RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Ở LỚP 10
Mục lục trình bày: Trang
Phần 1: Đặt vấn đề 2
Phần 2: Nội dung 3
A. Ôn tập lý thuyết 3
B. Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải 5
I. Bài toán về thiết lập phương trình đường thẳng 5
1. Viết phương trình đường thẳng khi xác định được một điểm
và chỉ phương hoặc pháp tuyến…………………………. 5
2. Viết phương trình đường thẳng theo hệ số góc …………… .9
II. Bài toán xác định điểm nhờ phương trình đường thẳng……. 10
1. Xác định điểm nhờ tương giao của hai đường thẳng……… 10
2. Xác định điểm nhờ công thức tính và véc tơ……… ……… 14
C. Một số bài toán để học sinh tự giải 17
D. Theo dõi đánh giá kết quả 18
Phần 3: Kết luận 19
Tài liệu tham khảo:
Các tài liệu sử dụng và tham khảo:
- Sách giáo khoa, sách bài tập lớp 10
- Ôn tập toán 10
- Bộ đề tuyển sinh vào các trường Đại học Cao đẳng
- Đề thi vào Các trường Đại học Cao đẳng của một số năm.
1
Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở lớp 10; ôn tập cho học sinh lớp 12
và ôn luyện thi vào Đại Học- Cao Đẳng, Ở phần Phương pháp toạ độ trong mặt
phẳng, tôi thấy nhiều em không làm được những bài tập hoặc chỉ làm được
những bài có tính chất áp dụng công thức đơn thuần. Những bài có tính chất
tổng hợp thì không phân tích được bài toán nên không tìm được hướng giải, mặc

và có kết quả học tập tốt hơn. Vì thế tôi nêu vấn đề này lên đây để cùng các bạn
đồng nghiệp bàn luận và tham khảo, bổ sung cho hoàn thiện hơn!
Phần 2: NỘI DUNG THỰC HIỆN
Kinh nghiệm này tôi đã thực hiện ngay sau khi học xong phương trình
đường thẳng trong mặt phẳng ở chương trình toán lớp 10 Trung học phổ thông
cụ thể:
- Ôn tập về viết các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.
- Hướng dẫn rèn luyện kỹ năng phân tích tìm cách giải thông qua các ví
dụ, các bài toán ở các dạng viết phương trình đường thẳng; xác định toạ độ
điểm…
- Một số bài toán chọn lọc để các em tự giải.
A. CỦNG CỐ LÝ THUYẾT
ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Sau khi học xong bài phương trình của đường thẳng thì cho các em ôn tập,
rèn luyện kỹ năng giải các loại bài toán có liên quan đến đường thẳng.
Cần củng cố lại các vấn đề sau:
3
- Phương trình của đường thẳng đi qua điểm
0 0
( ; )M x y
có véc tơ pháp
tuyến
( ; )n A B=
r
là:
0 0
( ) ( ) 0 0A x x B y y Ax By C− + − = ⇔ + + =
với
0 0
C Ax By= − −

=
với
0ab ≠
- Phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại A(a; 0) cắt trục Oy tại B(0; b)
có phương trình là:
1
x y
a b
+ =
;
0ab ≠
- Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm
0 0
( ; )M x y
có có hệ số góc k
có phương trình: y = k(x – x
0
) + y
0
. (
α
là góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox thì
k = tan
α
).
Trường hợp không tồn tại k (khi
0
90
α
=


+
= = =

+ +

Hay
·
' '
tan( ; ')
' '
AB A B
d d
AA BB
−
=
+
(góc định hướng
·
( ; ')d d
)
4
Cần lưu ý: véc tơ pháp tuyến
n
r
chỉ phương
u
r
của một đường thẳng thì
. 0u n =

Vẽ tam giác ABC, có đường cao AH và trung tuyến AM.
5
Tìm một điểm của đường thẳng AB? là đỉnh A xác định qua giao điểm
của d
1
và d
2
.
AB không song song hay vuông góc với đường thẳng nào.
Vì thế tìm véc tơ chỉ phương bằng việc tìm
thêm một điểm khác điểm A.
Từ giả thuyết : cạnh BC đi qua C vuông góc d
1

cắt d
2
tại M; vì d
2
là trung tuyến nên M là trung
điểm BC. B đối xứng C qua M. Ta chọn đỉnh B.
Trên cơ sở phân tích này các em trình bày lời giải :
Toạ độ đỉnh A:
5 4 1 0 1
(1; 1)
8 7 0 1
x y x
A
x y y
+ − = =
 

=


1
( ;3)
2
M⇒
M là trung điểm BC ta có:
2
3 1
( 2;1)
2 5 6
B C M
B
B C M B
x x x
x
B
y y y y
+ =
+ =


⇔ ⇒ −
 
+ = + =


( 3;2)AB = −
uuur

1
.
Điểm B trên d
1
và đối xứng với A qua M
Từ sự phân tích này mà có các bước giải:
- Cạnh AC đi qua A vuông góc d
1
Phương trình AC: 3(x- 1) +2(y- 4)= 0
3 2 11 0x y⇔ + − =
toạ độ C:
3 2 11 0 5
(5; 2)
5 6 13 0 2
x y x
C
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇔ −
 
+ − = = −
 
-
B thuộc d
1
2 12
( ; );
3
t

uuur
đường thẳng BC có pháp tuyến
(1;2)n =
r
Phương trình cạnh BC: (x + 3) + 2(y -2 ) = 0 hay x + 2y – 1 = 0.
Bài 3: Viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC biết đỉnh C(4; 3), phân giác
và trung tuyến kẻ từ B lần lượt nằm trên hai đường thẳng d
1
: x + 2y – 5 = 0;
d
2
: 4x + 3y – 10 = 0
Để giải bài toán trước hết coi như tam giác ABC đã xác định (nên vẽ hình)
Vẽ tam giác ABC, có phân giác BD và trung tuyến BM.
Phân tích bài toán ta thấy:
Đỉnh B là giao điểm của d
1
và d
2
d
2
d
1
B
C
A(1;4)
M
B'
7
d

+ − = =
 
- C’ đối xứng C qua d
1

1
'CC d⇒ ⊥
tại I ;
- phương trình CC’: 2(x - 4) – (y - 3 ) = 0
2 5 0x y⇔ − − =
toạ độ I:
2 5 0 3
(3;1)
2 5 0 1
x y x
I
x y y
− − = =
 
⇔ ⇒
 
+ − = =
 
vì I là trung điểm CC’
'(2; 1)C⇒ −
;
' (1; 3)BC = −
uuuur
là chỉ phương của IM
:3( 3) ( 1) 0IM x y⇒ − + − = ⇔

d
1
I
B
C
H
A
M
N
8
Vậy AH đi qua I và vuông góc BC
A là giao điểm của AH và d
2
.
Từ sự phân tích này mà hình thành cách giải.
Lời giải: Đường thẳng MN đi qua M song song BC
có phương trình: 3(x-1) – (y+3) = 0 hay 3x – y – 6 = 0
MN cắt AB tại N nên toạ độ N là nghiệm của hệ
13
3 6 0
13 3
7
( ; )
2 1 0 3
7 7
7
x
x y
N
x y

( ; )
2 1 0 33
7 7
7
x
x y
A
x y
y

=

+ + =


⇔ ⇒ −
 
+ − =


= −


66 12
( ; )
7 7
MA⇒ = −
uuur
cạnh AC có véc tơ chỉ phương là
7

a b a b
− − − −
= =
− −
;
3.2 ( 1).1
tan( ; ) 7
3.1 2.1
BC BA
− −
= =
−
3 7(3 ) 22 4 11 2a b a b a b a b⇒ − − = − ⇔ = ⇔ =
Vì a
2
+ b
2
> 0 => ta chọn a = 2 => b = 11
Khi đó phương trình AC: 2x + 11y + c = 0 . AC đi qua M => 2 – 33 + c = 0
=> c = 31. Vậy phương trình AC : 2x + 11y + 31 = 0
Qua đây ta thấy cách giải này ngắn gọn hơn.
Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm M(1;-3), A(5;1), B(-3;-2)
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cách đều A, B
Giải : Đường thẳng d đi qua M có dạng:
Trường hợp 1: d: x = 1 khi đó
( ; ) 5 1 4; ( ; ) 3 1 4d A d d B d= − = = − − =
thoả mãn
Trường hợp 2: d có hệ số góc k là y = k(x-1) + 3 = 0
3 0kx y k⇔ − − + =
Ta có:

d y x⇒ = − +
Vậy phương trình của d: x – 1 = 0; hoặc 3x + 8y – 21 = 0
II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG
Đây là loại bài toán gặp nhiều ở các đề thi Đại Học, Cao Đẳng. Phương pháp
giải loại này ngoài việc sử dụng kiến thức về đường thẳng còn sử dụng nhiều đến
10
các phép tính; các phép toán toạ độ của véc tơ. Vì thế đòi hỏi các em phải có kỹ
năng tốt về các phép tính, biết vận dụng linh hoạt tính chất hình học.
Việc rèn luyện kỹ năng được tiến hành thông qua giải các dạng bài tập sau:
1. Xác định điểm nhờ tương giao của hai đường thẳng
Để xác định điểm trong mặt phẳng ta đưa về tìm giao điểm của hai đường
thẳng xác định nào đó, các đường thẳng này hoặc đã cho trực tiếp trong đề bài
hoặc có thể lập được phương trình nhờ các điều kiện đã cho trước bằng các
phương pháp lập phương trình đường thẳng.
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác
ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d
1
: x - 4y- 2 = 0.
Cạnh BC song song với d
1
, phương trình đường cao BB’
d
2
: x + y + 3 = 0 ; M(1;1) là trung điểm cạnh AC.
Tìm toạ độ đỉnh A, B, C.
Trước khi giải bài toán ta phân tích trên cơ sở giả sử đã
có kết quả. Vẽ hình minh hoạ:
Vẽ tam giác ABC có A trên d
1

(x-1)-(y-1) = 0 hay x-y = 0.A trên d
1
nên toạ độ A là nghiệm của hệ:
2
0
2 2
3
( ; )
4 2 0 2
3 3
3
x
x y
A
x y
y

= −

− =


⇔ ⇒ − −
 
− − =


= −



1
:3x + 4y + 10 = 0;
d
2
: x – y + 1 = 0. Điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một
đoạn bằng
2
. Tính toạ độ các đỉnh của tam giác.
Nhận xét:
Để phân tích và tìm cách giải, theo đầu bài
vẽ tam giác ABC , đường cao BB’ phân giác AD
ta thấy:
- A là giao điểm của d
2
và AC; AC
⊥
d
1
, cần
tìm một điểm trênAC?
lấy M’ đối xứng M qua d
2
=> M’ trên AC
- A, M là hai điểm trên AB => AB xác định; AB cắt BB’ tại B.
- C trên AC và cách M một đoạn bằng
2
12
2
d
2

y

=

− + =


⇔ ⇒
 
+ − =


=


=> M’(1; 1)
- Cạnh AC đi qua M’ vuông góc d
1
=> có phương trình:
4(x-1) - 3(y-1) = 0
⇔
4x – 3y – 1 = 0 .
AC cắt d
2
tại A. Toạ độ A là nghiệm của hệ:
4 3 1 0 4
(4;5)
1 0 5
x y x
A


− + =


⇔ ⇒ − −
 
+ + =
= −



- Điểm C trên AC
⇒
2
2
4 1 4 1
( ; ); 2 2 2
3 3
t t
C t MC t
− −
 
= ⇔ + − =
 ÷
 
2
31
25 56 31 0 1;
25
t t t t⇔ − + = ⇔ = =

định, vẽ tam giác ABC có đường cao CH; đường cao
BK; phân giác AD của tam giác ABC. Việc tìm đỉnh
C là tìm giao của cạnh AC và CH
- Tìm AC: AC vuông góc d
2
ta cần tìm một điểm
nữa trên AC.
Ta có : H trên AB, H’ đối xứng H qua d
1
thì H’ thuộc AC.
Vậy AC đi qua H’ và vuông góc d
2
.
- Khi xác định được AC; AC cắt d
1
tại A, véc tơ
AH
xác định
- Tìm CH: CH đi qua H có pháp tuyến
AH
Qua phân tích này mà hình thành các bước giải:
Giải:
Gọi H’(a;b) đối xứng H qua d
1
⇒
H’
AC∈
;
1
' dHH ⊥



=+−
=+−
02
01343
yx
yx
)7;5(
7
5
A
y
x
⇒



=
=
⇔
CH đi qua H có pháp tuyến
)4;3(
2
1
=HA
nên có phương trình:
3(x+1)+4(y+1) = 0 hay 3x + 4y +7 = 0
14
D

01343
0743
y
x
yx
yx
Vậy
)
4
3
;
3
10
(−C
2. Xác định điểm dựa vào công thức tính và véc tơ
Ngoài việc xác định điểm dựa vào tương giao của hai đường thẳng, còn xác
định điểm dựa vào các công thức tính diện tích tam giác, tính khoảng cách, các
biểu thức toạ độ của véc tơ.Vì thế các em phải phân tích, nhận định dạng bài toán
để tìm lời giải. Thông qua các bài toán sau đây để rèn luyện kỹ năng giải bài cho
học sinh.
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, đỉnh A(1;1) , B(4;-3). Tìm đỉnh
C trên đường thẳng d: x – 2y – 1= 0 sao cho tam giác ABC có diện tích là 15.
Nhận xét: Điểm C cần tìm thuộc d và toạ độ C thoả mãn đẳng thức diện tích.
Vì thế cần lập được biểu thức diện tích tam giác?.
Lời giải: Từ giả thuyết
2 2
(3; 4); 3 ( 4) 5AB AB⇒ = − = + − =
uuur
Diện tích
1 5

= = ⇔ − = ⇒

= −

Khi t = 3 => C(7; 3). Khi
27 43 27
( ; )
11 11 11
t C= − ⇒ − −
Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, trọng tâm G(-2;0), cạnh
AB và AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d: 4x + y + 14 = 0;
d’: 2x + 5y – 2 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.
15
d'
d
B
C
A
M
G
Vẽ hình xác định bài toán:
- G là trọng tâm, AG là trung tuyến => M là
trung điểm BC.
2AG GM=
uuur uuuur
0GA GB GC⇔ + + =
uuur uuur uuur r
- Có toạ độ A => toạ độ M => toạ độ B,C
hoặc
3

=

Đỉnh B trên AB => B(t; -14 – 4t); Đỉnh C trên AC => C(1-5t’; t’)
⇒
5 '
3
4 1 6
2
' 0
2 14 4 ' 0
t
t
t
t
t t

= −
− + + − = −


⇔
 
=


− − + =

vậy B(-3; -2) ; C(1; 0)
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, độ dài cạnh AB =
5

G là trọng tâm của tam giác
2GC GM= −
uuur uuuur
1 2 1 2
;
1 2 1 2
G G
x y
x y
− + − +
⇒ = =
+ +
vậy
2 1 2 1
( ; )
3 3
x y
G
− −
vì G trên d’
2 1 2 1
2 0 8 0
3 3
x y
x y
− −
⇒ + − = ⇔ + − =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
2 3 0 5

(4; ); (6; ) (4; ); (6; )
2 2 2 2
A B hay B A− − − −
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình cạnh AB của tam giác ABC biết
đỉnh C(-1;-3), đường trung trực của cạnh BC là : 3x + 2y - 4 = 0 và G(4; -2) là
trọng tâm của tam giác. Đáp số: AB: 5x + 3y – 28 = 0
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB = BC, đỉnh A(-2;4); điểm
I(1;3) nằm trên cạnh AC; G(
2 4
;
3 3
−
) là trọng tâm của tam giác. Viết phương trình
cạnh AB, AC. Đáp số: AB: 3x - y + 10 = 0;AC:x + 3y - 10= 0
Bài 3: (Thi ĐHKA-2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường
thẳng:
1 2 3
: 3 0; : 4 0; : 2 0d x y d x y d x y+ + = − − = − =
. Tìm toạ độ điểm M nằm
trên đường thẳng
3
d
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d
1
bằng hai lần
khoảng cách từ M đến đường thẳng d
2
. Đáp số: M(-22; -11) hoặc M(2; 1)
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm

∆
tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
D. THEO DÕI ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ SAU THỰC HIỆN
Qua nhiều năm thực hiện bồi dưỡng chuyên đề này cho học sinh tôi thấy kết
quả thu được ở những lớp được học cao hơn nhiều so với những lớp để đến cuối
năm lớp 12 mới học. Kết quả cụ thể cho thấy ở các bài thi học kì tập trung; trong
18
bài có câu về phương trình của đường thẳng, bài toán liên quan đến mặt phẳng
tọa độ thì chỉ có các em ở lớp thực hiện chuyên đề mới làm được, còn các học
sinh khác thì hoặc bỏ không làm hoặc làm sai, và điểm chung toàn bài luôn thấp
hơn, điểm bình quân về môn toán cũng thấp hơn.
Bảng theo dõi kết quả môn toán ở các lớp qua một số năm mà bản thân tôi
thực hiện, cũng như cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn cùng thực hiện:
Năm học
Những lớp thực hiện Những lớp không thực hiện
Lớp Loại khá,giỏi % Lớp Loại khá,giỏi %
2006-2009
12A1 34/47 72% 12A7 11/44 25%
12A2 38/54 70% 12A5 9/41 22%
2007-2010
12B1 43/51 84% 12B5 13/44 30%
12B2 32/47 68% 12B7 14/45 31%
2008-2011
12C3 30/49 61% 12C7 10/42 24%
12C8 28/45 62% 12C9 10/40 25%
2009-2011 10A1 30/46 65% 10A7 12/44 27%
Phần 3: KẾT LUẬN
Vấn đề ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải bài tập toán
là một vấn đề rất cần thiết cho các em trong ôn tập hình ở lớp 10, cũng như ôn
tập để thi vào các trường Đại học, Cao đẳng. Để các em làm tốt bài tập loại này,