1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn ñề tài
1.1. Dạy học (DH) môn toán có nhiệm vụ trang bị hệ thống kiến thức, rèn
luyện các kĩ năng toán học và kĩ năng ứng dụng kiến thức toán vào thực tiễn, phát
triển tư duy và góp phần giáo dục thế giới quan và các phẩm chất cần thiết cho học
sinh (HS). Để thực hiện các nhiệm vụ ñó cần làm cho HS có ý thức học tập tích cực,
chủ ñộng, sáng tạo. Giáo viên (GV) cần phải cho HS học tập trong hoạt ñộng (HĐ),
thông qua HĐ và bằng HĐ. GV phải tạo ra môi trường ñể HS kiến tạo tri thức, tham
gia phát hiện và giải quyết vấn ñề. Việc tổ chức cho HS thực hiện các HĐ trong quá
trình nhận thức là ñiều kiện cần thiết ñể DH có hiệu quả.
1.2. Bài tập toán học là một công cụ cần thiết giúp HS thực hiện các HĐ toán
học trong và ngoài giờ lên lớp. Đã có nhiều công trình nghiên cứu các chức năng
của bài tập toán. Trong các chức năng ñược nói ñến, chức năng DH, chức năng phát
triển, chức năng kiểm tra và chức năng giáo dục ñược khai thác nhiều trong DH.
Thực chất HĐ giải toán là HĐ trung tâm trong học tập môn toán của HS. Thông qua
số lượng và chất lượng hoàn thành công việc giải toán về căn bản có thể ñánh giá
ñược trình ñộ nhận thức môn toán của người học. Chính vì lẽ ñó, bài tập toán tham
gia vào mọi khâu của quá trình DH môn toán.
1.3. Luật giáo dục Việt Nam ñã quy ñịnh “Phương pháp giáo dục phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ ñộng, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng
lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Những quy ñịnh này phản ánh
nhu cầu ñổi mới phương pháp (PP) giáo dục. Định hướng ñổi mới phương pháp dạy
học (PPDH) là PPDH cần hướng vào tổ chức cho người học học tập trong HĐ và
bằng HĐ tự giác, tích cực, sáng tạo, từ ñó người học lĩnh hội ñược tri thức, kĩ năng
và cả cách thức tiến hành những HĐ tương tự và ñạt ñược mục tiêu DH.
Hiện nay Bộ Giáo dục và Đào tạo ñang từng bước triển khai ñổi mới PPDH
theo hướng: Tổ chức cho HS chủ ñộng tham gia vào HĐ nhận thức, GV sẽ là người
tổ chức, trợ giúp, là trọng tài ñiều khiển HS HĐ. Khác với trước ñây chủ yếu GV
HĐ và HĐ DH mang tính chất truyền thụ một chiều, GV làm thay cho HS.
2
yêu cầu của lời giải bài tập toán.
− Đưa ra các biện pháp sư phạm ñể vận dụng quan ñiểm HĐ.
− Xây dựng hệ thống ví dụ cho việc vận dụng quan ñiểm HĐ khi DH chương
“Phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng”.
− Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm giả thuyết khoa học,
tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp ñề ra.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu: HĐ dạy và học thông qua chương “Phương pháp tọa
ñộ trong mặt phẳng – Hình học 10 nâng cao”
4.2. Phạm vi nghiên cứu: Các bài tập chương “Phương pháp tọa ñộ trong mặt
phẳng”.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận
− Nghiên cứu tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lí học và lí luận DH
môn toán, PPDH môn toán.
− Nghiên cứu các công trình, sách và các tạp chí về quan ñiểm HĐ và HĐ
hóa người học.
− Phương pháp thống kê toán học.
5.2. Khảo sát thực tiễn
− Tham khảo ý kiến của các chuyên gia, các GV dạy toán ở trường THPT.
− Dự giờ, quan sát HĐ dạy và học của GV và HS.
− Tiến hành thực nghiệm sư phạm ñối với lớp thực nghiệm và lớp ñối chứng.
6. Giả thuyết khoa học
Trong DH chương “Phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng” nếu vận dụng
quan ñiểm HĐ thì sẽ phát huy ñược tính tích cực, tự giác, chủ ñộng, sáng tạo của
HS, từ ñó chất lượng DH sẽ ñược nâng cao.
4
7. Những ñóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lí luận
của mối liên hệ tích cực, chủ ñộng của con người ñối với thực tiễn xum quanh. Còn
ñối với từng khía cạnh thực tiễn, HĐ là quá trình diễn ra một loạt các hành ñộng có
liên quan chặt chẻ với nhau tác ñộng vào ñối tượng nhằm ñạt ñược mục ñích nhất
ñịnh trong ñời sống xã hội. HĐ của con người luôn xuất phát từ những ñộng cơ nhất
ñịnh do sự thôi thúc của nhu cầu, hứng thú, tình cảm, ý thức trách nhiệm cả ñộng
cơ và mục ñích cùng thúc ñẩy con người tích cực và kiên trì khắc phục khó khăn ñể
ñạt ñược kết quả mong muốn. Tuy nhiên, với cùng một mục ñích HĐ như nhau có
thể có những ñộng cơ khác nhau.
Ngoài các yếu tố mục ñích và ñộng cơ nêu trên, HĐ còn có ñặc trưng là phải
biết sử dụng các phương tiện nhất ñịnh mới thực hiện ñược như: công cụ và cách sử
dụng công cụ, phương tiện ngôn ngữ và các tri thức chứa ñựng trong ngôn ngữ,
cách thức làm việc bằng trí óc và chân tay. Nghĩa là HĐ ñòi hỏi phải có kĩ năng và
kĩ xảo sử dụng các phương tiện.
6
Hình thức cơ bản trong HĐ của con người là lao ñộng nhằm tạo ra những giá
trị vật chất và tinh thần ñể thỏa mãn các nhu cầu của mỗi người và toàn xã hội. Trong
quá trình phát triển lịch sử, HĐ lao ñộng ñã phân hóa dưới hai hình thức là trí óc và
chân tay, nhưng vẫn luôn gắn bó chặt chẻ với nhau. Xã hội càng văn minh, càng phắt
triển thì thành phần trí tuệ trong HĐ của con người càng tăng và lấp dần khoảng cách
giữa HĐ trí tuệ và HĐ cơ bắp trong quá trình tạo ra các giá trị cho xã hội.
Để tham gia vào các HĐ, con người phải có những năng lực HĐ nhất ñịnh.
Năng lực này một phần phụ thuộc vào tố chất bẩm sinh của mỗi người, tuy nhiên,
nó chủ yếu phụ thuộc vào các ñiều kiện hoàn cảnh, cụ thể là phụ thuộc vào yếu tố
giáo dục.
Theo A. N. Leonchiepv (15, tr.81): HĐ là phương thức tồn tại của cuộc sống
chủ thể. Cuộc sống là “tổ hợp, hay nói một cách chính xác hơn là hệ thống những HĐ
thay thế nhau”.
1.1.2. Lí thuyết hoạt ñộng trong tâm lí học hiện ñại
Dựa trên quan ñiểm duy vật lịch sử về con người: “Trong tính hiện thực của
nó, bản chất con người là tổng hòa các mối quan hệ xã hội” (K.Mark). Mô hình lí
Nhưng trong khung cảnh phân tích HĐ về mặt tâm lí thì phân biệt rành mạch hai
thuật ngữ ấy là hoàn toàn cần thiết. Hành ñộng liên quan ñến mục ñích, còn thao
tác liên quan ñến ñiều kiện. Tuy vậy, thao tác vẫn không phải là “phần riêng lẻ”
của hành ñộng, giống như hành ñộng so với HĐ (15, tr.124).
Như vậy HĐ của con người có những thành tố ñặc thù là con người vươn
tới ñối tượng, chuyển sự vật, hiện tượng thành ñối tượng của HĐ, nhằm tạo ra
sản phẩm của HĐ, thực hiện mục ñích của con người. Các quá trình này vừa
chứa ñựng, vừa thực hiện ñộng cơ của con người với tinh thần là chủ thể của
HĐ. Để thực hiện ñộng cơ, chủ thể phải thực hiện sức căng cơ bắp, thần kinh,
năng lực, kinh nghiệm thực tiễn ñể thoả mãn ñộng cơ, gọi là HĐ. Quá trình
chiếm lĩnh từng mục ñích gọi là hành ñộng. Chủ thể chỉ có thể ñạt ñược mục
8
ñích bằng những ñiều kiện xác ñịnh. Mỗi ñiều kiện quy ñịnh một cách thức hành
ñộng gọi là thao tác.
HĐ luôn có tính hướng ñích và hành ñộng là quá trình thực hiện hóa mục
ñích, còn thao tác do ñiều kiện quy ñịnh. Do ñó sự khác nhau giữa mục ñích và
ñiều kiện quy ñịnh sự khác nhau giữa hành ñộng và thao tác. Nhưng sự khác
nhau ñó chỉ mang tính tương ñối, bỡi ñể ñạt ñược một mục ñích ta có thể dùng
các phương tiện khác nhau. Khi ñó hành ñộng chỉ thay ñổi về mặt kĩ thuật, tức là
cơ cấu thao tác chứ không hề thay ñổi về bản chất. Về mặt tâm lí, hành ñộng
sinh ra thao tác, nhưng thao tác không phải là phần riêng lẻ của hành ñộng. Sau
khi ñược hình thành, thao tác có khả năng tồn tại ñộc lập và có thể tham gia vào
nhiều hành ñộng khác.
HĐ có biểu hiện bề ngoài là hành vi, hai phạm trù này hỗ trợ cho nhau,
trong ñó, HĐ bao gồm cả hành vi lẫn tâm lí, ý thức. HĐ của con người tất yếu
dẫn ñến chổ nảy sinh ý thức và ý thức là thành tố thực sự trong sự vận ñộng của
HĐ. Vì vậy ý thức tâm lí của con người bao giờ cũng mang tính chất tích cực.
Hơn nữa, ñây là tính tích cực HĐ ñặc thù của con người, tức là nó mang tính
chất say mê, vì nó luôn gắn bó với việc thực hiện mục ñích của HĐ.
Như vậy thế giới tâm lí con người có thể ñược nghiên cứu ở ba cấp ñộ:
các PPDH thích hợp ñể tập luyện cho HS những HĐ tương ứng. Việc phân tích một
HĐ thành những HĐ thành phần cũng giúp GV tổ chức cho HS tiến hành những
HĐ ở mức ñộ vừa sức với HS.
HĐ thúc ñẩy sự phát triển là HĐ mà chủ thể thực hiện một cách tự giác và
tích cực. Vì vậy người dạy cần cố gắng gợi ñộng cơ ñể người học ý thức rõ vì sao
thực hiện HĐ này hay HĐ khác.
10
Việc thực hiện HĐ nhiều khi ñòi hỏi những tri thức nhất ñịnh, ñặc biệt là tri
thức PP. Những tri thức như thế có khi lại là kết quả của một quá trình HĐ. HS thực
hiện nhiều HĐ trong học tập sẽ tích lũy ñược nhiều tri thức PP.
Trong HĐ, kết quả ñạt ñược ở mức nào ñó có thể lại là tiền ñề ñể tập luyện
và ñạt ñược một kết quả cao hơn. Do ñó cần phân bậc HĐ theo những mức ñộ khác
nhau làm cơ sở cho việc chỉ ñạo quá trình DH.
Theo Nguyễn Bá Kim (13, tr.124), quan ñiểm HĐ trong PPDH có thể ñược
thực hiện ở các tư tưởng chủ ñạo sau ñây:
a. Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt ñộng và hoạt ñộng thành
phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học
Mỗi nội dung DH ñều liên quan ñến những HĐ nhất ñịnh, ñó chính là những
HĐ ñể người học có thể kiến tạo, ứng dụng hoặc cũng cố tri thức, rèn luyện kĩ năng
và hình thành thái ñộ. Với mỗi nội dung DH, GV cần cho HS thực hiện và tập luyện
các HĐ tương thích với nội dung ñó.
Ví dụ: Sau khi học cách dựng ñường vuông góc chung của hai ñường thẳng chéo
nhau trong không gian. GV ra bài toán sau sẽ tạo ñiều kiện cho HS thực hiện và tập
luyện các HĐ và HĐ thành phần tương thích với nội dung.
Cách dựng ñường vuông góc chung, có 2 tình huống:
Tình huống 1: Dựng mp(P) chứa ñường thẳng b và (P) vuông góc với ñường
thẳng a, gọi
( )
A a P
= ∩
d) SB và AC
GV có thể dùng PP ñàm thoại phát hiện giúp HS thực hiện và tập luyện
những HĐ và HĐ thành phần. GV có thể ñặt ra các câu hỏi như sau:
+ Câu b) rơi vào tình huống nào trong hai tình huống trên ? Hãy chọn ra một mặt
phẳng vuông góc với một trong hai ñường thẳng SC hoặc BD ? Hãy trình bày cách
dựng ñường vuông góc chung của SC và BD ?
+ Câu d) rơi vào tình huống nào trong hai tình huống trên? Hãy chọn ra một mặt
phẳng vuông góc với một trong hai ñường thẳng AC hoặc SB? Đã có mặt phẳng ñó
chưa? Hãy dựng mặt phẳng vuông góc với một trong hai ñường thẳng AC hoặc SB?
(Trong mp(ABCD) dựng
( )
Ax AC AC SAx
⊥ → ⊥
). Bước tiếp theo ta phải làm gì ?
Tìm hình chiếu của SB lên (SAx) ? Kẻ
, , // , //
BT Ax AJ ST JE AC EF AJ
⊥ ⊥
. Ta có EF
là ñoạn vuông góc chung của AC và SB.
Với cách tạo tình huống như vậy HS ñược tập luyện và thực hiện nhiều HĐ
thành phần nhằm chiếm lĩnh và cũng cố tri thức, từ ñó HS sẽ quen dần và biết tiến
hành các HĐ cũng như biết tự ñặt ra các câu hỏi khi giải quyết các bài toán mới.
b. Gợi ñộng cơ và hướng ñích cho các hoạt ñộng học tập
Để ñạt ñược mục ñích DH, ñiều cần thiết là HS phải học tập tự giác, tích cực,
chủ ñộng và sáng tạo. Muốn vậy ñòi hỏi HS phải có ý thức về những mục ñích ñặt
O
A
D
B
GV cũng phải chú ý nhấn mạnh yêu cầu của bài toán, tức là phải hướng ñích
cho HS, tập trung khai thác vào trọng tâm vấn ñề ñể ñạt ñược yêu cầu ñặt ra.
Tuy nhiên, việc gợi ñộng cơ không phải chỉ là cách phát biểu làm cho bài
toán trở nên hấp dẫn hơn mà nhờ GV biết cách khai thác, tạo ra nhiều vấn ñề mới có
liên quan cũng là cách gợi ñộng cơ tốt ñể kích thích HS hứng thú trong học tập.
Việc gợi ñộng cơ không phải chỉ diễn ra trong một thời gian ngắn ngủi mà
việc gợi ñộng cơ diễn ra trong cả quá trình học tập.
Chẳng hạn, ñể tạo ñộng cơ và gây hứng thú học tập cho HS trong khi DH bất
ñẳng thức Côsi, GV có thể ra tình huống sau:
Xuất phát từ bài toán: Chứng minh rằng
2 2
2 2
, , 0
a b a b
a b
b a b a
+ ≥ + ∀ >
Giải: Áp dụng bất ñẳng thức Côsi, ta có
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
1 2
2 2 2
1 2
a a
a b a b a b a b a b
+ ≥ +
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b.
Sau khi giải xong bài toán trên, GV có thể gợi ñộng cơ học tập cho HS bằng
cách nêu vấn ñề: “Từ cách giải bài toán ñã cho, hãy phân tích và tìm lời giải cho
các bài toán sau”:
Bài 1
: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1.1.
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
1.2.
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
13
1.3.
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
3 3 3 3
3 3 3 3
3
3
1 1 3
1 1 3 3 6
1 1 3
a a
b b
b b a b c a b c
c c b c a b c a
c c
a a
+ + ≥
+ + ≥ → + + ≥ + + −
+ + ≥
3 3 3
a b c a b c
+ + ≥ + +
2.2.
3 3 3
a b c a b c
+ + ≥ + +
2.3.
3 3 3 2 2 2
a b c a b c
+ + ≥ + +
2.4.
5 5 5 3 3 3
a b c a b c
+ + ≥ + +
2.5.
n n n
a b c a b c
+ + ≥ + +
2.6.
*
, ; ,
n n n m m m
a b c a b c n m m n N
+ + ≥ + + > ∈
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 3
a b c a b c a b c
→ + + ≥ + + + + + −
Mặt khác
2 2 2 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 0
a b c a b c a b c
+ + ≥ = → + + − ≥
Do ñó
3 3 3 2 2 2
a b c a b c
+ + ≥ + +
. Dấu “=” xẩy ra khi và chì khi a=b=c=1
Bài 3
: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
3.1.
8 8 8 2 2 2
a a
b c b c
+ + ≥ + +
3.2.
32 32 32 4 4 4
a a
b c b c
vào mục tiêu và tình hình cụ thể ñể lựa chọn cách thức, mức ñộ làm việc thích hợp
nhằm ñem lại kết quả DH cao nhất.
GV cần quan tâm cả những tri thức cần thiết và những tri thức ñạt ñược trong
quá trình HĐ. Những dạng khác nhau của tri thức là: Tri thức sự vật, tri thức PP, tri
thức chuẩn và tri thức giá trị.
Tri thức trong HĐ khi DH có các mức ñộ: DH tường minh tri thức PP ñược
phát biểu một cách tổng quát; Thông báo tri thức PP trong quá trình HĐ; Tập luyện
những HĐ ăn khớp với những tri thức PP.
15
HĐ “qui lạ về quen” là một HĐ phổ biến trong toán học. HĐ này tạo ñược
hứng thú trong quá trình DH vì nó dễ tiếp cận. Thông qua HĐ này GV có thể dẫn dắt
HS ñưa nhiều bài toán về dạng quen thuộc cũng như có thể sáng tạo ra nhiều bài toán
mới từ bài toán ñã biết.
Ví dụ
: Sau khi học ñịnh nghĩa và các tính chất của cấp số nhân: GV có thể ñưa ra
một ví dụ “qui lạ về quen”, sau ñó tạo ra các tình huống dẫn dắt HS tập luyện những
HĐ ăn khớp với những tri thức PP và hướng dẫn HS kiến tạo tri thức. Chẳng hạn:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
( )
1
1
2
:
3 3
, 1
n
n n
u
u
n
.
Đặt
, 1
n
n
u
v n
n
= ≥
, ta có
(
)
1
3
n n n
v v v
+
= →
là cấp số nhân. Do ñó
1 1 1
1
2.3 2 .3 , 1
n n n
n n
v v q u n n
− − −
= = → = ≥
Tương tự cách này GV có thể hướng dẫn cho HS sáng tạo ra ñược rất nhiều bài toán
mới: Chẳng hạn, tìm số hạng tổng quát
n
u u n u n u v n u v v
n
+ + +
= ⇔ + = = → =
+
Bài 2:
1
2 4
.
n n
n
u u
n
+
+
=
.
HD :
( )( ) ( ) ( )
1 1
1 1
2 4
2. 2. , 2
2 1 2 1 1
n n n n n
n n n n n
u u u u u
n
+ +
+ +
= + ⇔ = ⇔ = = → =
+ +
16
Bài 4:
1
2
5
.
2
n n
u u
n n
+
=
+
.
HD:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
2
5
. 2 5 !. 2!. 5. 1!. 1!. , 1!. 1!. 5
2
n n n n n n n n n n
u u n n u u n n u n n u v n n u v v
n n
+ + + +
2
5
1 !
n
n
u
v
n
= +
+
ta sẽ có bài toán: Tìm số hạng
tổng
quát
của dãy số
( )
( ) ( )
1
1
1
:
3 2 5 2 ! , 1
n
n n
u
u
u n u n n
+
d. Phân bậc hoạt ñộng làm căn cứ ñiều khiển quá trình dạy học
Một ñiều quan trọng trong DH là phải xác ñịnh ñược những mức ñộ, yêu cầu
thể hiện ở những HĐ mà HS phải ñạt ñược. Thuật ngữ “mức ñộ” hay “phân bậc” có
thể hiểu theo nghĩa “vĩ mô” vừa theo nghĩa “vi mô”. Theo nghĩa vĩ mô, ta nói tới mức
ñộ của một HĐ trong những giai ñoạn khác nhau của toàn bộ thời gian học ở THPT,
của một lớp học hay một cấp học nào ñó. Theo nghĩa vi mô, những mức ñộ HĐ ñược
hiểu là những mức ñộ khó khăn hay mức ñộ yêu cầu trong một khoảng thời gian
ngắn, trong một tiết học, trong khi giải quyết một vấn ñề hay giải một bài toán.
GV nên thường xuyên dựa vào sự phân bậc HĐ ñể tuần tự nâng cao yêu cầu
ñối với HS trong DH. Điều này phù hợp với lí thuyết của vưgôtxki về vùng phát
triển gần nhất. Theo lí thuyết này, những yêu cầu ñặt ra ñối với HS phải hướng vào
vùng phát triển gần nhất. Vùng này ñã ñược chuẩn bị do quá trình phát triển trước
ñó, nhưng HS còn chưa ñạt tới. Nhờ HĐ nhiều mặt, vùng phát triển gần nhất sẽ trở
thành vùng HĐ hiện tại. Quá trình cứ lặp lại và HS sẽ bước lên từng bậc cao hơn
trong quá trình HĐ và phát triển.
Sau ñây là một ví dụ khi dạy HS kĩ năng áp dụng bất ñẳng thức Côsi thông
qua hệ thống bài tập phân bậc từ ñơn giản ñến phức tạp (thực hiện trong một tiết
dạy). (17, tr.34)
Bài 1: CMR :
1 1
4
a b
a b
+ + ≥
, với mọi a, b dương (HD : Chỉ cần vận dụng trực
tiếp bất ñẳng thức Côsi cho 2 số dương).
Bài 2: CMR:
vế trái).
Bài 5: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. CMR :
3 3 3
7 7 7 6
a b b c c a
+ + + + + ≤
(HD: “chọn ñiểm rơi" hợp lí:
( ) ( )
3
7 8 8 3 7 .8.8
a b a b+ + + ≥ +
)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 và
1 1 1
4
x y z
+ + =
. CMR:
1 1 1
1
2 2 2
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
(HD: vận dụng sáng tạo công thức
1 1 1 1 1 1
quyết các vấn ñề phức tạp, GV nên phân chia bài toán ban ñầu thành các trường hợp
nhỏ, ñơn giản ñể ña số HS ñều có thể tham gia giải quyết, sau ñó tuần tự nâng cao
yêu cầu nhằm phát huy tính tích cực, khả năng khám phá của HS.
Những tư tưởng chủ ñạo này giúp thầy giáo ñiều khiển quá trình học tập của
HS. Muốn ñiều khiển phải ño những ñại lượng ra, so sánh với mẫu yêu cầu và khi cần
thiết phải có sự ñiều chỉnh. Trong DH, việc ño và so sánh này căn cứ vào những HĐ
của HS. Việc ñiều chỉnh ñược thực hiện nhờ tri thức, trong ñó có tri thức PP và dựa vào
sự phân bậc HĐ.
Những tư tưởng chủ ñạo này phân ranh giới rõ ràng với quan ñiểm thực dụng
phiến diện chỉ quan tâm ñến hành ñộng thụ ñộng, máy móc. Khác với quan ñiểm
ñó, ở ñây ta chú ý ñến mục tiêu, ñộng cơ, ñến tri thức PP, ñến trải nghiệm thành
19
công, nhờ ñó bảo ñảm ñược tính tự giác, tích cực, chủ ñộng, sáng tạo của người
học.
Những tư tưởng chủ ñạo nói trên cũng thể hiện tính toàn diện của mục tiêu
DH. Việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kĩ năng, hình thành một thái ñộ cũng
là nhằm giúp HS HĐ trong học tập cũng như trong ñời sống. Như vậy, những mục
tiêu thành phần ñược thống nhất trong HĐ, ñiều này thể hiện mối liên hệ hữu cơ
giữa chúng với nhau. Tri thức, kĩ năng, thái ñộ một mặt là ñiều kiện và mặt khác là
ñối tượng biến ñổi của HĐ. Hướng vào các tư tưởng chủ ñạo trên không hề làm
phiến diện mục tiêu DH, mà trái lại còn ñảm bảo tính toàn diện của mục tiêu ñó.
Những tư tưởng chủ ñạo trên hướng vào việc tập luyện cho HS những HĐ và
HĐ thành phần, gợi ñộng cơ HĐ, kiến tạo tri thức mà ñặc biệt là tri thức PP, phân
bậc HĐ như những thành tố cơ sở của PPDH.
Để ngắn gọn, ta có thể gọi các thành tố cơ sở của PPDH là:
− HĐ và HĐ thành phần;
− Động cơ HĐ;
− Tri thức trong HĐ;
− Phân bậc HĐ.
Chúng ñược gọi là các thành tố cơ sở của PPDH bởi vì dựa vào ñó, ta có thể
1
x
y
x
+
=
hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học
: lật ngược vấn ñề, xét tính giải ñược,
phân chia trường hợp,
Ví dụ 1
: Nếu tam giác ABC vuông tại A thì
2 2 2
BC AB AC
= +
. Ngược lại nếu tam
giác ABC có
2 2 2
BC AB AC
= +
thì nó có phải là tam giác vuông hay không?
Ví dụ 2
: Chứng minh rằng phương trình sau có duy nhất một nghiệm thực
0133
24613
=+−+− xxxx
,(1)
Bài toán này phát huy ñược khả năng phân tích khi HS biết phân chia ra các trường
hợp.
Ta có
(
)
0,01613)('
2
212
<∀>−−= xxxxxf
)(xf
→
ñồng biến trên
(
)
0;∞−
(
)
(
)
1lim;lim
0
=−∞=
→−∞→
xfxf
xx
.
(
)
xf
liên tục trên R
− Tổng hợp: Cộng vế theo vế 3 bất ñẳng thức trên ta có:
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
− Đặc biết hóa: Dấu bằng xẩy ra
a b c
⇔ = =
+ Khai thác ñào sâu bài toán ta ñược các kết quả:
Bài 1(Đặc biệt hóa): Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2011. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2
a b c
P
b c a
= + +
.
Bài 2 (Đặc biệt hóa): Cho a, b, c > 0 và
2 2 2
2011
a b c
b c a
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
Q a b c
= + +
Bài 5 (Đặc biệt hóa): Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
2
2
1
1
a
b a b
b a
+ + ≥ + +
Bài 6 (Tương tự): Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a.
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
b.
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
b c a
+ + +
+ + ≥ + +
Bài 8 (Khái quát hóa): Cho a, b, c > 0 và m, n là hai số nguyên dương.
Chứng minh rằng
m n m n m n
m m m
n n n
a b c
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥ + +
Bài 9 (Khái quát hóa): Cho n số dương
1 2
, , ,
n
a a a
.
Chứng minh rằng
2 2
2 2
3
1 2
1 2
2 3 4 1
n
Những năm 1925 – 1940, L.S. Vưgotski – nhà tâm lí học Xô Viết, ñã ñề ra
những luận ñiểm cơ bản ñể xây dựng nền tâm lí học kiểu mới – tâm lí học macxit,
phủ ñịnh tâm lí học duy tâm thần bí. Xuất phát từ những luận ñiểm của Vưgotski,
A. N. Leon chiepv – nhà tâm lí học macxit kiệt xuất, cùng các cộng sự ñã nghiên
cứu và ñi ñến kết luận quan trọng là “hoạt ñộng là bản thể của tâm lí”, nghĩa là HĐ
có ñối tượng của con người chính là nơi sản sinh ra tâm lí con người. Bằng HĐ và
thông qua HĐ, mỗi người tự sinh thành ra mình, tạo dựng và phát triển ý thức của
mình. Cống hiến lớn nhất của A. N. Leon chiepv là chỉ ra bản chất của tâm lí, với
các luận ñiểm sau:
23
− Hoạt ñộng là bản thể của tâm lí.
− Tâm lí, ý thức là sản phẩm của HĐ và làm khâu trung gian ñể con người tác ñộng
vào ñối tượng; các hiện tượng tâm lí ñều có bản chất của HĐ.
− Quan hệ giữa tâm lí và HĐ là quan hệ giữa một bên là ñiều kiện, mục ñích, ñộng
cơ và một bên là thao tác, hành ñộng, HĐ.(17, tr.9)
Về vai trò của HĐ học tập trong quá trình nhận thức, tâm lí học hiện ñại cho
rằng nhân cách của HS ñược hình thành và phát triển thông qua các HĐ chủ ñộng,
có ý thức.
Ngay từ thời xa xưa, trong dân gian ta ñã có câu “trăm hay không bằng tay
quen’. Nhiều danh nhân cũng ñã nói những câu bất hủ, như: “Suy nghĩ tức là hành
ñộng”(Jean Piaget), “Cách tốt nhất ñề hiểu là làm” (Kant), “Học ñể hành và học
phải ñi ñôi với hành” (Hồ Chí Minh),
Clemenes và Battista ñã ñưa ra những luận ñiểm về DH theo thuyết kiến tạo
cũng trên tư tưởng HĐ: (17, tr.76)
− Kiến thức ñược trẻ em chủ ñộng sáng tạo và phát hiện chứ không phải thụ ñộng
tiếp thu từ môi trường.
− Trẻ em tạo dựng những kiến thức toán học bằng việc phản ánh thông qua các HĐ
trí tuệ và thể chất. Các ý tưởng toán học ñược kiến tạo hoặc làm cho có ý nghĩa khi
trẻ em tự gắn mình vào các cấu trúc tri thức hiện có.
− Sự biểu ñạt thế giới mang tính cá nhân. Nhưng cách lí giải này hình thành thông
phức hợp, những HĐ trí tuệ phổ biến trong Toán học, những HĐ trí tuệ chung và
những HĐ ngôn ngữ. HĐ giải bài tập Toán học là ñiều kiện ñể thực hiện tốt các
mục ñích DH. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán học có vai trò
quyết ñịnh ñối với chất lượng DH môn Toán.
Trong thực tiễn, bài tập toán ñược sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau. Mỗi
bài tập có thể ñược dùng ñể tạo tiền ñề xuất phát, ñể gợi ñộng cơ, ñể làm việc với
nội dung mới, ñể củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể
thường không chỉ nhằm vào một dụng ý ñơn nhất nào ñó mà thường bao hàm những
25
ý ñồ nhiều mặt ñã nêu. HĐ học của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
PPDH. Vai trò của bài tập Toán học ñược thể hiện trên ba bình diện sau:
Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu DH, bài tập Toán học ở trường phổ thông
là giá mang những HĐ mà việc thực hiện các HĐ ñó thể hiện mức ñộ ñạt mục tiêu.
Mặt khác, những bài tập lại thể hiện những chức năng khác nhau hướng ñến việc
thực hiện các mục tiêu DH môn Toán, cụ thể là:
− Hình thành, cũng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá
trình DH, kể cả khả năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
− Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những HĐ tư duy, hình thành những phẩm chất
trí tuệ.
– Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất ñạo
ñức của người lao ñộng mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung DH, những bài tập Toán học là giá mang
HĐ liên hệ với những nội dung nhất ñịnh, một phương tiện cài ñặt nội dung ñể hoàn
chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào ñó ñã ñược trình bày trong phần lí thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phương pháp DH, bài tập Toán học là giá mang HĐ ñể
người học kiến tạo những tri thức nhất ñịnh và trên cơ sở ñó thực hiện các mục tiêu DH
khác. Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong HĐ
và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ ñộng và sáng tạo ñược thực hiện ñộc lập hoặc trong
giao lưu.(13, tr.388)
n
u
thì khoảng cách từ
n
u
ñến 0 nhỏ hơn 0,01?
0,0001?
Copyright: Tài liệu đại học ©