Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
1
Trường THPT Chuyên Tiền Giang
Chuyªn ®Ò
Nhóm thực hiện:
• Dương Minh Thông
• Phạm Hữu Hiệp
• Nguyễn Trung Sơn
• Đặng Hoàng Long
• Huỳnh Tuấn Trường
Năm học: 2010-2011
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Các bạn đọc giả thân mến!
Nhằm giúp các bạn học sinh có điều kiện hiều sâu hơn về chuyên đề
“phương trình đường thẳng”, đồng thời khơi dậy ở các bạn sự yêu thích và
lòng say mê với bộ môn hình học ở trường THPT, nhóm học sinh chúng tôi
đã biên soạn cuốn chuyên đề “phương trình đường thẳng ”. Chúng tôi nhận
thấy bên cạnh sách giáo khoa, các bạn học sinh cần phải nâng cao kiến thức,
kĩ năng toàn diện để chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại
học.
Cuốn chuyên đề sẽ là một tài liệu hữu ích cho các bạn tự củng cố và
bồi dưỡng kiến thức hình học của mình. Các bạn có thể sử dụng cuốn
chuyên đề như một tài liệu ôn tập tốt trong các kì thi tốt nghiệp THPT cũng
như các kì thi học sinh giỏi.
Hy vọng với cuốn sách này, các bạn học sinh sẽ thêm yêu mến bộ
môn hình học, tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu toán sau này.
Mặc dù chúng tôi đã cố gắng hết mình để cuốn chuyên đề được hoàn
hảo nhất nhưng chắc hẳn nó vẫn còn nhiều thiếu sót, xin các bạn hãy lượng
thứ và xin các bạn hãy đóng góp ý kiến cho chúng tôi về địa chỉ :”lớp 10
Toán, trường THPT Chuyên Tiền Giang” để chúng tôi có thật nhiều kinh
nghiệm trong các cuốn chuyên đề sau.

khác), chúng ta định nghĩa đường thẳng L là tập con của không gian đang
xét và có dạng:
với a và b là hai vector cho trước trong R
n
, đồng thời b phải khác vector 0.
Vector b xác định hướng của đường thẳng, và a là một điểm nằm trên đường
thẳng. Chọn các vector a và b khác nhau có thể dẫn đến kết quả cùng một
đường thẳng.
Trong không gian hai chiều, chẳng hạn trong một mặt phẳng, hai đường
thẳng khác nhau hoặc là hai đường thẳng song song hoặc phải cắt nhau tại
một điểm. Tuy nhiên, trong không gian nhiều hơn hai chiều, hai đường
thẳng có thể không song song nhau mà cũng chẳng cắt nhau, và hai đường
thẳng như vậy gọi là hai đường thẳng chéo nhau.
Trong R
2
, mọi đường thẳng được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính
có dạng
với a, b và c là các hệ số thực cố định trong đó a và b không đồng thời bằng
0. Các tính chất quan trọng của đường thẳng trong không gian hai chiều là
độ dốc, giao điểm của nó với trục Ox, giao điểm của nó với trục Oy.
Trừu tượng hơn, người ta thường nghĩ về trục số thực như là một nguyên
mẫu điển hình cho một đường thẳng, và giả định rằng mỗi điểm trên đường
thẳng tương ứng một-một với một số thực nào đó trên trục số thực. Thế
nhưng ta hoàn toàn có thể sử dụng cả số “siêu thực” và kể cả đường thẳng
dài trong lý thuyết topo để làm nguyên mẫu cho đường thẳng.
Tính chất “thẳng” của đường thẳng, thường được hiểu là tính chất cho phép
đường thẳng cực tiểu hóa khoảng cách giữa hai điểm, mà về sau có thể được
tổng quát hóa thành khái niệm đường trắc địa trong đa tạp khả vi.
Tuy nhiên, ở đây ta chỉ xét đường thẳng trong mặt phẳng Descartes (Oxy) và
phương trình đường thẳng có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính

r
được gọi là vetor pháp tuyến (VTPT) của
đường thẳng
( ) ( )d n d⇔ ⊥
r
.
• Phương trình tổng qt của đường thẳng (d) có dạng: Ax + By + C = 0 với
2 2
0A B+ ≠
có VTPT
( )
;n A B
r
; VTCP
( )
;a B A−
r
hoặc
( )
;a B A−
r
.
Như vậy, phương trình đường thẳng (d) đi qua
( )
0 0
;M x y
và có VTPT
( )
;n A B
r

1 2
d d⊥
⇒
VTCP của
( )
1
d
là VTPT của
( )
2
d
; VTPT của
( )
1
d
là VTCP của
( )
2
d
.
 Nếu
( )
; ;u X Y v u⊥
r r r
thì
( )
;v Y X−
r
.
 Nếu đường thẳng (d) cắt Ox tại A(a; 0) và cắt Oy tại B(0; b) với a, b

;M x y
thì phương trình đường thẳng (d)
có dạng
( ) ( )
0 0
0x x y y
α β
− + − =
với điều kiện
2 2
0
α β
+ >
Đặc biệt: Nếu
( )
d Ox⊥
thì
0,
β
=
khi đó phương trình đường thẳng
( )
0
:d x x=
.
Nếu
( )
d Oy⊥
thì
0,

1 2
;a a a
r
thì (d) có hệ số góc
2
1
a
k
a
=
, với
1
0.a ≠
Ngược lại, nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có một VTCP là
( )
1;a k
r
 Nếu (d) có VTPT
( )
1 2
;n n n
r
thì (d) có hệ số góc
1
2
2
, 0
n
k n
n

và có hệ số góc k có dạng:
Đặc biệt: khi
( )
d Ox⊥
thì phương trình (d) có dạng:
0
x x=
.
Chuù yù:
 Khi sử dụng hệ số góc để viết phương trình một đường thẳng ta cần phải xét hai
trường hợp: đường thẳng đó vuông góc với Ox và đường thẳng đó không vuông
góc với Ox.
 Nếu phương trình đường thẳng
( ) ( ) ( )
0 0
: 0d x x y y
α β
− + − =
với
0
β
≠
sẽ trở thành:
( )
0 0
y y x x
α
β
− = − −
thì tỉ số

Cách 3: Lấy một điểm H có toạ độ phụ thuộc tham số trên đường (d), diễn
tả điều kiện
. 0
d
MH a =
uuuur uur
, suy ra toạ độ điểm H, từ đó tính toạ độ của điểm M’
Chuù yù:
i. Để tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng (d) ta tìm điểm H trong cách 1.
ii. Cách thứ 2, 3 giúp ta giải quyết được bài toán: Từ một điểm M cho trước kẻ đường
thẳng vuông góc với một đường thẳng (d) cho trước, cắt (d) tại H, kéo dài MH một
đoạn HM’ saocho MM’ = k.MH, xác định toạ độ điểm M’.
• Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua điểm M:
Cách 1: Lấy hai điểm N, K có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm toạ độ
hai điểm đối xứng N’ và K’ của chúng qua M, đường thẳng (d’) chính là
đường thẳng đi qua hai điểm N’ và K’.
Cách 2: Lấy điểm N có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm toạ độ điểm đối
xứng của N qua M, đường thẳng (d’) chính là đường thẳng qua N’ và song
song với (d).
Cách 3: Viết dạng phương trình đường thẳng (d’): ax + by + m = 0 song song
với (d):ax + by + c = 0, sau đó diễn tả điều kiện :
( )
( )
( )
( )
, ' ,d M d d M d=
để
tính m, suy ra kết quả.
• Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua đường thẳng
( )

2
+ C
2
= 0
Vị trí tương đối
của (d
1
) và (d
2
)
Kết luận theo tỉ số Kết luận theo định thức
Cắt nhau
1 1
2 2
A B
A B
≠
1 1
2 2
0
A B
D
A B
= ≠
.Khi đó toạ độ giao
điểm là:
x
y
D
x

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
2. Phương trình tham số của đường thẳng:
II. KHOẢNG CÁCH – GÓC:
9
Song song nhau
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= ≠
D = 0 và
( )
0 0
x y
D hay D
≠ ≠
Vuông góc nhau
1 2 1 2 1 2
. . 0n n A A B B
⊥ ⇔ + =
ur uur
Trùng nhau
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
= =
D = D
x
= D

x x y y
a a
− −
=
, với
1 2
, 0.a a ≠
• Từ phương trình tham số nếu ta sử dụng phương pháp cộng đại số để khử mất
tham số t thì ta được phương trình tổng quát.
• Ngược lại, từ phương trình tổng quát, ta chọn một điểm trên đường thẳng và chỉ
ra vector chỉ phương thì có thể lập được phương trình tham số của đường
thẳng đó.
• Từ phương trình chính tắc, ta nhân chéo hai vế và rút gọn thì được phương trình
tổng quát.
• Phương trình chính tắc:
{
( )
0 0
2
0 0
1 2 1
hsg k
x x y y
a
y y x x
a a a
− −
= ⇒ − = −
, ( hsg: hệ số góc)
• Có thể sử dụng hệ phương trình theo tham số của hai đường thẳng và tùy theo hệ

M M
M x y
và
( )
;
N N
N x y
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
10
( ) ( )
0
M M N N
Ax By C Ax By C+ + + + < ⇔
M và N nằm hai bên đường thẳng (d).
( ) ( )
0
M M N N
Ax By C Ax By C+ + + + > ⇔
M và N nằm cùng một bên đường thẳng (d).
Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng (d
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 và (d
2

,∆ ∆
Chú ý:i) Để phân biệt được phương trình phân giác của góc nhọn và góc tù ta có
nhiều cách thực hiện như:
• Xác định dấu của từng vùng mà hai đường thẳng chia mặt phẳng toạ độ, từ đó biết
dấu của các vùng chứa phân giác góc nhọn và góc tù, suy ra phương trình của chúng.
• Tính góc: Nếu
( )
1 1
2 2
cos ;
2 2
d hay
 
∆ > <
 ÷
 ÷
 
thì
( )
1
∆
là phân giác góc nhọn (hay tù)
của góc tạo bởi (d
1
) và (d
2
).
• Lấy một điểm N có toạ độ đặc biệt trên (d1), tính
( )
( )

1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= −
+ +
∗ Nếu
1 2
.n n
uruur
> 0 thì phương trình phân giác góc tù là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
=
+ +
ii) Để viết phương trình phân giác trong hay ngoài của một góc trong một tam
giác ta có thể thực hiện như sau:
• Lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC.
• Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này.
• Xét một trong hai kết quả, ví dụ như
( )
1
∆
:f(x;y) = A’x + B’y + C’ = 0. Tính

).f(x
C
;y
C
) > 0 thì B, C nằm một bên
( )
1
∆
nên
( )
1
∆
là phân giác ngoài.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
11
iii) Một cách khác để viết phương trình phân giác trong và ngoài của một tam
giác:
Tính toạ độ hai vector
, ,AB AC
uuur uuuur
từ đó tính tọa độ hai vector đơn vị của chúng
AB
AB
a
AB
=
uuur
uuur
uuur
và

( )
2
2 2
;n A B
r
thì
( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 1
cos ; cos ;
.
A A B B
d d n n
A B A B
+
= =
+ +
ur uur
.
Chú ý:
i) Để tính góc trong
µ
A
của
ABC
∆
ta dùng công thức

Giả sử
∆
không vuông góc với Ox, khi đó phương trình
( ) ( )
: 0
M M M M
y y k x x kx y kx y∆ − = − ⇔ − − − =
có VTPT
( )
; 1n k
∆
= −
uur
. Tính cosin góc của hai
đường thẳng
( )
∆
và (d), cho nó bằng
cos
α
, giải tìm k. Kết luận.
Chú ý: i) Ta có thể sử dụng phương trình
∆
dạng
( ) ( )
0 0
0x x y y
α β
− + − =
, với điều kiện

Phương trình BC vuông góc đường cao AH, qua B có dạng

4 3 0
4.2 3.( 1) 0
5
x y c
c
c
+ + =
⇔ + − + =
⇔ = −
Vậy BC:
4 3 5 0x y
+ − =
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

4 3 5 0
2 5 0
1
3
x y
x y
x
y
+ − =

•

+ − =


y y y
= − =


= − =

Vậy B’(4;3)
Vì
'
3
B C
y y= =
nên AC : y = 2
Điểm A là giao điểm cua đường cao AH và AC, nên A(-5;3)
Vậy phương trình đường thẳng AB

3 1 3
5 2 5
4 7 1 0
y
x
x y
− − −
=
+ +
⇔ + − =
13
Phần 1: Các ví dụ
Ví dụ 1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết nếu B (2;-1),
đường cao và phân giác trong qua hai đỉnh A, C lần lượt là 3x – 4y + 27 = 0 ;


Mà B
∈
AB và C
∈
AC nên B(
1 7
;
4 4
), C(
9 1
;
4 4
−
)
Giải
Gọi B (b;3) và C (c; 0). Ta có
2 2
2 2
2 2
( 1) 4
( 1) 1
( ) 9
AB b
AC c
BC c b

= − +

= − +

3 3
B C
B C
+ +
•
− +
•
14
Ví dụ 2: Trên mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC với một cạnh có trung
điểm là M(-1;1), còn hai cạnh kia có phương trình là x + y – 2 = 0,
2x + 6y + 3 = 0
Ví dụ 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A (1;1). Hãy tìm diểm B trên y = 3
và C trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Giải
1. Dễ thấy A, B, C nằm trên
∆
.
Ta có

1
( ; 1)
2
3
( ;3)
2
1
3
CA
CB

y
C
=

− = −


⇔


− = −


= −

⇔

= −

⇔ − −
uuur uuur
2. Goi M(x ; y)
∈

∆
là điểm cần tìm, nên y = 2x + 1

2 2
( 1; 6)
( 3; 4)

EM FM
+
uuuur uuuur
có độ dài nhỏ nhất nhỏ
nhất.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Dấu “=” xảy ra khi x =
3
5
, y =
1
5
Vậy M (
3
5
;
1
5
)
Giải
a)
1 2
: 2 0; : 2 3 0x y x y∆ + − = ∆ + − =
số giao điểm của
21
∆∆ và
chính là số nghiệm của hệ phương trình:




∆
ta được
2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0
⇔
10 – 8t + 8t = 0  10 = 0 (vô lí)  hai đường
thẳng này không có điểm chung.
Vậy hai đường thẳng
21
∆∆
và
song song với nhau.
c)



−=
+−=
∆=−+∆
ty
tx
yx
46
56
:012108:
21
Đường thẳng
2
∆
có vtcp là
)4;5( −=u




+=
−=
∆=−+∆
ty
tx
yx
22
41
:01042:
21
c)



−=
−−=
∆=−+∆
ty
tx
yx
46
56
:012108:
21
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán



với a
1
= 4 ; b
1
= -2 ; a
2
= 1 ; b
2
= -3
Vậy
( )
( )
0
21
2222
21
45;
2
1
20
10
10.20
10
10.20
|10|
)3(1.)2(4
|)3).(2(1.4|
;
=∆∆⇒
====

∆
là
)4;2(
2
=
∆
n
r
Đường thẳng
1
∆
có vtpt là
)4;2(
1
=
∆
n
r
.
Vậy

( )
( )
0
21
2222
21
0;
1
20

2
1
2
1
2121
21
==
++
+
=
++
+
=






baba
bbaa
ddCos
Vậy góc giữa d
1
và d
2
= 45
o
17
Ví dụ 6: Xác định góc giữa hai đường thẳng

∆=−−∆
ty
tx
yx
22
21
:01022:
21
Đường thẳng
2
∆
có vtcp là
)2;2(
2
−=
∆
u
r
vì vậy vtpt của
2
∆
là
)2;2(
2
=
∆
n
r
Đường thẳng
1

Vậy hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.
b)
0462:53:
21
=−+∆+=∆
xyxy
Đường thẳng
2
∆
: 2y +6x – 4 = 0  y = -3x + 2.

2
∆
có hệ số góc k
2
= -3
Đường thẳng
1
∆
có hệ số góc k
1
= 3.  k
1
.k
2
= 3.(-3)= 0 
21
∆∆
và
vuông


+=
−=
∆=−−∆
ty
tx
yx
22
21
:01022:
21
b)
0462:53:
21
=−+∆+=∆
xyxy
Ví dụ 8: Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng
như sau:
a) A(3 ; 5) và
∆
: 4x + 3y + 1 = 0
b) B(1 ; 2) và
'∆
: 3x – 4y + 1 = 0
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Giải
a) A(4 ; -2) và đường thẳng d:




===
+
−−+
=
dAd
b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’:



=
−=
ty
tx
3
1
Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là
)3;1(−=
d
u
r
vì
vậy vtpt của d là
)1;3(
=
d
n
r
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0
 - x + 3y +1 = 0
Ta có:

−=
ty
tx
3
1
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-2;-1) và C(2;-2).
a) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và AC.
b) Viết phương trình tham số của đường cao CE, trung tuyến BM và đường
trung trực của cạnh BC.
Bài 2. Cho điểm A(-1;1) và đường thẳng d:
a) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua A.
b) Tìm trên d điểm C và trên trục hoành điểm D sao cho A là trung điểm của
CD.
Bài 3. Cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Dựng hình chữ
nhật ABCD sao cho B, C thuộc đường thẳng d, C có hoành độ âm và
. Tìm tọa độ các điểm B, C, D.
Bài 4. Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), đường phân giác CE: x + 2y = 0
và đường cao BD:

Tìm tọa độ điểm B và C.
Bài 5. Cho điểm M(1;3). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt tia Ox
tại A(a,0) và tia Oy tại B(0,b) (a, b > 0) sao cho OA + OB là nhỏ nhất.
Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (D):xcosa + ysina + 2cosa + 1=
1. Chứng minh rằng khi a thay đổi (D) luôn tiếp xúc với một đường tròn
cố định
2. Cho I(-2;1). Dựng IH vuông góc với (D) ( H nằm trên D ) và kéo dài
IH một đoạn HN = 2IH. Tính toạ độ của N theo a.
20
Phần 2: Bài tập vận dụng




+=
=
∆
ty
tx
ty
tx
23
5
:
5
2
10
1
:
21
Bài 8: Xác định góc giữa hai đường thẳng sau
a)
1 2
: 2 5 0; :3 0x y x y∆ − + = ∆ − =
b)
1 2
: 2 4 0; :2 6 0x y x y∆ + + = ∆ − + =
c)
1 2
: 4 2 5 0; : 3 1 0x y x y∆ − + = ∆ − + =
Bài 9: Các cặp đường thẳng sau có vuông góc với nhau không?

.
+
( )
∩ =
1 2
d d 0 0;0
+
( )
−
= =
1 2
3. 3 1
1
cos d ;d
2.2 2
·
⇒ =
0
AOC 60
(∆AOC vuông tại A).
⇒ = = =AC 2R ; AB R ; BC R 3
;
=
2R
OA
3
.
Theo gt:
= ⇒ = ⇔ = ⇒ =
ABC


3
3 1
1
qua A ; 1
(d ):
3
(d ) (d )

⇒ − − =
3
4
(d ):x 3y 0
3
.
+
 
−
∈
 ÷
 ÷
 
3
3t 4
T t; d
3
+
 
−
= + = ⇔ + =

 
−
= ⇒ >

 ÷
 ÷

 
⇔ − − = ⇒

 
− − −

= ⇒
 ÷

 ÷
 

1 2
2
2
5 3 5 3 1
t I ; loại vì d I,d 1
6 6 2
12t 8 3t 5 0
3 3 3
t I ; (nhận)
6 6 2
Vậy

− −

∈ ⇒

− −


B b ; b 4
B,C BC
C(c ; c 4)
+
( )
AB b 6; b 10= − − −
uuur
;
( )
EC c 1; c 1= − − −
uuur
.
Ta có:


=



uuur uuur
AB.EC 0
I là trung điểm BC
( ) ( ) ( ) ( )

.
Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C
của tam giác đã cho.
d
H
M
I
B
C
A
E
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng tại A, có đỉnh C(-
4;1), phân giác trong của góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình
đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hồnh độ
dương.
(-4;1)
x + y - 5 = 0
B
A
C
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán
Giải

Gọi AC là (d).
Nếu (d) vuông góc với Ox.
Thì (d): x = x
c
.
Do đó: x = - 4 (loại)
Nếu (d) không vuông góc với Ox.

22
=−+−−=⇒
⇒
=⇒=⇔
+=+−⇔
AC
A
ydk
kkk
Mặt khác:

6
48.
24
2
1
=⇒
=⇔
==
AB
ABAC
ACABS
ABC
Gọi B(x;y)
Ta có AB
2
= 36
( ) ( )
1928
3614