A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT
PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
1. Phương pháp giải.
Cách 1:
- Đưa phương tŕnh đă cho về dạng: (C) : x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 (1)
- Xét dấu biểu thức P = a
2
+ b
2
– c
+ Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R =
2 2
a b c+ −
+ Nếu P ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= P (2).
+ Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R =
P
+ Nếu P ≤ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và bán
kính nếu có.
a) x

c) Ta có: a
2
+ b
2
– c = 8 ⇒ phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(2/7;-3/7) và
bán kính R =
5
2
7
d) Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x
2
và y
2
khác nhau.
Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x
2
+ y
2
-2mx -4(m-2)y + 6 - m = 0 (1)
a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kình theo m.
Giải: (1) là phương trình đường tròn ⇔ a
2
+ b
2
– c > 0 ⇔ m
2
– 3m + 2 > 0 ⇔
2
1

c) Có R
2
= 2 sin
2
α ≤ 2. R
max
=
2
⇔ anpha = π /2 + k π
d) Toạ độ tâm I:
os
sin
x c
y
α
α
=


=

Khử anpha từ hệ này ta được toạ độ tâm I thoả mãn phương
trình đường tròn: x
2
+ y
2

= 1.
VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm.

c) Đi qua 3 điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2)
Giải:
2 2
1 5+
=
26
a) Đường tròn này có bán kính là OI =
2 2
1 5+
=
26

phương trình đường tròn có dạng (x-1)
2
+ (y+5)
2
= 26
2
b) Đường tròn này có tâm I là trung điểm của AB: I(4; 3), bán kính bằng AB/2 =
2 13
13
2
=
 Phương trình đường tròn: (x-4)
2
+ (y-3)
2
= 13
d) Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x
2

Vậy phương trình đường tròn có dạng: x
2
+ y
2
+ 4x +y -20 = 0
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.
Chú ý:
- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d(I, ∆ ).= R
- Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆: tại A ⇔ d(I, ∆ ) = IA.= R
- Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
⇔ d(I, ∆
1
) = d(I, ∆
2
) = R.
Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với 0x.
b) (C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x – 2y + 7 = 0.
Giải:
a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 (∆ )
Ta có: R = d(I;;∆ ) =
3
3
1
=

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x-2)

1
5
R
R
=


=

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x-1)
2
+ (y+1)
2
= 1
(x-5)
2
+ (y+5)
2
= 25
3
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d
1
: 3x + 4y + 5 = 0 và d
2
: 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình
đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng
d
1
và d
2

*) Với a = 0 ⇒ I(10;0) và R = 7 ⇒ ptđt: (x-10)
2
+ y
2
= 49
*) Với a = -70/33 ⇒ I ( -30/11; -70/33) và R = 97/33
⇒ phương trình đường tròn: (x+ 30/11)
2
+ (y+70/33)
2
= (97/33)
2
Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7 – 5 = 0 ; x + y +
13 = 0 và với một trong hai đường thẳng đấy tại M(1;2).
Giải:
Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến hai đường
thẳng đã cho và đến tiếp điểm M bằng nhau:
⇒
2 2
7 7 5 13
(1)
5 2 2
13
(1 ) (2 ) (2)
2
x x y
x y
x y

− − + +

= 800
*) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x
2
+ 12x + 36 = 0 ⇔ x = -6 ⇒ y = 3 ; R = 5
2
Phương trình đường tròn có dạng: (x+6)
2
+ (y-3)
2
= 50
Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y – 35;
x – 1 = 0
Giải: Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường
thẳng đã cho bằng nhau:
4
⇒
3 4 35 3 4 35
(1)
5 5
1
3 4 35
(2)
1
5
x y x y
x
x y

+ − − −
=

y
x R

= = ± =


= − =


= ⇒


= =


Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài:
(x+25)
2
+ y
2
= 256
(x-5)
2
+ y
2
= 16
(x-35/3)
2
+ (y+40/3)
2

b− +
.
⇒
2 40
18 14 3
8
10
b R
b b
b
R

= − =

− = − ⇔ ⇒


=
=



Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề bài là:
(x-5)
2
+ (y+2)
2
= 40
(x-5)
2

2
+ (y-3)
2
= 25
b) Diện tích tam giác OAB là S = ½. 8.6 = 24
Cạnh huyền AB = 10
Nửa chu vi p = 12 ⇒ r =
S
p
=2
Vì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)
2
+ (y-2)
2
= 4
Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:
4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= 0
Giải: Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:
AB: 4x-3y-65 = 0;
BC: 7x-24y+55 = 0
CA: 3x+ 4y – 5= 0
⇒ A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A.
AB = 20; BC = 25; CA = 15
Diện tích tam giác là: S = 150
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5.
Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) ⇒ khoảng cách từ tâm I đến
đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:
4 3 65 7 24 5 3 4 5
5

+ + =


+ − − + =

- Nếu hệ vô nghiệm thì ∆ và (C) không có giao điểm nào ⇒ ∆ không cắt đường tròn.
- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì ∆ và (C) có một giao điểm ⇒ ∆ tiếp xúc với
đường tròn.
- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì ∆ và (C) có hai giao điểm ⇒ ∆ cắt đường tròn tại
hai điểm phân biệt
Nhận xét: ∆ và (C) có điểm chung ⇔ ∆ cắt hoặc tiếp xúc với (C)
Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến ∆ với bán kính R.
Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến ∆ ⇒ h =
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
TH1: h> R ⇔ ∆ không cắt đường tròn ⇒ ∆ và (C) không có giao điểm nào.
TH2: h = R ⇔ ∆ tiếp xúc với đường tròn ⇒ ∆ và (C) có duy nhất một giao điểm.
TH3: h< R ⇔ ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ và (C) có 2 giao điểm.
Nhận xét:
Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của (C) và d mà không cần quan tâm đến
toạ độ giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2.
Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và (C)có tâm I(-1;2) và bán kính R =
13
a) Viết phương trình đường tròn.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.
Giải:

Khoảng cách từ tâm I đến d là h =
2
3
1
m
m
+
+
TH1:
2
3
1
m
m
+
+
<
5
⇔ (m+3)
2
<5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4> 0 ⇔
1
2
2
m
m

= −


=

⇒ h = R ⇒ d và (C) có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với (C).
TH3:
2
3
1
m
m
+
+
>
5
⇔ (m+3)
2
>5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4< 0 ⇔ -1/2 < m< 2
⇒ h > R ⇒ d và (C) không có giao điểm nào.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 15: Cho (C): x
2
+ y
2
-4x + 6y – 12 = 0 và điểm D(1;1).