ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Soạn: Lưu Hải Vĩnh – GV Toán Trường THPT NG
I/ Lý thuyết
1/Tọa độ: Hệ tọa độ Oxy hay (O,
,i j
r r
)
* Tọa độ của điểm; véc tơ: M(x;y)
( ; ) . .OM x y OM x i y j⇔ = ⇔ = +
uuuur uuuur r r
* Độ dài của một véc tơ; đoạn thẳng:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
A B A B B A B A
AB AB x x y y x x y y= = − + − = − + −
uuur
* Hai véc tơ bằng nhau:
1 2
1 1 2 2
1 2
( ; ) ( ; )
x x
a x y b x y
y y
=

= ⇔

=

r r

c a b
a b
x x y y
+ + = + + + − = − −
+ = + = +
=

+ ≠ ⇔ ∃ ∈

=

+ ⊥ ⇔ + =
+
+ = =
+ +
r r r r
r r r
r r r r
¡
r r
r r
r r
r r
* Các công thức liên quan đến tọa độ điểm:
+/ M là trung điểm AB
2
0
2
A B
M

.MA k MB⇔ =
uuur uuur
.
1
.
1
A B
M
A B
M
x k x
x
k
y k y
y
k
−

=


−
⇔

−

=

−


+ +

=


uuur uuur uuuur r
(hay với mọi điểm O;
1
( )
3
OM OA OB OC= + +
uuuur uuur uuur uuur
)
* Một số tính chất của tam giác ABC:
+/ Tam giác ABC vuông tại C
2 2 2
. 0 (hay )CACB CA CB AB⇔ = ⇔ + = ⇔
uuur uuur
+/ Tam giác ABC cân tại B
BA BC⇔ = ⇔
uuur uuur
+/ Tam giác ABC vuông cân tại A
. 0AB AC
AB AC

=

⇔

=

2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
ax+by
Do os( ; ) 1 1 ax+by .
.
(ax+by) ( ).( )
c u v a b x y
a b x y
a b x y
≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ + +
+ +
⇒ ≤ + +
r r
Dấu bằng xảy ra
os(u; ) 1c v = ±
r r

;u v⇔
r r
cùng phương
ax=by⇔
3/ Đường thẳng
a/ Đường thẳng đi qua M
0
(x
0
;y
0
) và nhận véc tơ

làm véc tơ chỉ phương có
phương trình chính tắc là :
0 0
x x y y
a b
− −
=
.
c/ Đường thẳng đi qua M
0
(x
0
;y
0
) và có hệ số góc k ; phương trình là : y = k(x-x
0
) + y
0
d/ Đường thẳng đi qua M
0
(x
0
;y
0
) và nhận véc tơ
( ; ) ( ; 0)n a b a b ≠
r
làm véc tơ pháp tuyến có
phương trình tổng quát là : a(x-x
0

≠


≠

: Phương trình là
1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
− −
=
− −
f/ Chú ý :
• Nếu
2 2
( ; ) ( 0)u a b a b+ ≠
r
là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì k.
( ; ) 0u ka kb k= ∀ ≠
r
cũng là một
véc tơ chỉ phương của (d).
• Nếu
2 2
( ; ) ( 0)n a b a b+ ≠
r
là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì k.
( ; ) 0n ka kb k= ∀ ≠
r

uur uur
uur uur
(có thể tính theo véc tơ chỉ phương)
5/ Khoảng cách từ điểm M đến (d) : ax + by +c = 0

M
2 2
ax
( ;( ))
M
by c
d M d
a b
+ +
=
+
6/ Đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng
Cho (d
1
) : a
1
x + b
1
y +c
1
= 0 và (d
2
) : a
2
x + b

∆
là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
∆
. Viết phương trình
∆
biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
Bài 4: D-2009
• Câu VIa: Cho tam giác ABC; M(2;0) là trung điểm của AB. Đường trung tuyến và đường
cao đi qua A lần lượt có phương trình là: 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0. Viết phương trình AC.
• Câu VIb: Cho đường tròn (C): (x-1)
2
+y
2
=1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M
thuộc (C) sao cho
·
0
30IMO =
.
Bài 5 : B-2009
• Câu VIb: Cho tam giác ABC cân tại A(-1;4). Các đỉnh B;C thuộc
∆
: x-y-4=0. Xác định tọa
độ B ; C biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Bài 6: A-2009
• Câu VIa: Cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Điểm
M(1;5) thuộc AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc
∆
: x+y-5=0. Viết phương trình AB.
• Câu VIb: Cho đường tròn (C): x

) sao cho tam giác
ABC vuông cân tại A.
Bài 10: B-2006
Cho đường tròn (C): x
2
+y
2
-2x-6y+6 =0 và M(-3 ;1). Gọi T
1
; T
2
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến
kẻ từ M đến (C). Viết phương trình T
1
T
2
.
Bài 11: A-2006
Cho (d
1
) : x+y+3=0 ; (d
2
) : x-y-4=0 ; (d
3
) : x-2y=0.
Tìm tọa độ M thuộc (d
3
) sao cho khoảng cách từ M đến d
1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến d

2
3
;0) là trọng tâm
tam giác ABC. Tìm tọa độ A;B;C.
Bài 17: B-2002
Trong Oxy; cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0); đường thẳng AB có pt: x-2y+2 = 0 và AB
=2AD. Tìm tọa độ A; B; C; D biết hoành độ A âm.
Bài 18: 2002
Trong Oxy; cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng BC có phương trình:
3 3 0x y− − =
; A
và B thuộc Ox. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác.
Bài 19: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-5;6); B(-4;-1); C(4;3).
a/ Tìm toạ độ D để ABCD là hình bình hành.
b/ Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 20: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(0;2); B(-2;-2); C(4;-2). H là chân đường cao hạ từ B; M
và N lần lượt là trung điểm AB và BC. Lập phương trình đường tròn qua H; M; N.
Bài 21: Trong Oxy; cho đường tròn (C):
2 2
( 2) ( 3) 2x y− + − =
; đường thẳng (d): x-y-2=0.
Tìm M thuộc (C) để khoảng cách từ M đến (d):
a/ max? b/ min?
Bài 22: Trong Oxy; cho tam giác ABC; C(-2;3). Đường cao kẻ từ A có phương trình: 3x-2y-25=0;
đường phân giác trong góc B có phương trình: x-y=0. Lập phương trình AC?
Bài 23: Trong Oxy; cho hình vuông ABCD; CD có phương trình: 4x-3y+4=0; M(2;3) thộc BC;
N(1;1) thuộc AB. Viết phương trình các cạnh còn lại.
Bài 24: Trong Oxy; cho parabol (P):
2

); C thuộc (d
2
)
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0).
Bài 32: Llập phương trình đường thẳng qua M(
5
;2
2
); cắt (d
1
): x-2y=0 và cắt (d
2
): 2x-y=0 lần lượt
tại A và B sao cho: M là trung điểm AB.
Bài 33: Trong Oxy; cho đường thẳng (d): 2x-y-5=0 và A(1;2); B(4;1). Tìm M thuộc (d) sao cho
MA MB−
max.
Bài 34: Trong Oxy; cho hình vuông ABCD; CD có phương trình: 4x-3y+4=0; M(2;3) thuộc BC;
N(1;1) thuộc AB. Lập phương trình AD.
Bài 35: Trong Oxy; lập phương trình (d
1
); (d
2
) lần lượt đi qua A(4;0); B(0;5) và nhận (d): 2x-2y-
1=0 là phân giác.
Bài 36: Cho tam giác ABC cân tại A; đường thẳng AB: 2x-y+5=0; đường thẳng AC:3x+6y-1=0;
M(2;-1) thuộc BC. Lập phương trình cạnh BC.
Bài 37: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-1;2); B(2;0); C(-3;1).
a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b/ Tìm M thuộc BC sao cho

cho ABPC là hình thang.
Bài 43: Cho tam giác ABC; A(-2;3); trực tâm H trùng với trung điểm của đường cao AK. Đường
cao BM có hệ số góc bằng 2. Tìm tọa độ B; C.
Bài 44: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1); AB: 4x+y+15=0; AC: 2x+5y+3=0. Tìm trên
đường cao AH của tam giác điểm M sao cho tam giác BMC vuông tại M.
Bài 45: Cho A(1;0); B(3;-1); (d):x-2y-1=0. Tìm C thuộc (d) sao cho
6
ABC
S
∆
=
.
Bài 46: Cho tam giác ABC; cạnh AB: y=2x; cạnh AC: y=
1 1
4 4
x− +
; trọng tâm G(
8 7
;
3 3
). Tính diện
tích tam giác ABC.
Bài 47: Tìm toạ độ điểm M trên (d): x-2y-2=0 sao cho
2 2
2MA MB+
nhỏ nhất; A(0;1); B(3;4).
Bài 48: Cho A(2;-1); B(1;-2); trọng tâm G thuộc (d):x+y-2=0. Tìm C biết diện tích tam giác ABC
bằng 3/2.
Bài 49: Tìm M nằm phía trên Ox sao cho góc MAB=30
0