
2
– 10x = 0; (C

2
+ y
2
+ 4x – 2y – 20) = 0 với m
2
+ n
2
> 0
⇔ (m + n)x
2
+ (m + n)y
2
+ (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0
⇔ x
2
+ y
2
+
4n 10m 2n 20n
xy
mn mn mn
−
⎛⎞
−−
⎜⎟
+++
⎝⎠
0=

Có tâm I

1
) có tâm I
1
(5; 0), bán kính R
1
= 5
⇒ I
1
I
2
< R
1
+ R
2
(C
2
) có tâm I
2
(−2; 1), bán kính R
2
= 5
Vì (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại 2 điểm nên có 2 tiếp tuyến chung.
Vì x = x
o
không thể là tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng :
y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0

−−+⏐
+
= 5
⇔ ⏐−2a – 1 + b⏐ =
2
5a (2) 1+
(1) và (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – 1 + b⏐
⇔ ⇔
5a b 2a 1 b
5a b 2a 1 b
+=−−+
⎡
⎢
+=++−
⎣
1
a
7
3a 1
b
2
⎡
=−
⎢
⎢
−
+
⎢
=
⎢

12
II ( 7;1)=−
JJJJG
x + 7y+m = 0 (Δ)
d(I
1
, Δ) = 5 ⇔ ⏐5 + m⏐ =
+
2
57 1
⇔ m = – 5
±
25 2
Vậy
phương trình 2 tiếp tuyến là x + 7y – 5
±

25 2
= 0.

5
GHI CHÚ :
Bài đường tròn trong chương trình lớp 12 bao gồm các vấn đề chính là : Tìm phương
trình đường tròn; các bài toán liên quan đến vò trí tương đối giữường thẳng và đường tròn,
giữa hai đường tròn; phương tích của một điểm đối với đường tròn; trục đẳng phương của hai
đường tròn không đồng tâm. Ngoài ra còn có một số câu hỏi liên quan đến phương trình x
2
+
y
2

−
=
⇔=
k1
kyy
y
k1
kxx
x
MBkMA
BA
M
BA
M
(I)
1/ Nếu đề bài cho biết tọa độ A, B, C thì :
• Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A của
tam giác ABC.
Ta có :
DC
AC
AB
DB −=

Sử dụng công thức (I) với k =
AC
AB
−
ta xác đònh được tọa độ điểm D.
A

B/ Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm
:
1/ Cho hai đường tròn không đồng tâm :
(C
1
) : x
2
+ y
2
+ 2a
1
x + 2b
1
y + c
1
= 0 (1)
(C
2
) : x
2
+ y
2
+ 2a
2
x + 2b
2
y + c
2
= 0 (2)
Trục đẳng phương của (C

• Nếu (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại 2 điểm A và B thì trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) là
đường thẳng AB.
• Nếu (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau (Tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài) thì trục đẳng
phương của (C
1
) và (C
2
) là tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
) tại tiếp điểm.
• Nếu (C
1
) và (C
2
) không cắt nhau thì vẽ thêm đường tròn (C
3

Cách giải : Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C).
Gọi (C’) là đường tròn tâm M, bán kính :
R’ = MA =
22
RIM −
Suy ra (C) và (C’) cắt nhau tại A và B.
Do đó đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của (C)
và (C’).
(C)
(C’)
A
B
M
I
Qua kết quả trên ta ghi nhớ ngay 2 kết quả :
• Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) chính là trục đẳng
phương của (C
1
) và (C
2
) [Nghóa là không cần tìm tọa độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)].
• Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C

2

⇔
12
/( ) /( )
M
CMC
PP
=

Do đó quỹ tích M là trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
).
•

7
M
• B
A •
(C
1
)
(C
2
)

Bài 2 : Tìm tiếp điểm M của hai đường tròn tiếp xúc nhau (C
1

)
M

I
1
I
2
d
Ví du
ï (ĐỀ DỰ BỊ KHỐI B -2005)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn :
(C
1
): x
2
+ y
2
và (C
2
): x
2
+ y
2
. Viết phương trình trục đẳng phương d của
2 đường tròn (C
1
) và (C
2
). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến tâm của

I1
, bán kính
,1
2
R5
=

Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn
(
)
1
C
,
(
)
2
C
là
(
)
(
)
22 22
xy9 xy2x2y23+−− +−−− =0

x
y
70⇔++=
(d)
Gọi

kk kk
I

K OK 2x 14x 65 2x 14x 49 16 0−=++−++=>
K OK IK OK(đpcm)>⇔>
Vậy
I

22
* * *

8