PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
A. Kiến thức cơ bản:
1- Đường thẳng đi qua điểm M(x
0
;y
0
) và nhận véctơ
u
r
(a;b) làm véc tơ chỉ phương có phương trình
tham số:
0
0
x x at
y y bt
= +


= +

và phương trình chính tắc
0 0
x x y y
a b
− −
=
2 - PTTQ của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0
Đường thẳng qua M(x
0
;y

lần lượt có VTCP là
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
u a ;b ,u a ;b= =
uur uur
. Khi đó ta có:
·
(
)
( )
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
u .u
a a b b
cos d ,d cos u ,u
u . u
a b . a b
+
= = =
+ +
uur uur
uur uur
uur uur
B. Các ví dụ
Ví dụ 1 : Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc trong các trường hợp sau
a. Đi qua điểm A( -5;3) và B(-3;4)

y t
= − +


= +

và điểm A( 1;2)
a. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên
∆
b. Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua
∆
Ví dụ 5. Cho đường thẳng
∆
:
2 2
3
x t
y t
= +


= +

và điểm A(0;2)
a. Tìm trên
∆
điểm M cách A một khoảng bằng
20
b. Tìm trên
∆

a. Viết phương trình đường phân giác kẻ từ A
b. Xác định tọa độ B, C
Ví dụ 11. Cho điểm P(2;2) và hai đường thẳng lần lượt có phương trình
d
1
2x – y + 1 = 0 và d
2
: x + 3y + 2 = 0
a. Lập phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với d
1
góc 45
0
b. Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt d
1
tại A và d
2
tại B sao cho M là trung điểm của đoạn
AB.
Ví dụ 12. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết tọa độ một đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có
phương trình 7x – y + 8 = 0
Ví dụ 13. Cho tam giác ABC đều đỉnh A(1; 2), cạnh BC có phương trình x – 2y + 5 = 0. Xác định tọa độ B, C
BÀI TẬP
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Lập phương trình TQ và TS của đường thẳng đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết:
a,
( ) ( )
− =

A 1;1 , B 2;1−
b,
( ) ( )
A 4;2 , B 1; 2− −
c,
( ) ( )
A 5;0 , B 1;1−
Bài 4: Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB biết:
a,
( ) ( )
A 1;1 , B 3;1−
b,
( ) ( )
A 3;4 , B 1; 6−
c,
( ) ( )
−A 4;1 , B 1;4
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) biết:
a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2
c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với hướng dương trục Ox góc 45
0
.
d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với hướng dương trục Ox góc 60
0
.
Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phương trình tổng quát:
a, 2x – 3y = 0; b, x + 2y – 1 = 0 c, 5x – 2y + 3 = 0
Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phương trình tham số:
a,
=

1
) và (d
2
) có phương trình là
( ) ( )
1 2
d : x y 2 0; d :9x 3y 4 0+ − = − + =
Bài 2: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt
là (d
1
): x + 2y – 13 = 0 và (d
2
): 7x + 5y – 49 = 0. Lập phương trình cạnh AC, BC và đường cao thứ 3
Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đường trung tuyến (d
1
) và (d
2
) có
phương trình là:
( ) ( )
1 2
d :3x 5y 12 0; d :3x 7y 14 0− − = − − =
Bài 4: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là:
( ) ( )
1 2
d :x y 2 0; d : x 2y 5 0+ − = + − =
và trực tâm H(2;3).
Lập phương trình cạnh thứ 3
2
Bài 5: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là

B c
(d ) : x y 0;(d ) : 2x y 8 0− = + − =
Bài 4: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC:
084 =−+ yx
và phương trình 2 đường phân giác trong
xuất phát từ B và C lần lượt là:
B C
(d ) : y 0;(d ) : 5x 3y 6 0= + − =
Bài 5: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); phương trình đường cao và đường phân giác trong xuất phát từ A lần
lượt là
1 2
(d ) : x 2;(d ) : 3x 8y 14 0= + − =
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau: a.
1 2
x 1 t x 2 u
(d ) : ;(d ) :
y 2 t y 5 u
= − = −
 
 
= + = +
 

Bài 2: Cho
0
22
≠+ ba
và 2 đt (d
1

a,
1 2
(d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : x 2y 2 0+ − = + + =
b,
1 2
(d ) : 3x 4y 14 0;(d ) : 2x 3y 1 0− − = + − =
Bài 2: Cho 2 đường thẳng
0364:)(;0132:)(
21
=−+−=+− yxdyxd
a, CMR (d
1
) // (d
2
) b, Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
Bài 3: Lập phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi (d
1
) và (d
2
) biết:
a,
1 2
(d ) : 2x 3y 1 0;(d ) : 3x 2y 2 0+ − = + + =
b,
1 2
x 1 5t

MA MB+
uuuur uuuur
nhỏ nhất
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a,
2 2
y x 4x 8 x 2x 2= + + + − +
b,
2 2
y x 2x 2 x 6x 10= + + + − +
3